標題: 101復興高中 [打印本頁]

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作者: agan325    時間: 2012-6-15 01:01     標題: 101復興高中

這些都是我憑印象記憶的！若有欠缺，也希望大家能幫忙補充
1. \(f(x)=x^{30}+1\)，\(g(x)=(x^3+1)(x^6-4)\) ，求f(x)除以g(x)的餘式....(這感覺跟全國的考古題類似)
2. 證明 0.3<log2<0.4
4. 若a、b、c都是正數，證明 (a/b+c) + (b/a+c) + (c/a+b) >= 3/2
6. 有一個Q點，若有一P點在拋物線 y=x^2+1上面，已知 內積 OP向量*OQ向量<1，是繪出Q的區域
8. a為實數， 0 <= x <= 1(這是x範圍)，而 y=x(x-a)(x-1)和x軸所圍成的面積叫做S(a)
   (1) 求 S(a)=???
   (2) S(a)的最小值為=???
9. 有一個人在投球，假設P(n)為第n球球進的機率，若前一球投進，下一球投進的機率是0.8，若前一球沒進，
    下一球投進的機率是0.6，已知P(1)=1
    (1)求P(2)=??  P(3)=???  P(4)=???
    (2)P(n)=????  (用n來表示)
    (3) lim P(n)=????
10. 有1種1元郵票、2種2元郵票，要貼滿15元且排成一列，請問有多少種排法？

請各位看官笑納！
101.6.16
學校已經公佈試題
感謝jen123告知

[ 本帖最後由 agan325 於 2012-6-23 06:22 PM 編輯 ]

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作者: lianger    時間: 2012-6-15 01:27     標題: 回復 1# agan325 的帖子

幫補第3題:
能不能找到三個正整數，使得其中任兩數的和除以第三數的餘數皆為1?

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作者: tuhunger    時間: 2012-6-15 14:59     標題: 第4題

復興第4題: (印象中景美女中也有考)

解法如附件: 有人可以教我如何直接在網頁上打數學符號嗎?

圖片附件: 未命名.png (2012-6-15 14:59, 8.48 KB) / 該附件被下載次數 7404
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1243&k=c48fef35fe4cb8ff60070a3be1789be2&t=1732507265

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作者: meifang    時間: 2012-6-15 21:10

我忘記這是第幾題 但我想問這題 式子列出來 但是我不會算最小值
在複數平面上有兩個點 P、 Q ，主福角分別是theta 和 -(theta)， P、 Q和原點O所形成的三角形面積為S。G為三角形OPQ的重心，證明線段OP的最小值為2/3*根號(S*cot(theta))。

不會打數學符號> <

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作者: 老王    時間: 2012-6-15 21:51     標題: 回復 4# meifang 的帖子

我想你的問題應該是求 \( OG \) 的最小值。
要弄清楚， \( S \) 和 \( \theta \) 是定值。
假設 \( OP=p, OQ=q \) ，那麼 \( P(p\cos\theta, p\sin\theta), Q(q\cos\theta,-q\sin\theta) \)
面積 \(\displaystyle S=\frac{1}{2}pq\sin2\theta, \rightarrow pq=\frac{2S}{\sin2\theta} \)
\(\displaystyle OG^2=(\frac{(p+q)\cos\theta}{3})^2+(\frac{(p-q)\sin\theta}{3})^2 \)
\(\displaystyle =\frac{1}{9}(p^2+q^2+2pq(\cos^2\theta-\sin^2\theta)) \)
\(\displaystyle \ge \frac{1}{9}(2pq(1+\cos2\theta)) \)
\(\displaystyle =\frac{4}{9}S \times \frac{1+\cos2\theta}{\sin2\theta} \)
\(\displaystyle =\frac{4}{9}S \times \frac{2\cos^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta} \)
\(\displaystyle =\frac{4}{9}S\cot\theta \)
所以
\(\displaystyle OG \ge \frac{2}{3}\sqrt{S\cot\theta} \)

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作者: agan325    時間: 2012-6-15 23:00     標題: 回復 1# agan325 的帖子

我一直很想要問第9和第10
雖然有些想法，但是很怕自己有任何的錯誤!~~~多謝

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作者: meifang    時間: 2012-6-16 00:38

不好意思打錯題目 老王老師真厲害 可以知道題目要問什麼
原來用算幾不等式後 可以合併 外加三角函數整理

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作者: jen123    時間: 2012-6-16 19:17

101.6.13版主補充
幫你把檔案放到第一篇

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作者: lianger    時間: 2012-6-16 20:38     標題: 回復 3# tuhunger 的帖子

LaTeX的數學式子可以用以下網址
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

[ 本帖最後由 lianger 於 2012-6-16 08:47 PM 編輯 ]

圖片附件: 打數學符號.png (2012-6-16 20:44, 25.59 KB) / 該附件被下載次數 7220
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1252&k=17127795252a1a46ae68ad25579246a1&t=1732507265

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作者: march2001kimo    時間: 2012-6-18 09:04     標題: 請問第1題

答案是否為341x^6-1019
是先假設t=x^3去作嗎???

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作者: jmfeng2001    時間: 2012-6-18 11:10

第一題,我是用y=x^3去做的沒錯...
不好意思,想請問各位先進
第六題的區域...怎麼去做出來呢
第七題的反射是不是應該回到A點,該如何說明呢
謝謝

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作者: tsusy    時間: 2012-6-18 20:38     標題: 回復 11# jmfeng2001 的帖子

第六題. 坐標用力的給它寫下去 \( P(x,x^{2}+1)\), \( Q(a,b) \)

內積得 \( ax+bx^{2}+b<1\Rightarrow bx^{2}+ax+b-1<0,\,\forall x\Rightarrow b<0 \) 且判別式小於 0

得 \( a^{2}-4b(b-1)<0\Rightarrow a^{2}-(2b-1)^{2}<-1\Rightarrow-a^{2}+\frac{(b-\frac{1}{2})^{2}}{\frac{1}{4}}>1 \)

記得 \( b<0 \)，所以剛好就是雙曲線，下半支圍的那塊。

第七題，很可惜，猜錯了。是在 \( \overline{AQ}:\overline{QB} = 2:1 \) 的地方

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作者: nanpolend    時間: 2012-6-18 21:49     標題: 回復 10# march2001kimo 的帖子



圖片附件: 101復興高中I1.png (2012-6-18 21:49, 60.62 KB) / 該附件被下載次數 4527
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1273&k=40e7c38e825738ed82e9901ff31967ac&t=1732507265

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作者: rudin    時間: 2012-6-21 22:52     標題: 回復 6# agan325 的帖子

第10題，我算的答案是21845

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作者: cherryhung    時間: 2012-6-23 16:24     標題: 回復 13# nanpolend 的帖子

請教餘式為何只有到6次?
我的想法是餘式次數小於除式次數9，那就可能有8次吧~
請教先進 謝謝

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作者: ilikemath    時間: 2012-11-10 12:47

想請教第2,8,10題
第8題我由a<0,0<a<1,a>1分別討論
但算出的S(a)都不一樣，是否我算錯?

第10題,考慮x+2y+2z=15,想先算出有多少種買法
但要算貼法卻難倒我了

感謝

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作者: tsusy    時間: 2012-11-10 13:22     標題: 回復 15# cherryhung 的帖子

因為是 "可能"  不代表一定要 8 次

就好像 隨便拿個正整數去除以 1000，餘數"可能" 是三位數

但也可以是一位數或二位數，像是 \( 2012 \div 1000 = 2 \ldots 12 \)

精確來說是餘式的次數 (如果有次數) 至多 8 次

回復 16# ilikemath 的帖子

第 10 題，可用遞迴，假設 n 元郵資的貼法為 \( a_n \)

第一張，最上面不是 1 元就是 2 元，故可得遞迴關係

則 \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n ,\, n\geq 1 \)

第 2 題

原不等式等價於 \( 10^{0.3} < 2 < 10^{0.4} \)

等價於 \( 10^3 < 2^{10} < 10^4 \)

第 8 題 "S(a) 不一樣" ?? 是跟什麼不一樣？答案嗎？(有公告答案嗎？)

還是是指 分三段算出來不一樣？如果是的話，都分段計算了，那會不一樣是正常的

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-11-10 01:31 PM 編輯 ]

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作者: ilikemath    時間: 2012-11-10 15:34     標題: 回復 17# tsusy 的帖子

tsusy大
第10題的2元有2種
我認為遞迴式應該改為An+2=An+1 + 2An
算出A15為21845

[ 本帖最後由 ilikemath 於 2012-11-10 03:41 PM 編輯 ]

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作者: tsusy    時間: 2012-11-10 16:37     標題: 回復 18# ilikemath 的帖子

你是對的...我沒看清楚題目

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作者: shingjay176    時間: 2014-4-20 14:30     標題: 回復 19# tsusy 的帖子

101 復興高中
例題:
是否能找出三個相異自然數，使得任意兩數之和被第三數除之所得的餘數均為1

解答:不失一般性，可以先假設    \(a < b < c\)
(1)
\(c|a + b - 1 \Rightarrow c \le a + b - 1\)

因為 \(b < c{\rm{,}}a < c \Rightarrow a + b - 1 < 2c - 1 < 2c\)

因為\(a+b-c\)是\(c\)的倍數。\(c \le a + b - 1 < 2c\),所以\(a + b - 1 = c\)

(2)
此三數\(a,b,a + b - 1\)

\(\eqalign{
  & b|(a) + (a + b - 1) - 1  \cr
  &  \Rightarrow b|2a + b - 2 \wedge b|b  \cr
  &  \Rightarrow b|{\rm{(}}2a + b - 2{\rm{)}} \times {\rm{(1)}} + (b) \times ( - 1)  \cr
  &  \Rightarrow b|2a - 2 \cr} \)

因為   \(b|2a - 2 \Rightarrow b \le 2a - 2\)

又\(a < b \Rightarrow 2a - 2 < 2b - 2 < 2b\)，

所以\(b \le 2a - 2 < 2b\)，因為\(2a - 2\)是\(b\)的倍數。

所以\(2a-2=b\)

(3)
此三數\(a,2a-2,3a-3\)

\(\eqalign{
  & a|(2a - 2) + (3a - 3) - 1  \cr
  &  \Rightarrow a|5a - 6  \cr
  &  \Rightarrow a|6  \cr
  &  \Rightarrow a = 1,2,3,6 \cr} \)

代回去檢驗，發現\(a=1\)不合。

另外三組算出來的三組數據分別是
\(2,2,3 \)            \(3,4,6 \)      \( 6,10,15\)
答案  \(3,4,6 \)      \( 6,10,15\)

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-21 06:11 PM 編輯 ]

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作者: Callmeluluz    時間: 2014-10-2 14:33     標題: 回復 12# tsusy 的帖子

請問第七題要如何寫呢

小弟資質愚昧

光束趨近於直徑

也就是以A為出發點 往B方向射嗎?

如果是這樣 那不就是 雷射行進位置不就是 A→B→A→B→A....

請問我的理解哪裡有問題

請幫我指點迷津 感謝

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作者: thepiano    時間: 2014-10-2 17:49     標題: 回復 21# Callmeluluz 的帖子

參考一下
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=8789

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作者: Callmeluluz    時間: 2014-10-3 08:49     標題: 回復 22# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師的網址

不好意思我想請教一下跟數學無關的問題

我也有申請美夢成真教甄討論區

但是我GOOGLE 復興 101

卻不會出現鋼琴老師給我的網址

只會出現這兩篇

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 389f3be2430e8084cb4＿

是我的搜尋方法有錯嗎

感謝指點!!

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作者: thepiano    時間: 2014-10-3 09:30     標題: 回復 23# Callmeluluz 的帖子

phpBB 的中文搜尋不太行

小弟都用 Google 輸入下面這行來找

site:www.shiner.idv.tw "復興"

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作者: Callmeluluz    時間: 2014-10-13 11:53     標題: 回復 24# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師的回覆

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