Math Pro 數學補給站

標題: 101北市中正高中 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2012-6-17 16:59 標題: 101北市中正高中

如題
請享用
---------
題外話
小弟今年沒考
因為暑假要去高雄進修
等我進修回來還要補去年六月底以後到今年的進度
可能會仆街orz
各位多加油

附件: 北市中正高中.pdf (2012-6-17 16:59, 206.02 KB) / 該附件被下載次數 13960
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1259&k=804dba6b15eda1c6f586c0f6c75f0d6a&t=1714092907

作者: arend 時間: 2012-6-17 18:14

請教第三題
還有第四題m=-3/2怎麼得到的

版上高手請不吝告知

另外第二題
先令高h, C到山腳為x
我是利用tan(3theta)=tan(2theta+theta)
tan(2theta)=tan(theta+theta)
得x=35 在求出h

可是我這樣做就花了我約20分鐘
請教有更簡潔的作法嗎

謝謝

作者: 老王 時間: 2012-6-17 18:45 標題: 回復 2# arend 的帖子

第二題
如圖，可知 \( CD=AD=100 \) ，
在 \( \Delta CDE \) 中用正弦定理，得到
\(\displaystyle \frac{100}{\sin3\theta}=\frac{40}{\sin\theta} \)
\(\displaystyle 3-4\sin^2\theta=\frac{5}{2} \)
\(\displaystyle \sin^2\theta=\frac{1}{8} \)
\(\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{\sqrt8} \)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt7}{\sqrt8} \)
\(\displaystyle BC=CD\sin2\theta=25\sqrt{7} \)

第三題
若第一次反面，則只要剩下的 \( n-1 \) 次不要連續正面就好；
若第一次正面，則第二次必須反面，只要剩下的 \( n-2 \) 次不要連續正面就好；
故 \(\displaystyle P_n=\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{4}P_{n-2} \)
以及 \( P_1=1, P_2=\frac{3}{4} \)
剩下的就慢慢算。

第四題
前者兩根為 \( 1+i, 1-i \)
如果後者有共軛虛根，我們知道虛根對稱於 \( x \) 軸，只要實部不為 \( 1 \) ，必為等腰梯形，四點共圓；
\(\displaystyle D=m^2-1<0, \Rightarrow -1 < m < 1 \) ；
實部為 \( 1 \) ，\( -2m=2 \) 即 \( m=-1 \) 不在判別式的範圍內，所以這部分是 \( -1 < m < 1 \) 。
如果是相異實根，設兩根為 \( p < q \) ，顯然要有 \( p < 1 < q \) 才行，
而且直徑會在 \( x \) 軸上，由直角三角形子母相似性質知道 \( (1-p)(q-1)=1^2 \)
\( -(1+2m+1)=1 \)
\(\displaystyle m=-\frac{3}{2} \)

[ 本帖最後由老王於 2012-6-17 07:48 PM 編輯 ]

圖片附件: 101中正高中填充2.jpg (2012-6-17 18:57, 10.67 KB) / 該附件被下載次數 9213
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1260&k=10cffbbf0f1f8f0f60eabb1d8e476f61&t=1714092907

作者: arend 時間: 2012-6-17 18:53

引用:

原帖由老王於 2012-6-17 06:45 PM 發表
如圖，可知 \( CD=AD=100 \) ，
在 \( \Delta CDE \) 中用正弦定理，得到
\(\displaystyle \frac{100}{\sin3\theta}=\frac{40}{\sin\theta} \)
\(\displaystyle 3-4\sin^2\theta=\frac{5}{2} \) ...

謝謝老王老師

真是太漂亮的解法

再次感謝你

作者: bugmens 時間: 2012-6-17 19:14

1.
設\( Γ_1 \)：\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \le 1 \)、\( Γ_2 \)：\( \displaystyle \frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \le 1 \)，其中\( a>b>0 \)，求\( Γ_1 \)與\( Γ_2 \)交集的區域面積為？
看到老王老師的解法，讓我想到另一題

通過橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上兩點\( (0,-4) \)，\( \displaystyle (\frac{5 \sqrt{3}}{2},2) \)的直線L，將橢圓內部分割成兩個區域，試問較小區域的面積為？
(1)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3} \)　(2)\( \displaystyle \frac{25 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \)　(3)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \)　(4)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-5 \sqrt{3} \)
(98桃園縣國中聯招，https://math.pro/db/thread-826-1-1.html)

8.若\(\cases{\displaystyle x=\frac{12z^2}{1+36z^2} \cr y=\frac{12x^2}{1+36x^2} \cr z=\frac{12y^2}{1+36y^2}} \)，則\( x+y+z= \)

解方程組\( \displaystyle \cases{1+x^2=2y \cr 1+y^2=2z \cr 1+z^2=2x} \)。

102.3.28補充
Find all real solutions to the following system of equations. Carefully justify your answer.
\( \cases{\displaystyle \frac{4x^2}{1+4x^2}=y \cr \frac{4y^2}{1+4y^2}=z \cr \frac{4z^2}{1+4z^2}=x} \)
(1996 Canada National Olympiad，http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1996)
https://math.stackexchange.com/q ... -involving-fixed-po

計算題
4.
已知函數\( f(x)=ax^2-c \)( \( a,c \in R \) )滿足\( -4 \le f(1) \le -1 \)，\( -1 \le f(2) \le 5 \)，
(1)利用Lagrange多項式，將\( f(x) \)表為\( P_1(x)f(1)+P_2(x)f(2) \)，其中\( P_1(x) \)與\( P_2(x) \)均為二次多項式，則\( P_1(x)= \)？\( P_2(x)= \)？
(2)求\( f(3) \)之值的範圍？

高中數學常見題之一題多解
http://i.imgur.com/XaQ6H.gif
http://i.imgur.com/MvBFJ.gif
http://i.imgur.com/HDRBC.gif

已知a、b為實數，\( f(x)=ax^2+bx \)，滿足\( 1 \le f(1) \le 2 \)，\( 2 \le f(2) \le 4 \)，若\( P \le f(3) \le Q \)，則數對\( (P,Q) \)為何？
(101桃園縣高中聯招，https://math.pro/db/thread-1416-1-1.html)

101.11.25補充
設\( f(x)=ax^2+bx+c \)，若已知\( 1 \le f(1) \le 2 \)，\( 1 \le f(2) \le 4 \)，\( 3 \le f(3) \le 11 \)，求\( f(4) \)之最大值？
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12657(連結已失效)

110.8.2補充
若二次實係數多項式函數\(f(x)\)滿足\(\cases{-1\le f(1)\le 3 \cr 6 \le f(2)\le 10 \cr 2 \le f(4) \le 24}\)，則\(f(7)\)的最大值？
(110竹東高中，https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html)

6.
設\( x_1 \)，\( x_2 \)，…，\( x_n \)都是正數且\( n \ge 2 \)，試分別利用算幾不等式與數學歸納法兩種方法證明：
\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\frac{x_3^2}{x_4}+……+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+…+x_n \)

設\( x_1,x_2,...,x_n \)都是正數，試證\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+...+x_n \)。
(100桃園高中，https://math.pro/db/thread-1144-1-1.html)

設\( a_1,a_2,...,a_n \)皆為正數，求證：\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \le \frac{a_1^2}{a_2}+\frac{a_2^2}{a_3}+...+\frac{a_n^2}{a_1} \)
(94高中數學能力競賽　台南區筆試一試題，h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_Tainan_01.pdf連結已失效)

101.12.11補充
我在這本書找到這題的數學歸納法證明
夏興國，數學歸納法縱橫談

圖片附件: 數學奧林匹克教程.gif (2012-6-17 19:14, 10.68 KB) / 該附件被下載次數 10436
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1261&k=e36639e4e80dc0190f00f4ffb121239d&t=1714092907

附件: 101中正高中-計算6數學歸納法解題.zip (2012-12-11 15:27, 15.18 KB) / 該附件被下載次數 11507
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1477&k=c7e2b971ce1e22a6835da7b654d669b0&t=1714092907

作者: bluewing 時間: 2012-6-17 21:20

老師您好，請問填充第1題兩橢圓所夾面積應該要怎麼處理呢?
可以指點一下嗎?謝謝您。

作者: 老王 時間: 2012-6-17 21:45 標題: 回復 6# bluewing 的帖子

利用伸縮變換，作出兩圓 \( x^2+y^2=a^2 \) 和 \( (x-a)^2+y^2=a^2 \)
計算兩圓交集面積再乘上 \(\displaystyle \frac{b}{a} \) 就好。
如圖
兩圓交集面積為 \(\displaystyle 2 \times \frac{a^2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}a^2}{2} \)
所以所求為 \(\displaystyle \frac{2ab\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}ab}{2} \)

[ 本帖最後由老王於 2012-6-17 09:46 PM 編輯 ]

圖片附件: 101中正高中填充1.jpg (2012-6-17 21:46, 18.71 KB) / 該附件被下載次數 9077
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1264&k=78a7a3bcfb05128bd07d6edf03a1cb43&t=1714092907

作者: bluewing 時間: 2012-6-18 19:24

老師您好，謝謝您的解答，很詳細...
另外可以請問計算4的第1小題應該如何處理呢??
只有兩個點的值怎麼用lagrange插值法呢?謝謝您。

作者: tsusy 時間: 2012-6-18 19:53 標題: 回復 8# bluewing 的帖子

計算 4. 沒看過這樣的變形的 Lagrange 插值多項式

不過猜測 \(\displaystyle P_{1}(x)=\frac{1}{(-3)}(x^{2}-4) \), \(\displaystyle P_{2}(x)=\frac{1}{3}(x^{2}-1) \)

也就是滿足次數 2, 一次項零，1, 2 代入又會等於 1,0 的多項式

作者: 老王 時間: 2012-6-18 21:38 標題: 回復 8# bluewing 的帖子

我的想法是，如果找到某個 \( k \) ，使得 \( f(k)=0 \)
那麼
\(\displaystyle f(x)=f(1) \frac{(x-2)(x-k)}{(1-2)(1-k)}+f(2) \frac{(x-1)(x-k)}{(2-1)(2-k)} \)
但是對於找 \( f(3) \) 的範圍似乎沒有助益。

作者: childgrow 時間: 2012-6-18 23:37 標題: 想請教計算2、計算3(3)、計算6

謝謝各位老師了

作者: tsusy 時間: 2012-6-19 00:09 標題: 回復 11# childgrow 的帖子

計算 2. 不要被嚇到了，題目都叫我們猜了，當然是列個幾項猜答案，然後證明之。

\( n=2\), \( 1225=35^2 \)

\( n=3 \), \( 112225=335^2 \)

看到這已經猜出答案了。

以完全平方公式計算得 \( 333..335^2 = 333..33 \times 333..34\times 10^2 +25 \)

前面相乘補一個 \( \frac33 \) 給它得 \( 999..99\times 333..34\div 3\)

\( 999..99 \) 寫成 \( 1000..00-1 \) 分配乘開得 \( (333..34000..00-333..34)\div 3 = 333..33666..66\div 3 =111..11222..22 \)

補上兩個 0 加 25，就得 \( 333..335^2 = 111..11222..2225 \)

註：以上所有的 aaa..aa 長度一樣長

作者: sanghuan 時間: 2012-6-19 17:35

想請問各位老師填充題第六題
方程式\( ax^2-4ax +1= 0\) 的兩個正數解\( \alpha，\beta\)滿足不等式\(|log\alpha -log\beta | \le 1\)，則實數a 的範圍為__________

不知道a的上界是怎麼求得的謝謝大家

[ 本帖最後由 sanghuan 於 2012-6-20 01:03 PM 編輯 ]

作者: 阿光 時間: 2012-6-20 13:50

想請教計算第1(2)(3),第3(3) ,第4(1) ,謝謝

作者: sanghuan 時間: 2012-6-20 14:18

引用:

原帖由阿光於 2012-6-20 01:50 PM 發表
想請教計算第1(2)(3),第3(3) ,第4(1) ,謝謝

計算1(2)(3)用內積定義去想

計算3(3)我是用過P坐一平行於 \( \overline{BC} \)的線去看比例關係 (先求出 \( \overline{PL} \)、\( \overline{PM} \)、\( \overline{PN} \))

先試試看吧真的不行我再詳細PO

[ 本帖最後由 sanghuan 於 2012-6-20 02:21 PM 編輯 ]

作者: yaung 時間: 2012-6-24 18:11 標題: 回復 15# sanghuan 的帖子

計算3(3)比例關係知道也求出 PL、PM、PN，但還是算不出來~可否請你詳細PO呢?謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-6-24 20:30 標題: 回復 16# yaung 的帖子

一般的任意比例的確，的確很難算。

但這題的是特殊比例，應該關注 \( 2 \overline{PL}: 3\overline{PM}: 4\overline{PN}=1:1:1 \)

再回到 (1) 時，就知道這三個量的意義了

作者: sanghuan 時間: 2012-6-24 21:25 標題: 回復 16# yaung 的帖子

承寸絲老師所說可知

其實三角形APB、APC、BPC的面積相等且等於三分之一的三角形ABC之面積

可知若過P點坐一平行於\( \overline{BC} \)之線交\( \overline{AB} \)於O、交\( \overline{AC} \)於O'

則\( \overline{AO} \)：\( \overline{AB} \) = \( \overline{AO'} \)：\( \overline{AC} \) = 1：3 ，因此\( \overline{AO} \)和\( \overline{AO'} \)可知

又在三角形AOP中  兩倍三角形AOP之面積 = \( \overline{AO} \)X\( \overline{PL} \) = \( \overline{OP} \) X (A到\( \overset { \rightharpoonup  }{ OP }  \) 的距離)

其中 A到\( \overset { \rightharpoonup  }{ OP }  \) 的距離可由三角形ABC與PBC之面積關係求得

因此\( \overline{OP} \)可得同理\( \overline{PO'} \)亦可得

又O、P、O'在同一直線上可得\( \overline{AP} \) 和\( \overline{AO} \)、\( \overline{AO'} \)的關係

再把\( \overline{AO} \)、\( \overline{AO'} \)分別轉為\( \overline{AB} \)、\( \overline{AC} \)即可

我是覺得這個方法很麻煩不過可解就是了  給大家參考不知道有沒有更快了方法

[ 本帖最後由 sanghuan 於 2012-6-24 09:27 PM 編輯 ]

作者: jmfeng2001 時間: 2012-6-24 21:42

承上...
當三角形APC,APB,BPC面積相等...
不是重心嗎...
還是我解讀有誤

作者: sanghuan 時間: 2012-6-24 21:47

引用:

原帖由 jmfeng2001 於 2012-6-24 09:42 PM 發表
承上...
當三角形APC,APB,BPC面積相等...
不是重心嗎...
還是我解讀有誤

哈哈沒想到其實上面那個方法是我還沒聯想到面積相等時做的解答受教啦

[ 本帖最後由 sanghuan 於 2012-6-24 09:54 PM 編輯 ]

作者: jmfeng2001 時間: 2012-6-24 22:00

甭客氣了...
我也是考完...回來想很久才想到...
在這裡...一直向各位老師學習...
很感謝大家...
一起研究吧

作者: sanghuan 時間: 2012-6-24 22:11

引用:

原帖由 jmfeng2001 於 2012-6-24 10:00 PM 發表
甭客氣了...
我也是考完...回來想很久才想到...
在這裡...一直向各位老師學習...
很感謝大家...
一起研究吧

大家互相幫忙一起加油!!!!

作者: shingjay176 時間: 2012-7-10 11:06 標題: 回復 1# 八神庵的帖子

計算題第一題。第一小題。第二小題
再寫過一次‧原本的答案有誤

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2013-1-11 10:23 PM 編輯 ]

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-10 11:49

引用:

原帖由 sanghuan 於 2012-6-19 05:35 PM 發表
想請問各位老師填充題第六題
方程式\( ax^2-4ax +1= 0\) 的兩個正數解\( \alpha，\beta\)滿足不等式\(|log\alpha -log\beta | \le 1\)，則實數a 的範圍為__________

不知道a的上界是怎麼求得的謝謝大家 ...

參考看看^^..

圖片附件: 3.jpg (2012-7-10 11:49, 52.03 KB) / 該附件被下載次數 5443
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1374&k=1989536074bda8188fcdc92b93b0e393&t=1714092907

作者: redik 時間: 2012-7-22 20:43

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-7-10 11:06 AM 發表
計算題第一題。第一小題。第二小題
第三小題。符合題意的時候，三角形PAQ為等腰三角形，AO是底邊PQ上的中垂線。因此面積為
{4*sqrt(14)/2}=2√14

是這樣的，關於計算題有幾個問題想問：

1.計算1第2小題關於求最大值的部分

我的作法如下：

2.計算6的證明方法，說要用算幾不等式，目前實在沒有頭緒...orz

3.計算5我只有解出第一題，第二題解t時，解出這個方程式：64t^4+64t^3+37t^2-27t-27=0，好像解不出來?

懇請各位老師賜教了 orz

作者: Ellipse 時間: 2012-7-22 23:08

引用:

原帖由 redik 於 2012-7-22 08:43 PM 發表

是這樣的，關於計算題有幾個問題想問：
2.計算6的證明方法，說要用算幾不等式，目前實在沒有頭緒...orz

計算6
[(x1)^2+(x2)^2]/ x2  +[(x2)^2+(x3)^2]/ x3  +......................+[(xn)^2+(x1)^2]/ x1

>= (2*x1*x2)/x2 + (2*x2*x3)/x3+......................+(2*xn*x1)/x1

[註: [(x1)^2+(x2)^2]/2 >= [(x1)^2*(x2)^2]^0.5
=>  (x1)^2+(x2)^2 >= 2*x1*x2  就用到算幾不等式 ]

[(x1)^2/x2  + x2 ] + [(x2)^2/x3  + x3 ] +..................+[(xn)^2/x1  + x1 ]

>= 2*x1+2*x2+...................+2*xn

可得
(x1)^2/x2 + (x2)^2/x3  +..................+(xn)^2/x1

>= x1+x2+...................+ xn

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-7-22 11:09 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2012-7-22 23:46

引用:

原帖由 redik 於 2012-7-22 08:43 PM 發表

是這樣的，關於計算題有幾個問題想問：
3.計算5我只有解出第一題，第 ...

計算3
算到後面
t^4+t^3+t^2 =t^2*(t^2+t+1)=27/(4a^2) ----------------(1)
t^2+t+1=16/a^2 ------------------(2)
將(2)代入(1)
t^2*(16/a^2)=27/(4a^2)
因為a,b,c>0 且t=c/a>0
因此 t^2 =27/64
t=3*3^0.5/8
(您的四次方程式有一個解就是這個答案,其它不合)
再代入(2)解a
不過a的數據很醜

有算錯請指正

作者: Ellipse 時間: 2012-7-22 23:50

引用:

原帖由 redik 於 2012-7-22 08:43 PM 發表

是這樣的，關於計算題有幾個問題想問：

1.計算1第2小題關於求最大值的部分

我的作法如下：

個人認為您的算法應該是ok的

shingjay176老師這題最一小題寫的方式可能需要再檢驗或再仔細說明一下

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-24 15:22

引用:

原帖由 redik 於 2012-7-22 08:43 PM 發表

是這樣的，關於計算題有幾個問題想問：

1.計算1第2小題關於求最大值的部分

我的作法如下：

你的是對的...
shingjay176的5/9答案是計算錯誤來的....(他把4根號14的平方算錯...才會有這個答案)
不過這不是最大問題...他的算法並不能保證P和Q一定在XY平面上...
他只能保證PQ是通過原點為圓心半徑為2的圓上的點...

我用另外一個方法算..參考看看

圖片附件: 1.png (2012-7-24 15:22, 123.25 KB) / 該附件被下載次數 5110
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1409&k=ca0fe06d8a4c761f3ee843faf6d05c16&t=1714092907

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-24 17:47

計算2...參考看看

圖片附件: 2.png (2012-7-24 17:47, 76.08 KB) / 該附件被下載次數 5223
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1410&k=dd362fe2c685a8bb4da04f40d8b32e7e&t=1714092907

作者: redik 時間: 2012-7-24 22:46

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-7-22 11:08 PM 發表

計算6
[(x1)^2+(x2)^2]/ x2 +[(x2)^2+(x3)^2]/ x3 +......................+[(xn)^2+(x1)^2]/ x1

>= (2*x1*x2)/x2 + (2*x2*x3)/x3+......................+(2*xn*x1)/x1

[註: [(x1)^2+(x2)^2]/2 >= [ ...

1.厲害！我實在想不到這麼簡單就出來了....orz

2.第5題也是臨門一腳，感謝兩位老師

3.另外第6題漏看一個還需要數學歸納法的證明，n=1的部分沒問題

但是 n=k 到 n=k+1 的部分就有困難了，怎麼兜都兜不出來 orz，不知道各位老師有沒有想法....

4.其他題目因為沒看到答案，懇請各位幫忙看一下有沒有錯@@

計算3 : (1) 3*sqrt(15)/2 (2) 45/4 (3) (1/3,1/3)

計算4 : (1)P1(x) = (-x^2+4)/3，P2(x) = (x^2-1)/3 (2) -1<= f(3) <= 20

謝謝！

作者: natureling 時間: 2012-11-7 20:33 標題: 回復 17# tsusy 的帖子

@@...可以請問一下如何看出2PL:3PM:4PN=1:1:1...感恩

作者: natureling 時間: 2012-11-7 21:22 標題: 回復 9# tsusy 的帖子

@@可以請教一下tsusy大嗎??為何如何猜測@@...

作者: tsusy 時間: 2012-11-7 22:01 標題: 回復 32# natureling 的帖子

計算3

因為前面一段柯西不等式沒人寫。

由面積和柯西不等式可得在 \( 2\overline{PL}=3\overline{PM}=4\overline{PN} \) 時會發生極值

後面由面積得到重心的，前面已有人討論過了。

回復 33# natureling 的帖子

計算3

一般我們將 Lagrange 插值多項式寫作 \( \sum c_k p_k(x) \) 之型式，其中 \( p_k \) ...(不會形容)

但如果不把 \( p_k \) 的式子詳細寫下了，我們還是知道 \( p_k(x_l) = \delta_{kl} \)，其中 \( \delta_{kl}\) 為 Kronecker 記號。

所以其實的我猜測，是將 \( p_k \) 的性質推廣過來，而反 \( p_k \) 的形狀

作者: Sandy 時間: 2012-12-2 02:34 標題: 回復 32# natureling 的帖子

計算3
想請問計算5的想法，謝謝

圖片附件: 101中正高中.png (2012-12-2 02:34, 50.42 KB) / 該附件被下載次數 5049
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1474&k=313caf26374504d940d8a1e9aa80088a&t=1714092907

作者: dream10 時間: 2012-12-2 07:36

計算5請參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2936

作者: shingjay176 時間: 2013-1-11 12:42

這一題只有算出1/2的答案，0那組答案怎麼來的？？？

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2013-1-11 12:48 PM 編輯 ]

圖片附件: [填充題第八題] 20130111_124709-1.jpg (2013-1-11 12:48, 141.4 KB) / 該附件被下載次數 5570
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1497&k=e29d8673eaf01e392fc0ef7067f0145d&t=1714092907

作者: weiye 時間: 2013-1-11 13:18 標題: 回復 37# shingjay176 的帖子

你所寫的解答的第一步「將 \(x\) 倒數變成 \(\displaystyle \frac{1}{x}\) 」的先決要件是 \(x\) 不是 \(0\)，

若 \(x=0\)，由題述的第二式可得 \(y=0\)，再由題述的第三式可得 \(z=0\)，

同理，可知 \(x,y,z\) 只要三者有一數為零，則三數皆為零，因此 \(x+y+z=0\)。

若三數皆非零，就可以如你的解答步驟接續下去。

作者: kittyyaya 時間: 2013-1-31 01:34

想請問老王老師在#3發表的填充3解答
我的解法如下
x^2-(1/2)x-(1/4)=0
.....
x=(1+ - 根號5)/4
P_n=[(1+ 根號5)/4]^n * a+[(1- 根號5)/4]^n *b
這樣算下去過程很可怕請問老師們我要如何做謝謝

作者: weiye 時間: 2013-1-31 10:50 標題: 回復 39# kittyyaya 的帖子

填充第 3 題：

連續丟擲 \(n\) 回硬幣，在所有情況中，正面不連續出現的情況有 \(a_n\) 種，

則 \(a_1=2,a_2=3\)，\(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\)

\(n\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
\(a_n\)	\(2\)	\(3\)	\(5\)	\(8\)	\(13\)	\(21\)	\(34\)	\(55\)	\(89\)	\(144\)

（是的～它是 Fibonacci 數列～：Ｐ）

所求＝\(\displaystyle \frac{144}{2^{10}}=\frac{9}{64}\)

另解，

\(10\) 次中沒有正面的有 \(1\) 種，

\(10\) 次中恰有 \(1\) 次正面的有 \(C^{10}_1\) 種，

\(10\) 次中恰有 \(2\) 次正面（任兩正面都不相鄰）的有 \(C^9_2\) 種，

\(10\) 次中恰有 \(3\) 次正面（任兩正面都不相鄰）的有 \(C^8_3\) 種，

\(10\) 次中恰有 \(4\) 次正面（任兩正面都不相鄰）的有 \(C^7_4\) 種，

\(10\) 次中恰有 \(5\) 次正面（任兩正面都不相鄰）的有 \(C^6_5\) 種，

所求＝\(\displaystyle \frac{1+C^{10}_1+C^9_2+C^8_3+C^7_4+C^6_5}{2^{10}}=\frac{9}{64}\)

作者: rock 時間: 2013-3-25 10:44

bugmen老師您的這段說明:計算第6

我在這本書找到這題的數學歸納法證明
夏興國，數學歸納法縱橫談

夏興國老師的文章中內容中他有說到"優化假設"

我的看法是當數學歸納法最後需要比較出x_1 x_n x_n+1這個計算後的大小值時

如果假設這三數的大小順序(例如假設x_1 > x_n > x_n+1) 有可能造成不等式的不成立

所以我不懂為何他可以假設x_n+1為最大值

(還是我誤解他的說明??)

謝謝回答

作者: tsusy 時間: 2013-3-25 14:16 標題: 回復 41# rock 的帖子

這就像是平常寫證明的時候，從對稱性可以加入一些不失一般性的假設

\(x_1, x_2,x_3,\ldots, x_{n+1} \) 如果最大的是 \( x_5 \) 重新排序

\( x_6, x_7, x_8,\ldots, x_{n+1}, x_1, x_2, \ldots, x_5 \) 重新命名為 \( y_1, y_2, \ldots, y_{n+1} \)

那麼 \( y_{n+1} \) 就是最大的啦

而對 \({x_i}\), \( {y_i} \) 來說，不等式的兩邊值是相同的

故僅須對 \( {y_i} \) 去證明原命題

作者: rock 時間: 2013-3-26 10:49

我欠缺的就是這個解釋非常清楚太感謝了!

作者: 阿吉 時間: 2013-5-25 05:47 標題: 回復 31# redik 的帖子

計算4
只看到答案, 沒看到過程, 所以我來補過程：
f(x)是偶函數, 所以y=f(x)的圖形通過(1,f(1)), (-1,f(1)), (2,f(2))三點
由lagrange插值公式即可得到一多項式
最後整理後即可得到 P1(x)和P2(x)

ps 由f(1)=a-c和f(2)=4a-c很容易得到答案
但因為題目要求用lagrange插值公式
所以我猜應該要這麼寫(其實我原本的式子更醜, 我原本第三個點是用( sqrt(c/a) , 0 ) QQ

)

作者: cefepime 時間: 2016-9-29 23:38

計算題

1. A (3,1,2) 為空間中一點，P、Q 為 xy 平面上以原點 O 為圓心且半徑為 2 的圓之直徑兩端點，試計算下列問題：

(1) 內積 AP．AQ =？

(2) cos∠PAQ 的最大值與最小值。

(3) cos∠PAQ 為最小值時，ΔPAQ 的面積為何？

解:

(1) 所求 = AO² - r² = 14 - 4 = 10

(2)(3) 雖然題意暗示用內積，但亦可利用幾何性質來解。

平面上給定一線段 PQ (中點為 O)，滿足∠PAQ 為定值 [範圍: (0, 180°)] 的動點 A，其構成對稱於 PQ 的兩圓弧。再思考當∠PAQ 變化時，兩圓弧的動態變化。依此考慮 AO 為定值時，∠PAQ 之值，可得如下結論:

1. 若 AO > PO ("A 在圓外")，則 AO 與 PQ 夾角 (取直角或銳角) 愈大，∠PAQ 愈大

2. 若 AO < PO ("A 在圓內")，則 AO 與 PQ 夾角 (取直角或銳角) 愈大，∠PAQ 愈小

3. 若 AO = PO ("A 在圓上")，則 ∠PAQ = 定值 (90°)

把以上結論應用於本題的 A, P, Q 所在平面 (屬於第 1 種情形):

cos∠PAQ 最小 (∠PAQ 最大) 時，AO 垂直 PQ。

cos∠PAQ 最大 (∠PAQ 最小) 時，即把前述 PQ 旋轉 90° 時 (考慮 AP 長與∠AOP 關係即知)，且在此 A, P, Q 所在平面垂直 xy 平面 (若不易體會，可用三垂線定理證之)。

參考圖示h ttp://imgur.com/W0WPdrF

cos∠PAQ 的最大值: 如上圖左，tan∠PAQ = 4/5 (差角公式) ⇒ cos∠PAQ = 5/√41

cos∠PAQ 的最小值: 如上圖右，tan(∠PAQ/2) = 2/√14 ⇒ cos∠PAQ = 5/9，此時 aΔPAQ = 2√14

圖片附件: 101中正高中.png (2016-9-30 03:37, 5.25 KB) / 該附件被下載次數 5632
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3631&k=84e470a905c6807c20e2d2b5145cec63&t=1714092907

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0