標題:
101明道中學
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作者:
m4su6
時間:
2012-6-10 23:38
標題:
101明道中學
可否請教一題遞迴問題
a
1
=0,
a
n+1
=(1+a
n
)/(3-a
n
)
求a
n
的一般式?
謝謝
作者:
weiye
時間:
2012-6-11 09:08
標題:
回復 1# m4su6 的帖子
先解特徵根 \(\displaystyle x=\frac{1+x}{3-x}\) ，得 \(x=1\) (重根)
令 \(\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-1}\)
則 \(\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{1}{\frac{1+a_n}{3-a_n}-1}=\frac{1}{a_n-1}+\frac{-1}{2}=b_n-\frac{1}{2}\)
因此 \(<b_n>\) 數列是首項為 \(-1\) 且公差為 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) 的等差數列，
得 \(\displaystyle b_n=-1+\left(n-1\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) =-\frac{n+1}{2}\)
且 \(\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-1}\Rightarrow a_n=\frac{1}{b_n}+1=\frac{n-1}{n+1}\)
作者:
m4su6
時間:
2012-6-11 09:19
當初解到重根後就不知怎麼繼續下手,
謝謝瑋岳老師
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