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標題: 101北一女中二招 [打印本頁]
作者: mandy    時間: 2012-6-23 11:37     標題: 101北一女中二招

請問

計算4 : a_(n+1)=(1/13)[(a_n)^3-12] , 當alpha < a_1 < beta 時, a_n為收斂數列, 求 (1) alpha=? beta=?  (2) lim a_n (n-> infinte) =?

填充 2: z=c0s(2pi/17)+isin(2pi/17) , 若 f(x)=[x^100+x^99+x^98+.........+x+1+z] / x^101 , 求f(1+z的共軛)=?


【註：2012/07/06 weiye 將附加檔案更正為 katama5667 老師所提供的官方更正版。】

附件: 101北一女(二招).pdf (2012-7-6 23:02, 143.6 KB) / 該附件被下載次數 11635
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作者: lianger    時間: 2012-6-23 14:18     標題: 回復 1# mandy 的帖子

2.
設複數\(\displaystyle z=cos\frac{2\pi}{17}+i sin\frac{2\pi}{17}\)，\(\overline{z}\)為\(z\)的共軛複數。若定義函數\(\displaystyle f(x)=\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{100}x^k+1+z}{x^{101}}=\frac{x^{101}+x^{99}+\ldots+x+1+z}{x^{101}}\)，則\(f(1+\overline{z})\)為　　　。
[解答]
\(\displaystyle f(x)=\frac{x^{100}+x^{99}+\cdots +x+1+z}{x^{101}-1+1} \)
\(\displaystyle      =\frac{x^{100}+x^{99}+\cdots +x+1+z}{(x-1)(x^{100}+x^{99}+\cdots +x+1)+1} \)
令 \( g(x)=x^{100}+x^{99}+\cdots +x+1 \)
所以，\(\displaystyle f(1+\bar{z})=\frac{g(1+\bar{z})+z}{\bar{z}g(1+\bar{z})+1}=z=cos\frac{2\pi }{17}+i sin\frac{2\pi }{17} \)
作者: mandy    時間: 2012-6-24 02:23

請問填充第５及第８及
計算4 : a_(n+1)=(1/13)[(a_n)^3-12] , 當alpha < a_1 < beta 時, a_n為收斂數列, 求 (1) alpha=? beta=?  (2) lim a_n (n-> infinte) =?
作者: Fermat    時間: 2012-6-24 16:15

引用:
原帖由 mandy 於 2012-6-24 02:23 AM 發表
請問填充第５及第８及
計算4 : a_(n+1)=(1/13)[(a_n)^3-12] , 當alpha < a_1 < beta 時, a_n為收斂數列, 求 (1) alpha=? beta=?  (2) lim a_n (n-> infinte) =?
填充1.到7.請參考附檔
填充8. 我算的是344/225，與解答不同，暫不附上。
--------------------------------------------------------------------

5. (2)有筆誤，"-"在根號內才對。

附件: 北一女二招填充1-4.pdf (2012-6-24 16:15, 354.27 KB) / 該附件被下載次數 10121
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附件: 北一女二招填充5-7.pdf (2012-6-24 16:15, 367.47 KB) / 該附件被下載次數 9905
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1304&k=8627a340b682ae7636a87b2ccdc40d7e&t=1732269187
作者: yaung    時間: 2012-6-24 18:31     標題: 回復 2# lianger 的帖子

請問第四列，所以之後，那個式子如何等於z呢?謝謝
作者: 老王    時間: 2012-6-24 19:11

計算4
\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{13}(a_n^3-12) \) ，求收斂範圍及收斂值。

考慮此數列的遞增遞減範圍，也就是找
\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{13}(a_n^3-12) > a_n \) 的範圍
\(\displaystyle (a_n+3)(a_n+1)(a_n-4) > 0 \)
\(\displaystyle -3 < a_n < -1 or 4 < a_n \)
意即若 \(\displaystyle -3 < a_1 < -1 or  4 < a_1 \)，數列 \( <a_n> \) 遞增； (感謝 rudin 提醒)
當 \(\displaystyle a_1=-3, -1, 4 \) ，數列 \( <a_n>=<-3> , <-1> , <4>  \)
當 \(\displaystyle a_1 < -3 or -1 < a_1 < 4 \) ，數列 \( <a_n> \) 遞減。
所以
當 \(\displaystyle a_1 > 4 \) ，\( <a_n> \) 發散；
當 \(\displaystyle a_1 = 4 \) ，\(\displaystyle a_n \rightarrow 4 \)；
當 \(\displaystyle -1 < a_1 < 4 \) ，\( <a_n> \) 遞減有下界， \(\displaystyle a_n \rightarrow -1 \)；
當 \(\displaystyle a_1 = -1 \) ，\(\displaystyle a_n \rightarrow -1 \)；
當 \(\displaystyle -3 < a_1 < -1 \) ，\( <a_n> \) 遞增有上界， \(\displaystyle a_n \rightarrow -1 \)；
當 \(\displaystyle a_1 = -3 \) ，\(\displaystyle a_n \rightarrow -3 \)；
當 \(\displaystyle a_1 < -3 \) ，\( <a_n> \) 發散。

綜上所述，當 \(\displaystyle -3 \le a_1 \le 4 \) ，\( <a_n> \) 收斂；收斂值為 \(\displaystyle -3, -1, 4 \)
作者: mandy    時間: 2012-6-24 19:30

謝謝 lianger , Fermat ,   老王老師 , 謝謝!!
作者: lianger    時間: 2012-6-24 22:48     標題: 回復 5# yaung 的帖子

分子分母同乘以\(z\) ，\(z \times \bar{z} =1 \)。
作者: yaung    時間: 2012-6-27 15:05     標題: 回復 8# lianger 的帖子

懂了~謝謝
作者: 阿光    時間: 2012-7-4 06:07

想請教填充第8題,謝謝
作者: katama5667    時間: 2012-7-6 17:53     標題: 回復 4# Fermat 的帖子

填充8. 我怎麼都算出 \(\frac{24}{15}=\frac{8}{5}\)
(以上錯誤刷淡)
作者: tsusy    時間: 2012-7-6 18:15     標題: 回復 11# katama5667 的帖子

填充8.
小綠參加大學指定科目考試時，題目卷中有關多選題得分敘述如下---「多選題的每題有四個選項， 其中至少有一個是正確的選項。請選出正確的選項，畫記在答案卡之解答欄。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者得8分，答錯一個選項者得4分，所有選項均未作答或答錯多於一個選項者， 該題以0分計算。」若小綠此題有作答，請你算算看她此題得分的期望值為　　　。
[解答]
和 Fermat 老師算的相同，請大家一起幫忙找碴一下，看看小弟哪錯了

小綠有作答的情形有 \( 15 \)  種，正確答案的可能亦有 \( 15 \) 種

完全正確的可能有 \( 15\times1 \)

小綠畫記一個選項，恰答錯一選項之可能有 \( 4\times3 \) (答案不能四個都錯)

小綠畫記二個以上選項，恰答錯一選項之可能有 \( 11\times4 \)

所以該題期望值為 \(\displaystyle \frac{15\times1\times8+11\times4\times4+4\times3\times4}{15\times15}=\frac{344}{225} \)
作者: katama5667    時間: 2012-7-6 22:14     標題: 回復 12# tsusy 的帖子

看完你的說明，我清楚了解自己算錯了！
可能是受到原答案的影響，
剛剛去找一下北一女的公告，
發現答案修正為 \(\frac{344}{225}\)
附上公告修正檔。

【註：2012/07/06 weiye 將 katama5667 老師所提供的官方更正版改附於首篇的附件。】
作者: chiang    時間: 2012-7-10 10:19     標題: 還是看不懂

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-7-6 06:15 PM 發表
填充8. 和 Fermat 老師算的相同，請大家一起幫忙找碴一下，看看小弟哪錯了

小綠有作答的情形有 \( 15 \)  種，正確答案的可能亦有 \( 15 \) 種

完全正確的可能有 \( 15\times1 \)

小綠畫記一個選項，恰答錯一選項之可能有 ...
對不起。我還是看不懂。
不是要考慮:
畫計選項1 須全對 机率 1/15  8x(1/15)
畫計選項2 須1對1錯 机率 …
不懂為什麼您說的
＂畫記1選項。恰答錯一選項＂

可是樓上老兄說他懂！
可否請教解釋更＂白話＂一點？
謝謝
作者: andyhsiao    時間: 2012-7-10 10:24

我把各種情形寫白話一點...參考看看

圖片附件: 123.jpg (2012-7-10 10:55, 89.04 KB) / 該附件被下載次數 5515
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1371&k=b196419abb2794029469f18252e63596&t=1732269187

作者: chiang    時間: 2012-7-10 11:44

引用:
原帖由 andyhsiao 於 2012-7-10 10:24 AM 發表
我把各種情形寫白話一點...參考看看
了不起！
謝謝。
這下真懂了
作者: tsusy    時間: 2012-7-16 23:09     標題: 回復 4# Fermat 的帖子

想請教填充7.

這類的軌跡問題，不難猜測是二次曲線，甚至稍微畫一下，可以猜是圓或橢圓

Fermat 老師的數學證明也沒什麼問題，

但神來之筆就在如何看出圓心是 圓 C 的圓心和 Q 的中點
作者: max100    時間: 2013-1-2 20:32     標題: 回復 6# 老王 的帖子

請問一下，有下界要怎麼證明?謝謝
作者: tsusy    時間: 2013-1-3 11:18     標題: 回復 18# max100 的帖子

對 \( a_n \) 的範圍和遞增遞減一起 做數學歸納法 即可
作者: cefepime    時間: 2016-9-17 02:10

填充題 1.
設空間中一直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z-4}{3}\)，其中\(k\)為實數。在所有可能的\(k\)值之下，點\(P(1,0,3)\)到直線\(L\)距離的最小值為？
[解答]
除了使用參數式的代數方法，亦可引用幾何性質:

當 k 遍歷所有實數，諸直線 L 的聯集為一平面 E。P 在 E 上的投影點為 P'，則 PP' 為 P 至某 L 的距離，且其為所有 d (P, L) 的最小值。

由 E 上的兩向量 (0, 1, 0) 與 (1, 2, 3)，用點向式得 E: 3x - z +1 = 0。

所求 = d (P, E) = 1/√10



(6樓 計算4  問: 有上/下界要怎麼證明?  答: 因 <an> 有不動點 -3, -1, 4，且 f(x) = (x³ - 12)/13 嚴格遞增)

作者: cefepime    時間: 2016-9-17 14:19

填充題 7.
圓\(C\)：\(x^2+y^2-24x-28y-36=0\)內有一點\(Q(4,2)\)，過\(Q\)做直角三角形\(AQB\)交圓於 \(A\)、\(B\)兩點，且\(\angle AQB=90^{\circ}\)，若\(\overline{AB}\)的中點為\(P\)，則\(P\)的軌跡方程式為　　　。
[解答]
(提供一個不用"神來之筆"的想法)
構想: 分析 P 滿足的條件 → 分析 P 的充要條件 → 得到 P 的軌跡方程式
由 P 是直角三角形的斜邊中點，聯想到:  △ABC 中，M  為 BC 中點，則: AM = BM ⇔∠A = 90°
因此，P(x ,y) 的充要條件為:
PQ = (以 P 為中點的弦長) / 2

⇔ PQ² = - (P 對圓 C的冪)   [ 引用 "冪" 只是為了簡化計算，並非必要。逕用畢氏定理亦可。]

⇔  (x - 4)² + (y - 2)² = - (x² + y² - 24x - 28y - 36) [ 圓的平方項係數 = 1 時，"代入" 即得 "冪" ]

⇔ x² + y² - 16x - 16y - 8 = 0
作者: cefepime    時間: 2016-9-17 15:22

填充題 8.
多選題的每題有四個選項，其中至少有一個是正確的。所有選項均答對者得 8 分，恰答錯一個選項者得 4 分，其餘情形皆算 0 分。若小綠此題有作答 (且為隨意亂猜)，則她此題得分的期望值為? 答: 344/225
[解答]
易知所有選項均答對機率 = 1/15，以下只考慮恰答錯一個選項的機率 P。


想法一: 用古典機率 (基本上與 12 樓 Tsusy 老師的方法相同)

母群體為: (2⁴-1)² = 225

恰錯一個選項的方法數: 選出"錯的選項"後，每個選項皆有 2 種情形; 再扣掉有"空集合"的情況 = C(4,1)*2⁴ - 2*4 = 56

故 P = 56/225

(ps. 本題若無 "至少有一個選項是正確的" 這個破壞規律的附加條件，則母群體可用 2⁴ = 16)



想法二: 以"選項"為主角思考

分析: 15 個可能的答案組合中，含有某特定選項的有 2³ = 8 個 (某選項的出現率 = 8/15)。在前述 8 個組合中，含或不含另一特定選項者各占其半。例: n(有a) = 8 ，而 n(有a有c) = n(有a無c) = 4。

P =15 個可能的答案組合隨機 (可重複地) 取 2 次，恰有一個選項不一致的機率: 選出 "不一致" 的選項後，其它任一選項 "一致" 的機率皆為 1/2  (依據上文紅字所述)。

故 P = C(4,1)*2*(8/15)*(7/15)*(1/2)³ = 56/225  (藍字部分為"某選項不一致的機率")





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