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標題: 101木柵高工 [打印本頁]
作者: dennietu    時間: 2012-6-26 14:42     標題: 101木柵高工

今天剛放出來的題目, 大家參考囉

101.6.27版主補充
將題目重新打字，方便網友能用google搜尋到題目

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-27 06:27 AM 編輯 ]

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作者: chiang    時間: 2012-6-26 15:26     標題: 問題請教

可以請教一下填充3,4,5,7,9
我只對5題~~(沒問的5題~~)
~~不敢回想~~就當捐建校基金了~~好痛~~
作者: meifang    時間: 2012-6-26 15:51

第3題 我算超多遍 外加GeoGebra畫圖 長軸長為2 不知到哪裡出了問題
這是我的計算過程

\(z=\frac{1}{2}(1-x-y)\) 帶入\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\) 整理後得到
\(3x^{2}-2xy+3y^{2}+2x+2y-1=0\)
分別對x、y偏微分後=0
\(\left\{\begin{matrix}
3x-y=-1
\\
-x+3y=-1
\end{matrix}\right.\)
中心點為\(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)
平移後得到
\(3x^{2}-2xy+3y^{2}-2=0\)
再算出\(\begin{bmatrix}
3 & -1
\\
-1 & 3
\end{bmatrix}\)的eigenvalues 為4和2
因為只要問長軸長 所以先不考慮順序 得到旋轉後的橢圓為
\(4x^{2}+2y^{2}-2=0\)
所以長軸長為2
可以幫我看看有哪裡算錯了嗎? 謝謝

[ 本帖最後由 meifang 於 2012-6-26 03:53 PM 編輯 ]
作者: shiauy    時間: 2012-6-26 17:29

引用:
原帖由 meifang 於 2012-6-26 03:51 PM 發表
第3題 我算超多遍 外加GeoGebra畫圖 長軸長為2 不知到哪裡出了問題
這是我的計算過程

\(z=\frac{1}{2}(1-x-y)\) 帶入\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\) 整理後得到
\(3x^{2}-2xy+3y^{2}+2x+2y-1=0\)
分別對x、y偏微分後=0 ...
正常的算法應該是算出長軸長

所求為AB長
平面的法向量為(1,1,2)
水平平面的法向量為(0,0,1)
\(\cos \theta  = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)
所求\(\overline {AB}  = \frac{{\overline {BC} }}{{\cos \theta }} = 2 \times \frac{{\sqrt 6 }}{2} = \sqrt 6 \)

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作者: meifang    時間: 2012-6-26 19:49     標題: 回復 4# shiauy 的帖子

要怎麼算\(\bar{BC}\) ?
原來的是圓錐和平面  \(\bar{AB}\)和\(\bar{BC}\)有這種直角三角形的關係嗎?
我用的方法好像常常和其他人不一樣 難怪一直考不上> <
作者: meifang    時間: 2012-6-26 20:22     標題: 回復 2# chiang 的帖子

第4題我是這樣做的
S1: 甲: 紅*2 白*1 乙:紅*1
S2: 甲:紅*3           乙:白*1
轉移矩陣為A=\(\begin{bmatrix}
\frac{5}{6} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{6} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}\)
算出eigenvalues是1和\(\frac{1}{3}\) 分別對應eigenvectors為\(\begin{bmatrix}
3\\
1
\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}\)
\(A^{n}=\begin{bmatrix}
3 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & (\frac{1}{3})^{n}
\end{bmatrix}
(-\frac{1}{4})
\begin{bmatrix}
-1 & -1\\
-1 & 3
\end{bmatrix}=-\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
-3-(\frac{1}{3})^{n} & -3+(\frac{1}{3})^{n-1}\\
-1+(\frac{1}{3})^{n} & -1-(\frac{1}{3})^{n-1}
\end{bmatrix}\)
\(A^{n}\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\frac{3+(\frac{1}{3})^{n}}{4}\\
\frac{1-(\frac{1}{3})^{n}}{4}
\end{bmatrix}\)
\(\lim_{n \to \infty }\frac{3+(\frac{1}{3})^{n}}{4}\times \frac{2}{3}+\frac{1-(\frac{1}{3})^{n}}{4}\times 1=\frac{3}{4}\)
好大的工程 但我只會這種方法

[ 本帖最後由 meifang 於 2012-6-26 08:24 PM 編輯 ]
作者: meifang    時間: 2012-6-26 20:59

我終於算出第5題了
年的部分用數的應該沒問題 主要是日的部分
民國84年=西元1995年 民國101年=西元2012年 中間有1996 2000 2004 2008 2012 5個閏年
假設出生日為84年6月x日 到 101年6月x日 總共有 17*365+5=6210天 除以10餘0 除以12餘6
所以101年6月x日 是 甲辰 日 往後數13日 為 丁巳 日
x+13=25 得x=12
作者: meifang    時間: 2012-6-26 21:28

我想問一下第8題 應該不會很難 但是我不會
第9題 完全不知怎麼下手

[ 本帖最後由 meifang 於 2012-6-26 09:31 PM 編輯 ]
作者: 老王    時間: 2012-6-26 21:46

第九題
正二十面體，每面為正三角形，每個頂點跟其他五個頂點相鄰，而這五個頂點構成正五邊形。
假設稜邊長為 \( 2 \) 的正二十面體，其中一個頂點為 \( A \) ，與它相鄰的為 \( B,C,D,E,F \) ，
那麼 \( BD=2 \times BC \times \sin54^o =\sqrt{5}+1 \)
假設 \( AC \) 中點為 \( M \) ，
那麼 \( BM=DM=\sqrt{3} \)
所以
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{3+3-(6+2\sqrt{5})}{2 \times 3}=-\frac{\sqrt{5}}{3} \)
作者: agan325    時間: 2012-6-26 21:50     標題: 回復 8# meifang 的帖子

第八題和101瑞芳高工的第八題一樣
\(x^2-2x-1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)
\(x^2-2x-1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)
\((x^2+\frac{1}{x^2}+2)-2(x+\frac{1}{x})-1-2=0\)
\((x+\frac{1}{x})^{2}-2(x+\frac{1}{x})-3=0\)
\(令 x+\frac{1}{x}=A\)
\(A^2-2A-3=0\)
\((A-3)(A+1)=0\)
其中 \(x+\frac{1}{x}+1=0無實根\)
所以 \(x+\frac{1}{x}-3=0\)
    \(x^2-3x+1=0\)
所以實數根的和為 3

[ 本帖最後由 agan325 於 2012-6-26 09:55 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2012-6-26 21:50

引用:
原帖由 meifang 於 2012-6-26 09:28 PM 發表
我想問一下第8題 應該不會很難 但是我不會
第9題 完全不知怎麼下手
#8
令t=x+1/x
則x^2+(1/x)^2 =t^2-2
原式=>
t^2-2 -2t-1=0
t^2-2t-3=0
(t-3)(t+1)=0
t=3或-1
(i)當t=3時
x+1/x =3
x^2-3x+1=0有實數解
兩根和=3
(ii)當t=-1時
x+1/x=-1
x^2+x+1=0沒有實數解
作者: agan325    時間: 2012-6-26 22:00     標題: 回復 6# meifang 的帖子

我的想法是長期之後
從3R1W中取3顆給甲袋
又從甲袋裡的紅球3顆取一顆
\(P(A)=\frac{_{1}^{3}\textrm{C}}{_{3}^{4}\textrm{C}}=\frac{3}{4}\)
不知道這樣可不可以，也順便請問大家的看法！！
作者: 老王    時間: 2012-6-26 22:01

個人認為第五題題目有問題，因為農曆的算法，月日的部分跟國曆不同，
還有閏月的情形，這已不是現在熟習國曆的我們所能了解的!!
作者: tsusy    時間: 2012-6-26 22:20     標題: 回復 8# meifang 的帖子

填充 8. 令 \( t = x + \frac1x \)，係數對稱時，常用的招式

填充 9. 需要的圖，去wiki 看一下好了

一個頂點有三個正三角形，而這五個正三角形如果拿掉這個中心的頂點，就變成正五邊形

相鄰兩三角形，作兩條高垂直共邊，其長為 \( \frac{\sqrt{3}}{2}a \), 其中 \( a \) 正三角形之邊長

而此相鄰兩三角形，不在不共邊的兩點即前所說正五邊形上的不相鄰兩點，其距離為 \( \frac{\sqrt{5}+1}{2}a \)

以此 \( \frac{\sqrt{3}}{2}a, \frac{\sqrt{3}}{2}a, \frac{\sqrt{5}+1}{2}a \) 三邊為三角形的等腰三角形之頂角，即為兩面角

由餘弦定理可得  \( \cos\theta=\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}{2\cdot\frac{3}{4}}=-\frac{\sqrt{5}}{3} \)

算到這，我們應該留個習題，正十二面體的兩面角是的餘弦值是多少

P.S. 其實是小弟眼殘，先算了 12 的發現和答案不一樣，之後才發現是 20 的正三角

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-26 10:26 PM 編輯 ]
作者: tacokao    時間: 2012-6-27 22:29

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-6-26 10:20 PM 發表
填充 8. 令 \( t = x + \frac1x \)，係數對稱時，常用的招式

填充 9. 需要的圖，去wiki 看一下好了

一個頂點有三個正三角形，而這五個正三角形如果拿掉這個中心的頂點，就變成正五邊形

相鄰兩三角形，作兩條高垂直共邊，其長為  ...
我考試的時候就眼殘，看成12面體，很開心的直接寫了cos值為1/2~希望這題習題改成這樣有對!!
作者: 老王    時間: 2012-6-28 20:24     標題: 回復 15# tacokao 的帖子

這位同學，你算錯了
作者: tacokao    時間: 2012-6-28 22:39     標題: 回復 16# 老王 的帖子

sorry，老王老師，我再來好好做一次，圖形畫錯了，一步錯，步步錯!!!!-_______-////
作者: larson    時間: 2012-7-1 01:31

引用:
原帖由 meifang 於 2012-6-26 03:51 PM 發表
第3題 我算超多遍 外加GeoGebra畫圖 長軸長為2 不知到哪裡出了問題
這是我的計算過程

\(z=\frac{1}{2}(1-x-y)\) 帶入\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\) 整理後得到
\(3x^{2}-2xy+3y^{2}+2x+2y-1=0\)
分別對x、y偏微分後=0 ...
\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\)到底是什麼？我也看不出meifang 哪裏有算錯？
作者: maymay    時間: 2012-7-1 08:17     標題: 回復 14# tsusy 的帖子

想請教十二面體兩面角算法,
我練習算,但是算不出正解><
作者: meifang    時間: 2012-7-3 00:19     標題: 回復 14# tsusy 的帖子

我找了正十二面體的圖


只能推到要計算 一個四面體ABCD 其中\(\bar{AB}=\bar{AC}=\bar{AD}=1\)  \(\bar{BC}=\bar{CD}=\bar{BD}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
\(\bigtriangleup ABC\)與\(\bigtriangleup  ACD\)的夾角 可是我還是不會算

[ 本帖最後由 meifang 於 2012-7-3 12:24 AM 編輯 ]

圖片附件: Dodecahedron.jpg (2012-7-3 00:24, 63.33 KB) / 該附件被下載次數 5088
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作者: katama5667    時間: 2012-7-3 07:37

引用:
原帖由 larson 於 2012-7-1 01:31 AM 發表
\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\)到底是什麼？我也看不出meifang 哪裏有算錯？
你先固定 z 值，那它就是一個圓
所以隨著 z 值的改變，此圓的半徑也跟著改變
同時此圓在 z 軸的位置也著都變
所以所有圓疊起來，就成了 cone


(圖片轉貼自：Theory Of Relativity)
圖片中space，即xy平面，time軸即為z軸
作者: bugmens    時間: 2012-7-3 14:01

引用:
原帖由 meifang 於 2012-6-26 03:51 PM 發表 
第3題 我算超多遍 外加GeoGebra畫圖 長軸長為2 不知到哪裡出了問題
這是我的計算過程

\(z=\frac{1}{2}(1-x-y)\) 帶入\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\) 整理後得到
\(3x^{2}-2xy+3y^{2}+2x+2y-1=0\)
分別對x、y偏微分後=0
\(\left\{\begin{matrix}
3x-y=-1
\\ 
-x+3y=-1
\end{matrix}\right.\)
中心點為\(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)
平移後得到
\(3x^{2}-2xy+3y^{2}-2=0\)
再算出\(\begin{bmatrix}
3 & -1
\\ 
-1 & 3
\end{bmatrix}\)的eigenvalues 為4和2
因為只要問長軸長 所以先不考慮順序 得到旋轉後的橢圓為
\(4x^{2}+2y^{2}-2=0\)
所以長軸長為2
可以幫我看看有哪裡算錯了嗎? 謝謝
\( z=\frac{1}{2}(1-x-y) \) 代入\( x^{2}+y^{2}=z^{2}\)所得到的\(3x^{2}-2xy+3y^{2}+2x+2y-1=0\)是在xy平面上的橢圓
算出來的長軸長\( \displaystyle \overline{A'B'}=2 \)，所以前面一心老師才會加上兩平面夾角的餘弦值，算出正確的長軸長\( \overline{AB}=\sqrt{6} \)




當初用SketchUp畫圖時還想到一種方法，這在考場應該想不到
平面\( x+y+2z=1 \)交三個座標軸於\( P(1,0,0) \)、\( Q(0,1,0) \)、\( \displaystyle R(0,0,\frac{1}{2}) \)
將全部的圖形沿著z軸旋轉\( 45^o \)，讓\( \overline{OM} \)變成新的y軸，x軸伸出螢幕外
此時M點坐標為\( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2},0) \)，R點坐標為\( \displaystyle (0,\frac{1}{2}) \)
利用\( \overline{RM} \)的直線方程式和圓錐交於A、B兩點，進而求出橢圓的長軸長


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作者: meifang    時間: 2012-7-3 19:04

謝謝樓上的兩位老師 原來我只是帶入而已 卻不知不覺做了投影 果然還是要考慮圖形
作者: 老王    時間: 2012-7-3 22:44     標題: 回復 20# meifang 的帖子

在平面 \( ABC \) 過 \( A \) 作 \( AB \) 的垂線交 \( BC \) 於 \( P \) ；
在平面 \( ABD \) 過 \( A \) 作 \( AB \) 的垂線交 \( BD \) 於 \( Q \) ；
那麼 \(\Delta BPQ \) 是正三角形。
不妨假設 \( BP=BQ=PQ=1 \) ，
那麼 \(\displaystyle AP=AQ=\sin36^o \)
\(\displaystyle \cos{\angle{PAQ}}=\frac{2\sin^2 36^o-1}{2\sin^2 36^o}=\frac{-\cos72^o}{1-\cos72^o} \)
\(\displaystyle =-\frac{\sqrt{5}-1}{5-\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}} \)

還記得大二修陳創義老師的幾何學的時候，老師要我們作模型，以及要我們報告；
我就把這五個正多面體的兩面角、內外接球半徑和邊長的比例、中心角等等的數據算出來，
雖然當時不是這樣算，而是利用趙文敏老師在他的數論淺談一書中提過的黃金矩形的性質來算，
但是覺得有所獲得，也發現一件有趣的結果。找機會考考學生好了。
作者: casanova    時間: 2013-4-24 23:15

引用:
原帖由 老王 於 2012-7-3 10:44 PM 發表
在平面 \( ABC \) 過 \( A \) 作 \( AB \) 的垂線交 \( BC \) 於 \( P \) ；
在平面 \( ABD \) 過 \( A \) 作 \( AB \) 的垂線交 \( BD \) 於 \( Q \) ；
那麼 \( \Delta BPQ \) 是正三角形。
不妨假設 \( BP=BQ=PQ=1 \)  ...
不懂為什麼三角形BPQ是正三角形？
作者: lyingheart    時間: 2013-4-26 21:35     標題: 回復 25# casanova 的帖子

因為三角形BCD是正三角形，
所以角PBQ=60度
又BP=BQ，所以BPQ是正三角形
作者: 艾瑞卡    時間: 2013-7-24 19:27

引用:
原帖由 casanova 於 2013-4-24 11:15 PM 發表

不懂為什麼三角形BPQ是正三角形？
另解

圖片附件: 未命名3.png (2013-7-24 19:27, 77.71 KB) / 該附件被下載次數 5145
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1925&k=865c7d0af39a9b58c70cdb2cdbb5f8df&t=1714738180





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