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標題: 101南港高工 [打印本頁]

作者: krit417 時間: 2012-6-26 13:35 標題: 101南港高工

101南港高工教甄數學試題、解答

【註：weiye 將原始檔案壓縮處理，減少檔案大小後，已上傳於附件。2012.06.26 15:50】

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作者: chiang 時間: 2012-6-26 22:14 標題: 問題請教

這下糗大了
要問題問題好多啊~~
可以請教一下
填充題
4 ,11,12,13,16(完全不知從何下手)
計算題~~
全部
...
我全掛耶~~還真是~~準備考代課也是種煎熬~~

作者: krit417 時間: 2012-6-27 08:58 標題: 回復 2# chiang 的帖子

第4題
設\(\langle F_n \rangle\)是費波那契數列(Fibonacci sequence)：\(F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\)，則前500項中有　　　項是奇數。
[提示]
1,1,2,3,5,8,13,21,......
奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，按此規則即可推出答案

作者: krit417 時間: 2012-6-27 09:02 標題: 回復 2# chiang 的帖子

第13題
如右圖，有一個正八面體的稜長為\(6cm\)。若從其中一個面的中心沿著這個正八面體的表面到相對面的中心之最短路徑長度為\(d\) \(cm\)，則\(d^2\)之值為　　　。
[提示]
將展開圖畫開，求二點距離即為答案

作者: Ellipse 時間: 2012-6-27 13:27

#16
若\(\displaystyle y=\frac{2^x+2^{-x}}{2}\)和\(\displaystyle y=\frac{k}{2^x+2^{-x}}\)的二個交點間之距離為2，則實數\(k=\)　　　。
[解答]
假設y=f(x)=[2^x+2^(-x)]/2 ,y=g(x)=k/[2^x+2^(-x)]
因為f(-x)=f(x)且g(-x)=g(x)
所以y=f(x) ,y=g(x)的圖形均對稱y軸
可令兩圖形的交點為A(a,b), B(-a,b) (a>0)
依題意知a-(-a)=2 ,a=1
且f(1)=g(1)
所以 (2+1/2)/2 = k/(2 + 1/2)
得k=25/8

作者: Ellipse 時間: 2012-6-27 13:34

#12
設函數\(y=f(x)\)對一切實數\(x\)均滿足\(f(5+x)=f(5-x)\)，且方程式\(f(x)=0\)恰好有6個不同的實根，則這6個實根的和為　　　。
[解答]
假設所求的六根為k1,k2,k3,k4,k5,k6
可令
k1=5+x1 ,k2=5+x2 ,k3=5+x3
k4=5-x1 , k5=5-x2 , k6=5-x3
所求=k1+k2+k3+k4+k5+k6
=(5+x1)+(5+x2)+(5+x3)+(5-x1)+(5-x2)+(5-x3)
=5*6
=30

作者: jmfeng2001 時間: 2012-6-27 13:53

第11題
雙曲線\(x^2-4y^2=4\)之一弦中點坐標為\((1,1)\)，則此弦長為　　　。
[解答]
還不熟悉語法...希望你看的懂
設交點為A(1+a,1+b),B(1-a,1-b)
代入雙曲線得a=4b再代入得b^2=7/12
AB=根號((2a)^2+(2b)^2)
=根號17b^2
=根號119/3

另外,想請問各位老師...第6,7,8題

114.6.10補充
中點弦相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=232&page=1#pid262

作者: andyhsiao 時間: 2012-6-27 18:11

第6題
設\(x,y\in \mathbb{R}\)，則\(\sqrt{x^2+y^2-2x+4y+21}+\sqrt{x^2+y^2+6x-4y+38}\)的最小值為　　　。
[解答]
\(\sqrt{(x-1)^2 + (y+2)^2 + (0-4)^2} + \sqrt{(x+3)^2 + (y-2)^2 + (0-5)^2}\)
即求\(xy\)平面上點到點\((1, -2, 4)\)與\((-3, 2, 5)\)的最短距離。
即求\((1, -2, 4)\)與\((-3, 2, 5)\)的距離\(= \sqrt{113}\)

作者: andyhsiao 時間: 2012-6-27 18:33

第16題
若\(\displaystyle y=\frac{2^x+2^{-x}}{2}\)和\(\displaystyle y=\frac{k}{2^x+2^{-x}}\)的二個交點間之距離為2，則實數\(k=\)　　　。

參考101的P109頁...演練題第四題

作者: 老王 時間: 2012-6-27 18:42

第24題
如右圖，\(H\)為\(\triangle ABC\)之垂心，\(\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\overline{AB}=c\)，若面積比\(\triangle ABH:\triangle BCH:\triangle ACH=1:2:3\)，則邊長比\(a:b:c=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle \Delta BCH:\Delta ACH:\Delta ABH=\tan A:\tan B:\tan C=2:3:1 \)
設 \(\displaystyle \tan A=2k, \tan B=3k, \tan C=k \)
又 \(\displaystyle A+B+C=\pi \)
所以 \(\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=(\tan A)(\tan B)(\tan C) \)
\(\displaystyle 6k=6k^3 \)
\(\displaystyle k=1 \)
\(\displaystyle \tan A=2, \tan B=3, \tan C=1 \)
\(\displaystyle \sin A=\frac{2}{\sqrt5}, \sin B=\frac{3}{\sqrt{10}}, \sin C=\frac{1}{\sqrt2} \)
\(\displaystyle a:b:c=2\sqrt2:3:\sqrt5 \)

作者: krit417 時間: 2012-6-27 19:34 標題: 回復 10# 老王的帖子

請問第一行
∆BCH：∆ACH：∆ABH ＝ tanA：tanB：tanC ＝ 2：3：1

這怎得到的啊？

作者: andyhsiao 時間: 2012-6-27 20:00

計算22題
若實數\(x,y\)滿足\(x^2+xy+y^2=6\)，若\(x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\)的最大值為\(M\)、最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)　　　。
[解答]
參考看看...後面自己算一下即可得..
令\(x+y=t\)，則\(x=t-y\)代入\(x^2+xy+y^2=6\)。
化簡可得\(y^2-ty+t^2-6=0\)。
\(y \in R, D \ge 0 \Rightarrow -2\sqrt{2} \le t \le 2\sqrt{2}\)。
又\(x^2+xy+y^2=6\)。
\(\Rightarrow xy = (x+y)^2 - 6\) -----------①
所求 \(xy(x+y)-(x+y)^2+(x+y)\)代入①化簡。
\(f(t) = t^3 - t^2 - 5t\)。
即求\(-2\sqrt{2} \le t \le 2\sqrt{2}\)，\(f(t)=t^3-t^2-5t\)之最大值及最小值。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1318&k=cfa289213152f16028a779521e89e090&t=1769635493

作者: 老王 時間: 2012-6-27 20:38 標題: 回復 11# krit417 的帖子

\( AH=2R\cos A, BH=2R\cos B, CH=2R\cos C \)
\( \angle{AHB}+C=\pi, \angle{BHC}+A=\pi, \angle{CHA}+B=\pi \)
\( (BCH) : (ACH) : (ABH)=2R^2\cos B \cos C \sin A:2R^2\cos C \cos A \sin B:2R^2\cos A \cos B \sin C=\tan A:\tan B: \tan C \)

作者: 阿光 時間: 2012-6-27 21:55

想請教20,23題,謝謝

作者: andyhsiao 時間: 2012-6-28 11:32

填充第8題
設\(x,y \in \mathbb{R}\)，\(x^2+y^2\le 1\)，則\(\displaystyle \frac{x+y+2}{x-y+2}\)的最大值為\(M\)、最小值為\(m\)，\(M+m=\)　　　。
[解答]
我用幾何來做....不知道可不可以....希望看得懂...請指正..感恩

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1321&k=71ccfbaff3bee8a168b1f3de98ecbb08&t=1769635493

作者: tacokao 時間: 2012-6-28 22:12

8.
設\(x,y \in \mathbb{R}\)，\(x^2+y^2\le 1\)，則\(\displaystyle \frac{x+y+2}{x-y+2}\)的最大值為\(M\)、最小值為\(m\)，\(M+m=\)　　　。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=811&page=1#pid1535
[解答]
這樣解有點小複雜耶!!!!!
我是這樣解的，先令\(\displaystyle \frac{x+y+2}{x-y+2}=k\)，整理完可變成\((1-k)x+(1+k)y+2-2k=0\)為一直線方程式
再帶入圓心\((0,0)\)，利用點到直線之距離公式\(\displaystyle \frac{\left | 2-2k \right |}{\sqrt{(1-k)^{2}+(1+k)^{2}}}\leq 1\)
再解不等式可得\(2-\sqrt{3}\leq k\leq 2+\sqrt{3}\)，所以k之最大值及最小值相加為4，這樣就可以囉!!!

作者: WAYNE10000 時間: 2012-6-30 21:37 標題: 請教一下19.20.21

請教一下19.20.2119. 知道軌跡是橢圓再來計算上數字不漂亮就卡住了

20. 設圓外一點到圓心距離=x 圓外一點到切點距離等於根號x平方-1
就樣作似乎有盲點!?

21. 做到一半卡住

敬請賜教謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-6-30 21:53 標題: 回復 17# WAYNE10000 的帖子

19.
設\(d>0\)，\(d\in \mathbb{R}\)，若動點\(P\)至二定點\(A(-d,0),B(d,0)\)的距離和為定值\(4d\)，若\(\overline{AP}^3+\overline{BP}^3\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)　　　。(以\(d\)表示)
[提示]
\( \overline{AP}=x \), \( \overline{BP}= d-x \) 微分可得最大最小值

另外，亦可由廣義柯西著手最小值

21. 提示極式，旋轉伸縮

20. 是在下眼花，還是題目出錯。應該要問向量內積的最小值才是，忘了在哪份題目做過了

作者: 老王 時間: 2012-6-30 22:12 標題: 回復 18# tsusy 的帖子

20題
已知圓\(O\)的半徑為1，\(P\)為圓外一動點，\(\overline{PA},\overline{PB}\)為該圓的兩條切線，\(A\)、\(B\)為兩切點，那麼\(\overline{PA}\cdot \overline{PB}\)的最小值為　　　。

去年(100)陽明，半徑是2

作者: WAYNE10000 時間: 2012-7-1 10:43 標題: 請教20.21

感謝提醒!
19. 要注意X的範圍

20. 題目有誤?!

21.我用極式了我知道某個圓內的點放大旋轉後仍然在區域內
我的盲點在於我不知如何討論圓外的哪些點放大選轉後仍然會在區域內?!

作者: tsusy 時間: 2012-7-1 11:29 標題: 回復 20# WAYNE10000 的帖子

21. 大器一點，不要只看一個點，整個方形一起轉一起伸縮

20. 感謝老王老師，去看 100 陽明那題吧

作者: larson 時間: 2012-7-1 13:34

第19題，設P(x,y)欲求的東西可簡化至3dx^2+16d^3
又-2d小於等於 x 小於等於2d 可得答案！
想請問廣義柯西如何操作！
還有想請問23題！
謝謝參與回答的老師們！
21題用提示的方法一直算出7/8
不知哪裏有錯！

作者: tsusy 時間: 2012-7-1 15:30 標題: 回復 22# larson 的帖子

19.
設\(d>0\)，\(d\in \mathbb{R}\)，若動點\(P\)至二定點\(A(-d,0),B(d,0)\)的距離和為定值\(4d\)，若\(\overline{AP}^3+\overline{BP}^3\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)　　　。(以\(d\)表示)
[解答]
\( \overline{AP}=x,\, \overline{BP}=y \)

\( (x^3+y^3)(1^3+1^3)(1^3+1^3)\geq(x+y)^3 \)

21. 正方形轉 \( 45^\circ \) 放大 \( \frac{3\sqrt{2}}{4} \) 新的四頂點是 \(\displaystyle (\pm\frac32,0),\, (0,\pm\frac32) \)
(紅字筆誤，已更正，感謝王保丹指正)

跑出去的是四塊三角形其面積和為 \( 1 \) ，放大過的正方形面積 \( \frac92 \)

所求 \( =\displaystyle \frac{\frac92-1}{\frac92} =\frac79\)

作者: katama5667 時間: 2012-7-2 13:39

第7題
不等式\(log x^2+\sqrt{log x-1}<5\)的解為　　　。
[解答]
還沒人解
只能說就是硬算了！
(1)\(logx-1\geq 0\Rightarrow x\geq 10\)
(2)\(x>0\)
(3)\(\sqrt{logx-1}<5-2logx\)
   \(\Rightarrow logx-1<25-20logx+4(logx)^2\Rightarrow (4logx-13)(logx-2)>0\Rightarrow x<10^{2}~or~x>10^{\frac{13}{4}}\)
   且\(5-2logx>0\Rightarrow x<10^{\frac{5}{2}}\)
   所以\(x<100\)
取(1)(2)(3)交集，得\(10\leq x<100\)

作者: larson 時間: 2012-7-3 00:05

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-7-1 03:30 PM 發表
21. 正方形轉 \( 90^\circ \) 放大 \( \frac{3\sqrt{2}}{4} \) 新的四頂點是 ...

為何不是用原本未旋轉前的面積去扣那四個角落再除以8，sorry很想弄的很清楚！謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-7-3 08:52 標題: 回復 25# larson 的帖子

這樣的情況，我習慣叫它井水犯河水。以這題來說井水可算，河水亦可算，但不能混在一起

扣掉四個角落那個區域是屬於旋轉後的世界，把它和旋轉前的世界，相除，就好比 1cm / 1kg 或者 1cm + 1kg

而我在 # 23 樓的作法，就是只看旋轉後的世界，因為已經知道哪些點跑出去，哪些點在裡面了

如果要看旋轉前的世界，當然也不是不可以，只是要很小心的重新計算一下，是哪一塊才是裡面的

所以會得到不同的四個角落，你的盲點應該就在於誤把新的角落當成舊的角落，井水混河水

作者: natureling 時間: 2012-9-27 23:45 標題: 回復 4# krit417 的帖子

是否請教一下，怎麼想皆是 6根號3的平方@@

作者: weiye 時間: 2012-9-28 19:42 標題: 回復 27# natureling 的帖子

第 13 題：
如右圖，有一個正八面體的稜長為\(6cm\)。若從其中一個面的中心沿著這個正八面體的表面到相對面的中心之最短路徑長度為\(d\) \(cm\)，則\(d^2\)之值為
[解答]

\(\Rightarrow d^2=84\)

圖片附件: qq13.png (2012-9-28 19:42, 18.78 KB) / 該附件被下載次數 8085
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1440&k=0f74179bf6ac2ad2da823e1d3ea6e8b7&t=1769635493

作者: idontnow90 時間: 2013-4-4 23:20

想請教19題
我是想成是一個以A.B為焦點的橢圓.長軸為3d,短軸為2d...
最小值是當P在y軸時..為16d^3
最大值是當P在x軸時...為72d^3
想請教為什麼最大值的答案不對呢?

另外13題
為什麼題目說是正八面體?看圖看不太出來ㄟ...

還請告知...感謝~~

作者: tsusy 時間: 2013-4-5 00:06 標題: 回復 29# idontnow90 的帖子

19 題，長軸算錯了，長軸長是 \( 2a = 4d \)

最小值的確是發生在短軸上， \( (2d)^3 + (2d)^3 =16d^3 \)

最大值的確是發生在長軸上， \( (d)^3 + (3d)^3 =28d^3 \)

13 題，它畫的比較像透視圖，不管圖形本來就僅供參考而已

作者: idontnow90 時間: 2013-4-6 14:32

謝謝..另外想請教
21題.若我不用極式...
\( 0.75(1+i)(x+yi) \in S 得到 -4/3 \leq x \leq 4/3, -4/3 \leq y \leq 4/3 \)
但本身x,y 介在正負1之間
所以4/3*4/3-1*1=7/9
請教這樣的算法是對的嗎?

14題.18題感覺似曾相似..但卻又不知如何下手..還請指點..

謝謝~

作者: tsusy 時間: 2013-4-6 15:29 標題: 回復 31# idontnow90 的帖子

21 題...不曉得您的算式是什麼意思

從 \(\displaystyle \frac{3}{4} (1+i)(x+yi)\in S \) 得到\(\displaystyle -\frac{4}{3}\leq x\leq \frac{4}{3} \) , \(\displaystyle -\frac{4}{3}\leq y \leq \frac{4}{3} \)

但本身x,y 介在正負1之間所以 4/3*4/3-1*1=7/9

紅字的部分，都有待探究，

"得到"，應是單向薀涵的意思，但在此我們需要的是雙向的等價條件

\(\displaystyle (x,y) = (\frac{4}{3}, \frac{4}{3} )\) 代入 \( \frac{3}{4} (1+i)(x+yi) \) 會得到 \( 2i \notin S\)

", " 是指 (x,y) 為一個方塊，還是指各別的範圍各是此二區間

18 題
如右圖，\(\triangle ABC\)為邊長是1的正三角形，\(P\)為內部一點，過\(P\)作\(\overline{DE}//\overline{BC}\)，\(\overline{FG}// \overline{AB}\)，\(\overline{HI}// \overline{AC}\)，則\(\triangle PDH\)、\(\triangle PFI\)、\(\triangle PEG\)面積和之最小值為　　　。
[提示]
提示三個皆為正三角，且其邊長之和為 1

作者: idontnow90 時間: 2013-4-6 22:33

弄懂了.謝謝~

作者: kittyyaya 時間: 2013-5-2 23:56

想請問填充2
我的想法是當作2 * 3 的方格塗顏色相鄰不同色
A B C
D E F
AEC同色或 AE同C異(有三種) 或 AEC異
5*4*1*4*1 + 5*4*4*3*1*3*3 + 5*3*4*2*3*3=3560 請教老師們我哪裡錯了
填充17 我將兩個方程式當作圓卻無法用在題目問的行列式中請教老師們該如何解

作者: thepiano 時間: 2013-5-3 08:17

第 17 題
設實數\(a,b,c,d\)滿足\(a^2+b^2=1\)且\((c-3)^2+(d-4)^2=2\)，則\(\left|\ \matrix{a&b\cr c&d} \right|\ \)的最大值為　　　。
[解答]
x^2 + y^2 = 1 上一點 A(a，b)
(x -3)^2 + (y - 4)^2 = 2 上一點 B(c，d)
當 OB 最長且 OA 和 OB 垂直時
OA 和 OB 兩向量所張的平行四邊形，面積最大

作者: thepiano 時間: 2013-5-3 10:21

引用:

原帖由 kittyyaya 於 2013-5-2 11:56 PM 發表
想請問填充2
我的想法是當作2 * 3 的方格塗顏色相鄰不同色
A B C
D E F
AEC同色或 AE同C異(有三種) 或 AEC異
5*4*1*4*1 + 5*4*4*3*1*3*3 + 5*3*4*2*3*3=3560 請教老師們我哪裡錯了

A、E 同 C 異和 A、C 同 E 異，方法數不同

作者: thepiano 時間: 2013-5-3 11:06

第 2 題
某餐廳有\(A,B,C,D,E\)五種套餐，若小明決定未來三天的中午及晚上都到此餐廳點一份套餐，但同一天中午和晚上點的餐不同，每天中午也和前一天中午點的餐不同，每天晚上也和前一天晚上點的餐不同，則小明未來三天共有　　　種不同的點餐方式。
[解答]
另解
A B C
D E F

依 A → D → B → E → C → F 的順序塗色

A 有 5 色可選
→ D 有 4 色可選
→ 若 B 與 D 同色，則 E 有 4 色可選；若 B 與 D 不同色，則 E 有 3 色可選
→ 若 C 與 E 同色，則 F 有 4 色可選；若 C 與 E 不同色，則 F 有 3 色可選

所求 = 5 * 4 * (1 * 4 + 3 * 3)^2

作者: kittyyaya 時間: 2013-5-5 13:27 標題: 回復 13# 老王的帖子

請問老王老師的這篇(13#)
第一行 :
我將CH延長交AB於D點 , 得到AH*cos角HAC=2R*sinB*cosA , 若照老王老師的AH=2RcosA ,
會推得 " cos角HAC=sinB " , 這點我就一直想不出為何等於 , 還是AH=2RcosA 如何推得
第二行 :
二角相加為何=180度謝謝

作者: tsusy 時間: 2013-5-5 13:49 標題: 回復 38# kittyyaya 的帖子

填充 24.
如右圖，\(H\)為\(\triangle ABC\)之垂心，\(\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\overline{AB}=c\)，若面積比\(\triangle ABH:\triangle BCH:\triangle ACH=1:2:3\)，則邊長比\(a:b:c=\)　　　。
[解答]
另解

沿長 \( \overline{AH} \) 交 \( \overline{BC} \) 於 \( D \) 點，由面積關係可推得線段長關係，可依內分點公式有

\(\displaystyle \overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\cdot(\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC} \)。

由正射影和內積的關係有 \( \overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AB} \)，

故得\( \begin{cases}\displaystyle
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\frac{1}{6}b^{2} & =\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\
\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} & =\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
\end{cases} \Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}b^{2}=\frac{3}{5}c^{2}, b:c=3:\sqrt{5} \)。

令 \( (a,b,c)=(kt,3t,\sqrt{5}t) \)，代入 \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}b^{2} \) 可得 \( k=2\sqrt{2} \)。故 \( a:b:c=2\sqrt{2}:3:\sqrt{5} \)。

作者: 王保丹 時間: 2013-5-12 19:01 標題: 回復 23# tsusy 的帖子

我算是旋轉45度？

作者: tsusy 時間: 2013-5-12 19:15 標題: 回復 40# 王保丹的帖子

是，的確是 \( 45^\circ \)，之前沒發現這個筆誤，感謝您！
看來，大家心中會自動把錯誤修正成正確的！

作者: 王保丹 時間: 2013-5-12 19:23 標題: 回復 41# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師馬上回覆我，
那可以給我一點第23題的提示^_^

作者: lyingheart 時間: 2013-5-12 20:22

引用:

原帖由 kittyyaya 於 2013-5-5 01:27 PM 發表
請問老王老師的這篇(13#)
第一行 :
我將CH延長交AB於D點 , 得到AH*cos角HAC=2R*sinB*cosA , 若照老王老師的AH=2RcosA ,
會推得 " cos角HAC=sinB " , 這點我就一直想不出為何等於 , 還是AH=2RcosA 如何推得
第二行 : ...

看圖吧，照你說的把CH延長至D，那麼
\(\displaystyle AD=AC \cos A=AH \cos{HAB} \)
\(\displaystyle 2R \sin B \cos A=AH \cos{HAB} \)
猜測你是把B和C弄錯了。

再把AH延長至E、BH延長至F
\(\displaystyle \angle{AHB}=\angle{EHF} \)

而 \(\displaystyle \angle{EHF}+\angle{C}=\pi \)

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作者: tsusy 時間: 2013-5-12 21:10 標題: 回復 42# 王保丹的帖子

23 題
某立體之底面為由\(x=y^2\)及\(x=3-2y^2\)二拋物線所圍成的區域，且對於垂直於\(X\)軸所有橫截面均為正方形，則此立體之體積為　　　。
[提示]
題意說，對於垂直 x 軸的所有橫截面都是正方形

所以自然是要將這些橫截面的面積對 x 積分，故體積為\(\displaystyle \int_a^b A(x) dx \)

其中 \( a, b, A(x) \) 與所給的二拋物線有關。

114.7.9補充解題動畫

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作者: 王保丹 時間: 2013-5-12 22:43 標題: 回復 44# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師^_^，
我算出來了

作者: cefepime 時間: 2016-9-29 22:21

19. 由 y = x³ 的凸性，易知 M = (3d)³ + d³ = 28d³，m = (2d)³ + (2d)³ = 16d³

21.
在複數平面上有一區域\(S\)定義如下：
\(S=\{\; x+iy|\; -1\le x\le 1,-1\le y\le 1 \}\;\)
有一複數\(z=x+iy\)由區域\(S\)中均勻且隨機的選取，試問\(\displaystyle \left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}i\right)\cdot z\)亦落在區域\(S\)中的機率為　　　。
[解答]
x, y ∈ R，(3/4 +3i/4)*(x + yi) ∈ S ⇔ -4/3 ≤ x - y ≤ 4/3 ∧ -4/3 ≤ x + y ≤ 4/3

與 S 交集後，面積比 = 1 - (2/3)²/2 = 7/9

24.
如右圖，\(H\)為\(\triangle ABC\)之垂心，\(\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\overline{AB}=c\)，若面積比\(\triangle ABH:\triangle BCH:\triangle ACH=1:2:3\)，則邊長比\(a:b:c=\)　　　。
[解答]
tan 與邊長關係:

b² + c² - a² : c² + a² - b² : a² + b² - c² = 1/2 : 1/3 : 1

⇒ a² : b² : c² = 8 : 9 : 5

⇒ a : b : c = 2√2 : 3 : √5

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