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標題: 101明倫高中 [打印本頁]
作者: 八神庵    時間: 2012-6-13 21:43     標題: 101明倫高中

如題
請笑納

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作者: 阿光    時間: 2012-6-14 15:14

想請教填充5,謝謝
作者: Duncan    時間: 2012-6-14 15:38

想請教各位老師填充第六，感謝！
作者: shiauy    時間: 2012-6-14 17:18

引用:
原帖由 阿光 於 2012-6-14 03:14 PM 發表
想請教填充5,謝謝
5.
如右圖表示電路，而每個開關可使電流暢通的機率為\(p\)，且彼此不互相影響，則電流由\(L\)到\(R\)暢通的機率為何？
[解答]
分成3號開關的開與否
可以分成附件的圖來討論
3號是通的，如上圖
\(p{(1 - {(1 - p)^2})^2}\)
3號是不通的，如下圖
\((1 - p)(1 - {(1 - {p^2})^2})\)
加起來就是答案

6.
每個人都有兩隻手，在亂點鴛鴦譜的活動中，每隻手都有一個編號，隨機抽選 2 個號碼配對牽手，每人的一隻手都恰與另一隻手(可能是自己或他人的手)握住，相連在一起的人圍成一個圓圈。可能有：一人自成一圈，有 2 人牽成一圈，有 3 人牽成一圈，……。假設\(E_n\)代表\(n\)個人所結圓圈數的期望值，
(1)求\(E_1\)的值。　(2)求第一次抽選的2個號碼是同一人之機率　(3)求\(E_n-E_{n−1}=\)？　(4)求\(E_4\)的值。
[解答]
請參考許志農教授「戲說數學」
連結已失效h ttp://www.lungteng.com.tw/LungTengNet/HtmlMemberArea/publish/Math/017/01%E6%88%B2%E8%AA%AA%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%BA%8F.doc數學與猜想----數學期望值

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作者: matric0830    時間: 2012-6-14 17:23     標題: 請問14題如何證明

請問第14題如何證明？
作者: shiauy    時間: 2012-6-14 17:51

引用:
原帖由 matric0830 於 2012-6-14 05:23 PM 發表
請問第14題如何證明？
如果你手邊沒有高中課本可以翻閱
google會是你的好朋友
作者: matric0830    時間: 2012-6-14 18:07

引用:
原帖由 shiauy 於 2012-6-14 05:51 PM 發表

如果你手邊沒有高中課本可以翻閱
google會是你的好朋友
不好意思我是要問第15題～因為找過課本沒有才問的（ＰＱ在平面兩側的證明）
作者: shiauy    時間: 2012-6-14 18:42

15.
設\(P(x_1,y_1,z_1)\)、\(Q(x_2,y_2,z_2)\)，若\(ax_1+by_1+cz_1+d>0\)且\(ax_2+by_2+cz_2+d<0\)，試證明\(P\)、\(Q\)兩點必在平面\(E\)：\(ax+by+cz+d=0\)之兩側。
[解答]
P、Q點到在平面E上投影點分別為P',Q'
向量\( \displaystyle PP'=\left( - a\frac{{a{x_1} + b{y_1} + c{z_1} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}, - b\frac{{a{x_1} + b{y_1} + c{z_1} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}, - c\frac{{a{x_1} + b{y_1} + c{z_1} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \right) \)
向量\( \displaystyle QQ'=\left( - a\frac{{a{x_2} + b{y_2} + c{z_2} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}, - b\frac{{a{x_2} + b{y_2} + c{z_2} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}, - c\frac{{a{x_2} + b{y_2} + c{z_2} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \right) \)
由題目所給條件可知，向量PP'=k倍的向量QQ'，其中k為負值，故兩向量為反向
即PQ異側
作者: pizza    時間: 2012-6-14 22:28

引用:
原帖由 Duncan 於 2012-6-14 03:38 PM 發表
想請教各位老師填充第六，感謝！
(1)一個人\(E_{1}=1\)
(2)\(\displaystyle \frac{nC(2,2)}{C(2n,2)}=\frac{1}{2n-1} \)

只會(1)和(2),(3)和(4) 還請高手來解答
另外想請問12題怎麼證?謝謝
作者: tsusy    時間: 2012-6-14 22:46     標題: 回復 9# pizza 的帖子

填充 6. 從 (2) (3) 的小題的題意，可以大膽猜測是玩遞迴

(3) 現在有 n 個人，如果第一次某人自我結圈，則剩下 n-1 個人，變成 n-1 的情況

如果第一次某兩人握手，則把此兩人看作一人，當作 n-1 個人，變成 n-1 的情況

承 (2) 得 \( E_n = \frac{1}{2n-1}(E_{n-1}+1) + \frac{2n-2}{2n-1}E_{n-1} \)

移項得 \( E_n - E_{n-1} = \frac{1}{2n-1} \)

(4) 承 (1)(3) 即可得


12.
若\(x\)軸為實係數三次函數\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)於反曲點\(x=k\)處唯一的水平切線，則\(x=k\)為\(f(x)=0\)的三重根。試證明之。
[解答]
另外 12 題可以參考 99 華江高中填充 3 瑋岳老師的解題 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1010&page=1#pid2465

得到 \( b^2 = 3ac \) 可將原式配成立方 \( f(x) = a(x+\frac{b}{3a})^3 + d' \)

但 \( d' \) 不一定是 0, 這裡是題目的瑕疪
作者: Duncan    時間: 2012-6-14 23:12

感謝寸絲老師！
作者: Crazystan    時間: 2012-6-15 00:37

請教一下第4,10題 謝謝~~~!!!
作者: arend    時間: 2012-6-15 15:42

請教第8題

我算出來是4/3

我假設p(t,t^2)
我是利用y=根號(x) 對y軸做積分(0~t^2)
拋物線與y軸,PB所微的面積為2/3*t^3

對不起
我把三角形面積算錯了

我不知如何刪除此篇
作者: shiauy    時間: 2012-6-15 16:19

4.
將一個半徑為4公分的水晶球，放入一個邊長為8公分的正方體容器，想在容器的八個角落再塞入八個半徑相同的小水晶球，則小水晶球的最大半徑為多少公分？
[解答]
設小水晶球半徑\(r\)
立方體的斜對角線\(8\sqrt 3  = 4 \cdot 2 + 2r\sqrt 3  + 2r\)
移項即可解出\(r\)
這題考出來算是秒殺題了
關鍵在斜對角線與內接球半徑的關係

110.2.28補充

更多類似問題https://math.pro/db/thread-1268-1-1.html

8.
設\(P\)在拋物線\(y=x^2\)上，且在第一象限內的任意一點，如圖所示，直線\(PB\)與\(x\)軸平行，且交\(y\)軸於\(B\)點；直線\(PA\)是拋物線過\(P\)點的切線，且交\(y\)軸於\(A\)點。若拋物線、直線\(PB\)與\(y\)軸所圍的區域面積為\(R\)，\(\Delta PAB\)的面積為\(T\)，則比值\(\displaystyle \frac{R}{T}=\)？
[解答]
設切點P為\((\sqrt t ,t)\)，可算出切線交y軸於A點\((0, - t)\)
\(\Delta PAB = \frac{1}{2} \cdot 2t \cdot \sqrt t  = t\sqrt t \)
拋物線與y軸、\(\overline {PB} \)所夾面積\(\int_0^{\sqrt t } {(t - {x^2})} dx = \frac{2}{3}t\sqrt t \)
故所求比值為\(\frac{2}{3}\)

10.
已知函數\(f(x)=2x^3+3ax^2+6a(a-1)x+2\)，\((a\in R)\)，若\(f(x)\)的圖形與\(x\)軸相切，且在切點處\(f(x)\)有極小值，則\(a\)值為何？
[解答]
\(f'(x) = 6{x^2} + 6ax + 6(a - 1) = 0\)解得\(x =  - 1,1 - a\)
若\(1 - a >  - 1\)，即\(a < 2\)
\(f(1 - a) = 0\)解得\(a = 2 - \sqrt 3 \)

若\(1 - a <  - 1\)，即\(a > 2\)
\(f(-1) = 0\)，此時\(a\)無解
故答案只有一個
作者: panda.xiong    時間: 2013-6-20 08:46

請問各位高手，第16題的解釋與看法要如何寫才算完整，應該不是只是利用黎曼合作出答案吧?
作者: martinofncku    時間: 2013-7-16 23:12

9 （2）
我是用特徵向量把答案算出來，可是覺得算得有點痛苦……
想請教各位老師的算法
作者: tsusy    時間: 2013-7-17 10:14     標題: 回復 16# martinofncku 的帖子

9 (2)

\( A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{2}{5} & \frac{1}{5}\\
\frac{1}{5} & \frac{-2}{5}
\end{bmatrix} \)，特徵值 \( \lambda = =\pm\frac{\sqrt{5}}{5} \)，對應之特徵向量為 \( v_{1}=\begin{bmatrix}2+\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix}
, v_{2}=\begin{bmatrix}2-\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix} \)。

\( \begin{bmatrix}1\\
3
\end{bmatrix} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} v_1 + \frac{3+\sqrt{5}}{2} v_2 \)

乘 99 次得到 \( \begin{bmatrix}a_{100}\\
b_{100}
\end{bmatrix}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot5^{50}v_{1}+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot5^{50}v_{2}\Rightarrow\begin{bmatrix}a_{1}\\
b_{1}
\end{bmatrix}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot\sqrt{5}v_{1}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot(-\sqrt{5})v_{2} \)

化簡得 \( \frac{3\sqrt{5}-5}{2}\begin{bmatrix}2+\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix}-\frac{3\sqrt{5}+5}{2}\begin{bmatrix}2-\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix}=\frac{3\sqrt{5}}{2}\begin{bmatrix}2\sqrt{5}\\
0
\end{bmatrix}-\frac{5}{2}\begin{bmatrix}4\\
2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15\\
0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}10\\
5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\
-5
\end{bmatrix} \)
作者: superlori    時間: 2013-7-17 14:28     標題: 回復 16# martinofncku 的帖子

9.
設\(n\in N\)，兩數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)、\(\langle\;b_n\rangle\;\)滿足\(\cases{a_{n+1}=5b_n+2b_{n+1}\cr b_{n+1}=5a_n-2a_{n+1}}\)
(1)試求二階方陣\(A\)，使得\(\left[\matrix{a_{n+1}\cr b_{n+1}}\right]=A\left[\matrix{a_n\cr b_n}\right]\)，\(n\in N\)。
(2)已知\(a_{100}=5^{50}\)，\(b_{100}=3\cdot 5^{50}\)，試求\(a_1\)及\(b_1\)之值。
[解答]
另外的解法，可以先觀察矩陣A
<key>\(A^{2}=5I_{2} \)
詳解請參考圖檔

圖片附件: 101明倫高中9.jpg (2013-7-17 14:31, 59.75 KB) / 該附件被下載次數 4082
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1902&k=235421fc8c97017871ea61d8961cdba1&t=1732210500

作者: peter0210    時間: 2014-10-14 21:55

想請教填充6的圓圈數的意思是指哪一種

(1)設有5人，1人1圈，2人1圈，最後2人1圈

(2)如上，但要加起來，故等於3圈



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