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標題: 101桃園農工 [打印本頁]

作者: bugmens    時間: 2012-5-29 10:33     標題: 101桃園農工

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[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-29 10:02 PM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1161&k=5cdd697eaecc99bf0c83d80aa6d3d00d&t=1635053204
作者: peter579    時間: 2012-5-29 14:27

1不知為何只公佈p1而已
  『背面還有試題』,問題是沒有背面阿…

2 要問大家一下,填充題  第四、五題。
   第五題是積分,應是要使用某種代換。研究中。

[ 本帖最後由 peter579 於 2012-5-29 05:09 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2012-5-29 15:16

引用:
原帖由 peter579 於 2012-5-29 02:27 PM 發表
1不知為何只公佈p1而已
  背面還有試面,問題是沒有背面阿…

2 要問大家一下,填充題  第四、五題。
   第五題是積分,應是要使用某種代換。研究中。 ...
填充5
更正:令u=x-2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-31 12:44 AM 編輯 ]
作者: 八神庵    時間: 2012-5-29 16:09

引用:
原帖由 peter579 於 2012-5-29 02:27 PM 發表
1不知為何只公佈p1而已
  背面還有試面,問題是沒有背面阿…

2 要問大家一下,填充題  第四、五題。
   第五題是積分,應是要使用某種代換。研究中。 ...
好久沒上來了
這間學校是會公佈考題
可是都只公佈一邊或一卷
曾經看過他們有A,B卷,公佈卻只公佈一卷的情形
不過比起都不公佈的某些名校來講
他們已經算不錯了
作者: gamaisme    時間: 2012-5-29 19:56

第一題應該要怎麼解比較快?
作者: peter579    時間: 2012-5-29 20:51

第五題   u=x-2

積分[du/(u^4*根號(u^2-1)]

再用u=sec角代入  可以得到   
                       積分[cos^3]     角度從60度積到90度

                          =sin-1/3sin   就可以得到答案了…(對不起,沒有時間用word打…)
作者: natureling    時間: 2012-5-29 20:57     標題: 回復 5# gamaisme 的帖子

99年鳯新高中有唷....
作者: gamaisme    時間: 2012-5-29 21:07     標題: 回復 7# natureling 的帖子

感謝~
作者: natureling    時間: 2012-5-29 21:32     標題: 想請教填充4、7

感謝!!

[ 本帖最後由 natureling 於 2012-5-29 10:09 PM 編輯 ]
作者: gamaisme    時間: 2012-5-29 21:47

那填充6又應該要如何解?
作者: tsusy    時間: 2012-5-29 22:02     標題: 回復 10# gamaisme 的帖子

填充 6. 令 \( \vec{u}=\vec{AB} \), \( \vec{v}=\vec{AC},  \vec{AE}=x\vec{u}+y\vec{v},  \vec{BC}=\vec{v}-\vec{u} \)

由外心(中垂線)可得 \( (x\vec{u}+y\vec{v})\cdot\vec{u}=\frac{1}{2}|\vec{u}|^{2} \) 和 \( (x\vec{u}+y\vec{v})\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}|\vec{v}|^{2} \)

兩式相減,即為所求,得 \( \frac{1}{2}(6^{2}-4^{2})=10\)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-29 10:04 PM 編輯 ]
作者: 阿光    時間: 2012-5-29 22:15

填充6想提供另一種方法
所求=向量AEdot(向量AC一向量AB)=6X3-2X4=10
作者: tsusy    時間: 2012-5-29 22:56     標題: 回復 12# 阿光 的帖子

其實是一樣的式子

是小弟糊塗了...在那賣弄符號,進去死胡同了~呵~~
作者: hua0127    時間: 2012-5-30 00:03

引用:
原帖由 natureling 於 2012-5-29 09:32 PM 發表
感謝!!
填充第7題剛剛小弟試了一下
利用微分判別圖形的走勢,
先求出f'(x)=(ln2)*(3*2^(2x)-5)   這裡 ln 是自然對數
解出 當 x=(1/2) (log_2)(5/3) 時 (抱歉這裡很難看,就是以2為底...)
f'(x)=0, 所以當 x>(1/2) (log_2)(5/3) 時 圖形遞增,另一邊則遞減
所以f的圖形的走勢跟拋物線是很類似的,故得到
對稱軸即為 x=(1/2) (log_2)(5/3)
作者: Ellipse    時間: 2012-5-30 00:34

填充7
這題放一下小絕~

令f(x)=3*2^x+5*2^(-x)+7
g(x)=f(-x)=3*2^(-x)+5*2^x+7
可知f(x)與g(x)對稱於y軸
當x=0時,f(x)與g(x)交於同一點A(0,15)
過A點作平行線(y=15)交f(x)於B點
解3*2^x+5*2^(-x)+7=15
得2^x=5/3 (1不合)
x=Log_2 (5/3)即為B點的x坐標
所求為AB中垂線: x=(1/2)*Log_2 (5/3)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-30 12:45 AM 編輯 ]
作者: hua0127    時間: 2012-5-30 10:18

填充第4題:
令f(x)=-x^2 +(log_2a) (x) , 定義域限定在x>0
由題意知欲求 f(x) 在 (0, 1/2) 滿足f(x)>0 之a 的範圍
討論:
case(1):如果2a>1, 觀察 x-->(0^+) 時 f(x)--> 負無限大
               由函數的連續性知存在一個開區間(0,b)使得 f(x) 的值恆小於0,無解
case(2):如果2a<1, 先算出 f'(x)=(-2x)+ (1/ x* ln(2a) ) , 得到  x>0時 , f'(x)<0
               知 f 在 x>0 時為一嚴格遞減函數
               故只要 滿足 f(1/2) 大於等於0, 即可滿足所求
               解 f(1/2) 大於等於0, 得到 1/32 小於等於 a < 1/2
               即為所求。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-30 10:22 AM 編輯 ]
作者: 阿光    時間: 2012-5-30 15:51

不好意思,想請教填充第5題詳細解答,謝謝
作者: hua0127    時間: 2012-5-30 16:26

引用:
原帖由 阿光 於 2012-5-30 03:51 PM 發表
不好意思,想請教填充第5題詳細解答,謝謝


最後那一行其實就是在令一次變數變換 u=sin

圖片附件: 101 桃園農工填充第5題.jpg (2012-5-30 16:26, 54.15 KB) / 該附件被下載次數 3533
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1165&k=f0ecb129572f0ea0058f28d01e4a925e&t=1635053204


作者: tsusy    時間: 2012-5-30 16:55     標題: 回復 15# Ellipse 的帖子

填充 7. 觀看兩位老師的作法,都好像是預知對稱軸必為鉛直線

如果猜到此,其實好像就不難做,假設對稱軸是 \( x=a \),將函數平移,使之移至 \( y \) 軸

\( g(x) =f(x+a)= 2^{a+\log_2 3} \cdot 2^x + 2^{-a+\log_2 5} \cdot 2^{-x} +7 \) 為偶函數

\( 2^x,  2^{-x} \) 係數相同時為偶函數,所以 \( a+\log_2 3 = -a+\log_2 5 \)

解得 \( a= \frac{1}{2} \log_2 \frac{5}{3} \)

不過無論以上哪個解法,都要先看出鉛直線這回事

這件事是否顯然,或是如何猜出。亦或是只有在下眼拙看不出來
作者: hua0127    時間: 2012-5-30 18:01

[quote]原帖由 tsusy 於 2012-5-30 04:55 PM 發表
填充 7. 觀看兩位老師的作法,都好像是預知對稱軸必為鉛直線

你這方法還真令小弟開了眼界,
誠如你所說,也是有那麼一點預知的感覺,
老實說我對這些函數也是沒多大感覺....所以我是用微分看整個圖形的趨勢,大概抓水平切線的位置
若函數圖形有非鉛直的對稱軸,(這裡假設定義域是 R)
那麼是否只有方程式圖形才有辦法達到這個需求?(函數的話可能作鉛直線會有兩個交點?)
我想嘗試找反例,像 y=1/x 就有 y=x 為對稱軸,可是他的定義域要扣掉0
還是說有鉛直漸近線的函數才"有可能"產生非鉛直線的對稱軸?
是蠻值得討論看看......
作者: tsusy    時間: 2012-5-30 18:42     標題: 回復 20# hua0127 的帖子

來個無聊例子, \( y=mx \) 的圖形是直線,所以任何一條垂線都是它的對稱軸

另外,如果考慮 \( y=x \) 是對稱的話,對稱的函數圖形,即為反函數

因為若 \( f (x) \) 之圖形以 \( y=x \) 為對稱軸 \( f(x) = f^{-1}(x) \) 則 \( f(f(x)) =x \)

寫到這還是沒什麼幫助,回到圖形,如果把 \( y = \frac1x \) 的右上圖形,截彎取直,

像是 \( y=\frac1x \) 和 \( x+y= c \) 所合成的圖形,也會對稱,而且避掉定義域或者不連續的問題

所以鉛直漸近線應該是非必要之條件
作者: hua0127    時間: 2012-5-30 19:33

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-30 06:42 PM 發表
來個無聊例子, \( y=mx \) 的圖形是直線,所以任何一條垂線都是它的對稱軸

另外,如果考慮 \( y=x \) 是對稱的話,對稱的函數圖形,即為反函數

因為若 \( f (x) \) 之圖形以 \( y=x \) 為對稱軸 \( f(x) = f^{-1}(x) \) 則  ...
y=mx  很棒的例子阿~非常不無聊 XD, 非常好的反例
f(x) 函數跟反函數 f^(-1)(x) 是對稱於y=x, 但是有沒有另一個函數g(x)
圖形會同時包含 f 跟 f^(-1) 的圖形,如果有的話,是否這樣才能說 y=x 為g(x)圖形的對稱軸
若考慮 f(x) 跟 f^(-1)(x) 兩個合成,這樣可以構成函數的機會是否很小?
像是y=10^x 跟 y=log(x) 兩個合成 會對稱 y=x , 但是找不到一個"函數"使得圖形為前面的合成(會有一對多的情況發生)
所以若將 y=1/x 的右上截彎取直跟 x+y=c 合成,這樣的對稱軸為 y=x
但是是否能找到一個函數使得圖形為前面的兩個圖形合成,是否此時函數不會 well-defined
這樣的話是否通常能滿足這樣的圖形是一個方程式,例如像 圓 x^2+y^2=1
若勉強要用一個函數達到的話,我好像只想到 y=1/x, 勉強可以,
但是你直線的例子就是非常好的反例,
當然也可能整篇都是我鬼打牆會錯意XD,也煩請多指教。
作者: tsusy    時間: 2012-5-30 20:28     標題: 回復 22# hua0127 的帖子

我想我和你一樣也在鬼打牆, \( y = c - x \) 不就又是另一個超好的例子了

實際上只要找個偶函數,把它對原點順時針轉個 45 度,出來的圖形就會對於稱於 \( x= y \)

接著我們需要一些假設,來保證轉出的圖形,是某個函數的圖形

設函數 \( f(x) \) 是可微分的偶函數,且 \( f'(x) > -1 \)

從切線的方向去觀察,轉完後的切線方向,和轉前的切線夾 45 度角

原圖形 \( (x,f(x)) \) 對 \( x \) 微分得切線方向 \( (1,f'(x)) \)

如果以原位置的 \( x \) 坐標當作新的圖形的參數, 則新的圖形對參數 \( x \) 微分,就是原微分轉 45 度

由 \( f'(x) > -1 \) 之條件可得該微分的水平分量必為正。

也就是說該圖形的 \( x \) 坐標對參數之微分恆正,為嚴格遞增函數,所以新的圖形每個 \( x \) 坐標只會出現一次

所以我們就可以利用新的圖形定義函數了

套用以上方法,其實要哪個對稱軸都可以造,只是需要轉的角度及 \( f'(x) \) 的限制不同而已

當然還有無敵的例子:直線。上述的構造,只是還想說這樣的東西要多少有多少,不會只有直線這個無聊的例子
作者: hua0127    時間: 2012-5-30 21:27

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-30 08:28 PM 發表
我想我和你一樣也在鬼打牆, \( y = c - x \) 不就又是另一個超好的例子了

實際上只要找個偶函數,把它對原點順時針轉個 45 度,出來的圖形就會對於稱於 \( x= y \)

接著我們需要一些假設,來保證轉出的圖形,是某個函數的圖 ...
的確,重點在於這樣構造的話,要達到需求的函數不勝枚舉,  

這篇實在是太精彩了!不拜不行XD~小弟之前的想法就膚淺許多,

這篇學了不少東西,討論數學實在是一件非常好的事情,感謝指教!!
作者: tsusy    時間: 2012-5-30 21:55     標題: 回復 24# hua0127 的帖子

同意,討論數學真的很有趣。沒有您的開頭,也不會有在下後來的想法

再補充一點,因為是偶函數,所以, \( f'(x) > -1 \) 的條件,其實就是 \( |f'(x)| <1 \)

這樣的函數怎麼找呢?隨便找一個微分有界的函數如 \( y = \cos x \)

把它壓扁,壓下去後, \( y = c \cos x \), \( |c|<1 \) 這樣 \( |y'| \leq |c|<1 \) 就有了

其它像是 \(  y = \frac{1}{1+x^2} \) 也可拿來壓,總之不勝枚舉

這個問題討論到此應該也差不多了,不要再讓我們兩個鬼打牆的繼續鬼打牆了
作者: march2001kimo    時間: 2012-6-4 14:40     標題: 回復 15# Ellipse 的帖子

小弟有個想法
是否可以用a^x+a^(-x)這種超函數來切入
那肯定對稱軸是鉛直線
作者: march2001kimo    時間: 2012-6-5 15:11     標題: 請問第2題跟第3題

麻煩指教如何切入
謝謝
作者: tsusy    時間: 2012-6-5 18:50     標題: 回復 27# march2001kimo 的帖子

填充 3. 計算留著,自行補完

直線和平面平行,所以其方向與平面之法向量垂直

兩直線相交,所以兩直線共平面,從 \(M \)  點拉一個向量到已知直線,再和已知直線之方向向量外積,可得兩直線共所共平面之法向量。

兩個法向量皆與所求直線垂直,以外積可得欲求之方向向量

填充 2. 設 \(A(a,\frac1a) \),則 \( \triangle OAP \) 面積 \( = \frac12 a\cdot \frac1a =\frac12 \) 同理 \( \triangle OBQ \) 亦然

再利用 \( \frac12 rs = \) 面積,即可得半徑是 \( \frac15 \) 倍

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-5 06:54 PM 編輯 ]
作者: march2001kimo    時間: 2012-6-10 00:49

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-6-5 06:50 PM 發表
填充 3. 計算留著,自行補完

直線和平面平行,所以其方向與平面之法向量垂直

兩直線相交,所以兩直線共平面,從 \(M \)  點拉一個向量到已知直線,再和已知直線之方向向量外積,可得兩直線共所共平面之法向量。

兩個法向量皆 ...
謝謝寸絲老師
作者: three0124    時間: 2021-7-1 01:25     標題: 回復 16# hua0127 的帖子

不好意思
想請問各位老師關於此題的解法
因為所求應該是須滿足f(x)>0
但是當a=1/32時,f(1/2)會等於零
是否答案應該為1/32<a<1/2呢
不應該有等號

還是我有哪個地方想錯了呢
再請各位老師解答
謝謝
作者: tsusy    時間: 2021-7-1 08:15     標題: 回復 30# three0124 的帖子

填充4. 題意中 \( 0<x< \frac12 \),不包含 \( \frac12 \)

前面 16# 處的作法,應該是利用單調性和連續性,使用端點來保證不等式




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