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標題: 101瑞芳高工 [打印本頁]

作者: chung4033b 時間: 2012-6-17 22:35 標題: 101瑞芳高工

6/17的考題

附件: 101瑞芳高工.pdf (2024-5-6 13:32, 140.39 KB) / 該附件被下載次數 12753
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作者: bugmens 時間: 2012-6-19 05:03

1.
設\( a_1 \)，\( a_2 \)，…，\( a_{50} \)是從-1，0，1，這三個整數中取値的數列。若\( a_1+a_2+…+a_{50}=9 \)，且\( (a_1+1)^2+(a_2+1)^2+…+(a_{50}+1)^2=107 \)，則\( a_1 \)，\( a_2 \)，…，\( a_{50} \)當中有幾項是0？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=980&page=1#pid2322

5.
若數列\( \langle\; \theta_n \rangle\; \)滿足\( cos \theta_n=1-\frac{1}{2n^2} \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}tan^2 (\; \frac{\theta_n}{2} )\; \)
[提示]
\( \displaystyle tan^2 (\; \frac{\theta_n}{2} )\;=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \)
(我的教甄筆記　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

作者: sunjay 時間: 2012-6-19 13:16

請教填充18. 證明2

作者: m4su6 時間: 2012-6-20 17:43 標題: 證明2

試證：\(M\)個產品中有\(n\)個不良品\((M>n)\)，今從這\(M\)個產品中，隨機取出 \(k\)個\((n>k)\)，則取出不良品個數的期望值為\(\displaystyle \frac{kn}{M}\)。
[解答]

圖片附件: 瑞芳證明2.png (2012-6-20 17:43, 47.06 KB) / 該附件被下載次數 8218
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作者: l123eric 時間: 2012-7-5 00:32 標題: 解答

我自己寫的，不知道有沒有錯，大家對一下吧
1.　11
2.　\( \displaystyle -\frac{4}{5} \)
3.　\( \displaystyle \frac{2 \sqrt{5}-1}{19} \)
4.　\( \displaystyle \frac{671}{1296} \)
5.　\( \displaystyle \frac{1}{2} \)
6.　\( \displaystyle y=\frac{7}{18}x+\frac{86}{9} \)
7.　\( \displaystyle \frac{32}{5} \)
8.　3
9.　\( 54 \pi \)
10.　20
11.　\( \displaystyle \frac{7}{9}\pi \)
12.　13
13.　\( (a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a) \)
14.　\( \displaystyle \frac{5}{27} \)
15.　\( \displaystyle \frac{16}{3} \)
16.　\( \displaystyle \frac{6 \sqrt{14}}{7} \)
17.　\( \left[ \matrix{0 & \sqrt{3} \cr -\sqrt{3} & 0} \right] \)
18.　\( 12000 \pi \)
19.　\( 7,8,9,10 \)
20.　\( -15 \)
計1.　\( \displaystyle \frac{4}{9}\pi \times 10^5 \)

作者: katama5667 時間: 2012-7-5 09:07 標題: 回復 3# sunjay 的帖子

填充18
有一工廠生產一種座椅，其外型是由雙曲線的一支繞其共軛軸旋轉所成的曲面(如下圖所示)，已知\(A\)\(B\)是雙曲線的頂點，座椅的上下底直徑均為40公分，高60公分，\(\overline{AB}=20\)公分，求座椅的體積=　　　立方公分。
[解答]
求出雙曲線方程式： \(\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{300}=1\)

對 y 軸旋轉，再對 y 積分即可：\(\displaystyle 2\int^{30}_{0}x^2\pi dy=2\int^{30}_{0}(\frac{y^2+300}{3})\pi dy=12000\pi\)

作者: maymay 時間: 2012-8-18 12:19 標題: 回復 5# l123eric 的帖子

我算的答案
2. 8/9
6. 19x-12y=376

15. 91/12
16. 根號14

作者: natureling 時間: 2012-10-19 15:29

方程式\(\displaystyle x^2-2x-1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)的所有實數根之和為=?

並請教第8題
想法；原式改成x^4-2x^3-x^2-2x+1=0  利用實係數性質...找不到實根...
@@不知是否自己搞錯了....
第12題：小明向銀行貸款100萬元，約定從次月開始每月還給銀行1萬元，依月利率0.6%複利計算，則小明大約需要n年(n是自然數)可還清，求n=? (log1.006=0.0026)
第19題：從今年101年1月1日開始的n個月累積的需求量為S_n萬件，滿足
S_n=n/3*(-n^2+24n-11)，其中n=1,2,3,...,12按此預測，在101年度內，需求量超過54萬件的月份是哪幾個月份

沒有答案...是否版上的老師能協助一下....感恩您!!
第二 8/9  (和 maymay同)
第六    3x-2y-52=0 (l123eric  和maymay 和我都不同..@@...)
第15 16/3  (和l123eric同)
第16 根號14  (和 maymay同)
第20  負15(和l123eric不同)

引用:

原帖由 maymay 於 2012-8-18 12:19 PM 發表
我算的答案
2. 8/9
6. 19x-12y=376

15. 91/12
16. 根號14

作者: tsusy 時間: 2012-10-21 19:16 標題: 回復 8# natureling 的帖子

6, 20 你是對的

第 6 題懶得做給 wolfram alpha 做一下 linearfit (62,64), (66,72), (60,58),(64,72), (72,82), (68,80), (66,68) (62,68) (60,76), (60,60)

http://tinyurl.com/9d83p9z

第 20 題，看成方程式，列運算解不變，將 \( x=y=z=1 \) 代入，得

\( \begin{cases}
a+b & =4\\
b+c & =-2\\
a+c & =-4
\end{cases}\Rightarrow a=1 \), \( b=3 \), \( c=-5 \), 故 \( abc =-15 \).

第 8 題

令 \( y=x+\frac{1}{x}\Rightarrow y^{2}-2y-3=0\Rightarrow y=3 \) 或 -1

\( x+ \frac{1}{x}=y\Rightarrow x^{2}-yx+1=0 \), 判別式 \( D=y^2-4 \), 故 \( y=3 \) 之時 x 有兩實根且其和為 3

\( y=-1 \) 時，則為虛根。

作者: natureling 時間: 2012-10-25 00:22

謝tsusy老師第8題的提示：
解出y後雖然不懂後面的說明...但代回y=x+1/x...是只有2個實數根喔....呵呵....可能筆誤了!!

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-10-21 07:16 PM 發表
6, 20 你是對的

第 6 題懶得做給 wolfram alpha 做一下 linearfit (62,64), (66,72), (60,58),(64,72), (72,82), (68,80), (66,68) (62,68) (60,76), (60,60)

http://tinyurl.com/9d83p9z

第 20 題，看成方程式，列 ...

作者: tsusy 時間: 2012-10-25 11:32 標題: 回復 10# natureling 的帖子

感謝...確實是我的筆誤，已修正之

不小心把 "+" 打成 "-" 以致後面判斷錯誤

作者: casanova 時間: 2012-12-5 15:35

引用:

原帖由 natureling 於 2012-10-19 03:29 PM 發表
並請教第8題 x^2-2x-1-2/x+1/(x^2)=0的所有實數根之和為=?
想法；原式改成x^4-2x^3-x^2-2x+1=0 利用實係數性質...找不到實根...
@@不知是否自己搞錯了....
第12題：小明向銀行貸款100萬元，約定從次月開始每月還給銀行1 ...

請問第19題要怎麼算呢？只能\(n=1,2,...,12\)一個個代進去檢驗嗎？

作者: Ellipse 時間: 2012-12-5 21:50

引用:

原帖由 casanova 於 2012-12-5 03:35 PM 發表

請問第19題要怎麼算呢？只能\(n=1,2,...,12\)一個個代進去檢驗嗎？

19.
根據市場調查結果，預測某種電腦零件，從今年101年1月1日開始的\(n\)個月累積的需求量為\( S_n \)萬件，滿足\(\displaystyle S_n=\frac{n}{3}(-n^2+24n-11)\)，其中\( n＝1，2，3，\ldots，12\)，按此預測，在101年度內，需求量超過 54萬件的月份是哪幾個月份？

(n/3)(-n^2+24n-11)>54 (n為正整數)
得n^3-24n^2+11n+162<0
令f(n)=n^3-24n^2+11n+162
f(1)>0 ,f(2)>0 ,f(3)>0
f(4)<0-------------------(1)
又f ' (n) =3n^2-48n+11 ,解 f ' (n) =0 ,得n=0....或15......
表示當1<=n<=15時, f ' (n)<0 , 此時f(n)遞減-------------(2)
由(1)&(2)得f(4)<0 ,f(5)<0 ,................................,f(12)<0
所求=4,5,6,7,8,9,10,11,12

作者: 王保丹 時間: 2013-4-21 14:17

想請問填充第十一題

作者: weiye 時間: 2013-4-21 15:50 標題: 回復 14# 王保丹的帖子

填充第 11 題：
設\(z=-1+cos100^{\circ}+isin80^{\circ}\)，則\(Arg(z)=\)？
[解答]
\(z=-1+\cos 100^\circ+i\sin80^\circ\)

　\(= -1-\cos80^\circ+i\sin80^\circ\)

　\(= -2\cos^2 40^\circ + i\cdot 2\sin40^\circ\cos40^\circ\)

　\(= 2\cos40^\circ\left(-\cos40^\circ +i\sin40^\circ\right)\)

　\(= 2\cos40^\circ\left(\cos140^\circ +i\sin140^\circ\right)\)

\(\mbox{Arg}(z) = 140^\circ\)　且 \(\left|z\right|=2\cos40^\circ\)

作者: Joy091 時間: 2013-4-21 16:20 標題: 回復 14# 王保丹的帖子

設\(z=-1+cos100^{\circ}+isin80^{\circ}\)，則\(Arg(z)=\)？
[解答]
也可以參考附件的幾何想法!

或試試和差化積:

\(z=-1+\cos 100^\circ+i\sin80^\circ\)

　\(= \cos180^\circ+\cos100^\circ+i\sin80^\circ\)

　\(= 2\cos140^\circ\cos40^\circ + i\cdot 2\sin40^\circ\cos40^\circ\)

　\(= 2\cos40^\circ\left(\cos140^\circ +i\sin40^\circ\right)\)

　\(= 2\cos40^\circ\left(\cos140^\circ +i\sin140^\circ\right)\)

102.4.21版主補充
將圖檔縮小(615kb->27kb)

圖片附件: 主幅角的幾何分析.PNG (2013-4-21 18:05, 26.99 KB) / 該附件被下載次數 4542
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1615&k=f4925844e5cef7216cae35fc9f894209&t=1732508025

作者: 王保丹 時間: 2013-4-21 17:13

謝謝!謝謝!
清楚易懂

作者: kittyyaya 時間: 2013-8-28 23:34

請問各位老師
第14題我用極限定義算
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{n \to \infty}\frac{\displaystyle -\frac{x+2}{(x-5)^3}-\frac{4}{27}}{x-2} \)
整理卻得不到答案
可否勞煩各位老師謝謝

作者: weiye 時間: 2013-8-28 23:57 標題: 回復 18# kittyyaya 的帖子

填充第 14 題：
設\(\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{|\;x-5|\;^3}\)，求\('(2)=\)？
[解答]
\(\displaystyle f\,'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{\frac{x+2}{{\left( 5-x\right) }^{3}}-\frac{4}{27}}{x-2}=\lim_{x\to2}-\frac{4\,{x}^{2}-52\,x+223}{27\,{\left( x-5\right) }^{3}}=\frac{5}{27}\)

作者: yosong 時間: 2021-3-9 01:32 標題: 回復 13# Ellipse 的帖子

題目是問某月份的需求量超過54萬,所以E大算的是題目給的"累積"需求量,所以應該不太對

作者: thepiano 時間: 2021-3-9 08:22 標題: 回復 12# casanova 的帖子

第 19 題
根據市場調查結果，預測某種電腦零件，從今年101年1月1日開始的\(n\)個月累積的需求量為\( S_n \)萬件，滿足\(\displaystyle S_n=\frac{n}{3}(-n^2+24n-11)\)，其中\( n＝1，2，3，\ldots，12\)，按此預測，在101年度內，需求量超過 54萬件的月份是哪幾個月份？
[解答]
第 n 個月的需求量為 a_n
a_n = S_n - S_(n-1) = -n^2 + 17n - 12
解 -n^2 + 17n - 12 > 54 即可

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