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標題: 101 宜蘭高中 [打印本頁]

作者: mandy    時間: 2012-6-8 16:51     標題: 101 宜蘭高中

請教以下幾題  :

1. 雙曲線與直線 x+y=8 相切 , 焦點 (0,4 ),(10,0) , 求雙曲線正焦弦長 ?

2. (1*2/2*3)+(2*2^2/3*4)+(3*2^3/4*5)+......+(10*2^10/11*12) 的最簡分數?

    (100中科是 考相乘 , 改成相加, 我用暴力解, 有否其他做法 ? )

3. a,b 為實數 , 求根號 [(a-6)^2+4] + 根號 [a^2+b^2] + 根號 [ (b-3)^2+16 ] 的最小值 ?

   (題目我忘了, 化簡成如上, 請問要如何判斷最小值 ? )

4. 五位數, 各位數字和為12 , 請問有幾個五數字符合?

[ 本帖最後由 mandy 於 2012-6-8 04:54 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2012-6-8 17:31

引用:
原帖由 mandy 於 2012-6-8 04:51 PM 發表
請教以下幾題  :

1. 雙曲線與直線 x+y=8 相切 , 焦點 (0,4 ),(10,0) , 求雙曲線正焦弦長 ?

   
假設P在雙曲線左葉,F'(0,4) ,F(10,0) ,
K為F' 以x+y=8為對稱軸的對稱點,則K(4,8)
依光學性質與雙曲線定義可知
PF-PF' =PF-PK=KF=10=2a ,a=5
2c=FF'=2*29^0.5 ,c=29^0.5
b^2=c^2-a^2=29-25=4 ,b=2
所求=2b^2/a=8/5
作者: yustarhunter    時間: 2012-6-8 17:39     標題: 4. 五位數, 各位數字和為12 , 請問有幾個五數字符合?

4. 五位數, 各位數字和為12 , 請問有幾個五數字符合?

我自己的算法,

各位數為a,b,c,d,e

a+b+c+d+e=12,  a>1 ,  a,b,c,d,e<10

(a-1)+b+c+d+e=11


全部-(11,0,0,0,0)-(10,1,0,0,0)
=H(5,11)-5-C(5,2)
=1365-5-20=1340

[ 本帖最後由 yustarhunter 於 2012-6-9 04:25 PM 編輯 ]
作者: brace    時間: 2012-6-8 21:44     標題: 填充四

我算H(5,12-1)-C(4,1)*H(5,12-1-10)-1*H(5,12-10)
=C(15,11)-4*C(5,1)-C(6,2)
=1365-20-15
=1330
作者: 老王    時間: 2012-6-8 22:00

\(\displaystyle \sum _{k=1}^{10} \frac{k \times 2^k}{(k+1)(k+2)} \)


\(\displaystyle =\sum _{k=1}^{10} k \times 2^k \times (\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}) \)


\(\displaystyle =1+\sum _{k=1}^9 \frac{1}{k+2}[(k+1) \times 2^{k+1}-k \times 2^k]-\frac{10 \times 2^{10}}{12} \)


\(\displaystyle =1+\sum _{k=1}^9 \frac{1}{k+2} \times 2^k \times (2k+2-k)-\frac{5 \times 2^9}{3} \)


\(\displaystyle =1+2+4+ \cdots +512-\frac{2560}{3} \)


\(\displaystyle =\frac{509}{3} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-6-8 10:03 PM 編輯 ]
作者: arend    時間: 2012-6-8 22:27

引用:
原帖由 老王 於 2012-6-8 10:00 PM 發表
\(\displaystyle \sum _{k=1}^{10} \frac{k \times 2^k}{(k+1)(k+2)} \)


\(\displaystyle =\sum _{k=1}^{10} k \times 2^k \times (\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}) \) ...
王老師

請問第2式到第3式
怎麼得到

不好意思,這裡看不太懂

謝謝
作者: 老王    時間: 2012-6-8 22:32     標題: 回復 7# arend 的帖子

你把前幾項寫出來,然後分母相同的收在一起就可以了。
作者: 老王    時間: 2012-6-8 22:37     標題: 回復 6# weiye 的帖子

瑋岳老師居然用這麼神奇的招式~~
\(\ P(6,-2),A(a,0),B(0,b),Q(-4,3) \)
所求為\( PA+AB+BQ \)的最小值
作者: weiye    時間: 2012-6-8 22:42     標題: 回復 9# 老王 的帖子

老王老師的方法比較好。:)
作者: mandy    時間: 2012-6-9 08:39

請問
5. 有一比賽, 有5位裁判,裁判給分的方式只有3分、4分、5分, 已知某ㄧ選手得20分, 試問裁判給選手得分的情形有______種 。
作者: brace    時間: 2012-6-9 08:49     標題: 回復 6# weiye 的帖子

請教瑋岳老師,我用你的方法算出來a=8,b=8,怪怪的,不知我是否算錯?
作者: brace    時間: 2012-6-9 08:50     標題: 回復 2# Ellipse 的帖子

超棒的方法,受教了,感恩
作者: weiye    時間: 2012-6-9 18:44     標題: 回復 11# brace 的帖子

我這方法不好,且有 bug,已刪!:P

而且原本附圖也打錯邊長!

修正後圖案如下~




紅色線段長=\(\sqrt{\left(\left(6-a\right)+a+4\right)^2+\left(2+b+(3-b)\right)^2}=5\sqrt{5}\)

得所求的下界為 \(5\sqrt{5}\)

且當 \(\displaystyle\frac{6-a}{2}=\frac{a}{b}=\frac{4}{3-b}\) 時,下界即為最小值。

而我說的 bug ,就是指~我在解讀題目時,不知不覺自己多加上了 \(0<a<6\) 與 \(0<b<3\) ,但這是題目所沒有說的!

所以,我這樣解是不行的!還是老王老師的方法好!

真要修正的話,應該如下圖~




利用 \(|6-a|+|a|+4\geq|(6-a)+a|+4=10\) 且 \(2+|b|+|3-b|\geq2+|b+(3-b)|=5\)

所以當兩股有最小值時,\(0\leq a\leq 6\) 與 \(0\leq b\leq 3\),

然後再用畢氏定理,找出紅線的下界,

然後再求當三小段斜邊的斜率相同的 \(a\) 與 \(b\) 值,即可得下界即為最小值。

圖片附件: cc.png (2012-6-9 18:57, 13.76 KB) / 該附件被下載次數 4298
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1213&k=0b120d826ee96c5548e5385a8f846404&t=1660972685



圖片附件: dd.png (2012-6-9 19:02, 13.95 KB) / 該附件被下載次數 4289
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1214&k=fca26a721412aad6e86755ab2e800e32&t=1660972685


作者: march2001kimo    時間: 2012-6-10 00:28

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-6-8 05:31 PM 發表


假設P在雙曲線左葉,F'(0,4) ,F(10,0) ,
K為F' 以x+y=8為對稱軸的對稱點,則K(4,8)
依光學性質與雙曲線定義可知
PF-PF' =PF-PK=KF=10=2a ,a=5
2c=FF'=2*29^0.5 ,c=29^0.5
b^2=c^2-a^2=29-25=4 ,b=2
所求=2b^2/a=8/5 ...
請問第四行的PF-PK=KF
是為何?一直理不出頭緒
謝謝
作者: mandy    時間: 2012-6-10 00:39

引用:
原帖由 brace 於 2012-6-8 09:44 PM 發表
我算H(5,12-1)-C(4,1)*H(5,12-1-10)-1*H(5,12-10)
=C(15,11)-4*C(5,1)-C(6,2)
=1365-20-15
=1330
我算H(5,12-1)-C(4,1)*H(5,12-1-10)-1*H(5,12-10)
                                                        ^^^^^^^^^^^^^^^^^^

可以解釋後面的意思嗎?
作者: brace    時間: 2012-6-10 09:09     標題: 回復 15# mandy 的帖子

原式=全部的-不合的
        =全部的-(個,十,百,千位數字大於或等於十的情況)-再扣掉萬位數字大於或等於十的情況
作者: brace    時間: 2012-6-10 09:10     標題: 回復 13# weiye 的帖子

了解了,謝謝你^^
作者: Ellipse    時間: 2012-6-10 15:32

引用:
原帖由 march2001kimo 於 2012-6-10 12:28 AM 發表


請問第四行的PF-PK=KF
是為何?一直理不出頭緒
謝謝
K會在PF上
作者: meifang    時間: 2012-6-11 12:10

我想問一下這一題 應該沒有記錯題目
\( \forall x \in R \),\( \displaystyle f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt{a}} \),則\( \displaystyle \sum_{i=1}^{1000}f \left( \frac{i}{1001} \right)= \)?
作者: Ellipse    時間: 2012-6-11 12:23

引用:
原帖由 meifang 於 2012-6-11 12:10 PM 發表
我想問一下這一題 應該沒有記錯題目
頭尾配:
f(1)+f(1000)=1
f(2)+f(999)=1
....
作者: meifang    時間: 2012-6-11 16:43

謝謝你
作者: arend    時間: 2012-9-2 19:39

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-6-8 05:31 PM 發表


假設P在雙曲線左葉,F'(0,4) ,F(10,0) ,
K為F' 以x+y=8為對稱軸的對稱點,則K(4,8)
依光學性質與雙曲線定義可知
PF-PF' =PF-PK=KF=10=2a ,a=5
2c=FF'=2*29^0.5 ,c=29^0.5
b^2=c^2-a^2=29-25=4 ,b=2
所求=2b^2/a=8/5 ...
請教Ellipse老師

這個題目怎麼看出,切線的切點在F'的這一側

謝謝
作者: cefepime    時間: 2016-9-14 17:12

2. (1*2 / 2*3) + (2*2² / 3*4) + (3*2³ / 4*5) + ......+ (10*2¹⁰ / 11*12) 的最簡分數?


一般項為 n*2ⁿ / (n+1)(n+2),n = 1~10

以下希望將其拆成 "形式相同,變數等距" 的兩項之差以對消。

首先: A/(n+1) - B/(n+2)

又合併後會提出 2ⁿ,故改為:

C*2ⁿ/(n+1) - D*2ⁿ⁺¹/(n+2)  (形式相同,變數等距)

通分一下,知: C*(n+2) - D*(2n+2) = n → 取 (C, D) = (-1, -1)

故一般項為 2ⁿ⁺¹/(n+2) - 2ⁿ/(n+1)

對消後,剩 - (1 - 2048/12) = 509/3






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