Math Pro 數學補給站

標題: 101桃園農工 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2012-5-29 10:33 標題: 101桃園農工

我已將pdf頁面轉正，請重新下載

附件: 101桃園農工.pdf (2012-5-29 22:02, 50.89 KB) / 該附件被下載次數 9499
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1161&k=9573a8addceb97ed812e7d490f076754&t=1732296274

作者: peter579 時間: 2012-5-29 14:27

1不知為何只公佈p1而已
『背面還有試題』，問題是沒有背面阿…

2 要問大家一下，填充題第四、五題。
第五題是積分，應是要使用某種代換。研究中。

作者: Ellipse 時間: 2012-5-29 15:16

引用:

原帖由 peter579 於 2012-5-29 02:27 PM 發表
1不知為何只公佈p1而已
背面還有試面，問題是沒有背面阿…

2 要問大家一下，填充題第四、五題。
第五題是積分，應是要使用某種代換。研究中。 ...

填充5
更正:令u=x-2

作者: 八神庵 時間: 2012-5-29 16:09

引用:

原帖由 peter579 於 2012-5-29 02:27 PM 發表
1不知為何只公佈p1而已
背面還有試面，問題是沒有背面阿…

2 要問大家一下，填充題第四、五題。
第五題是積分，應是要使用某種代換。研究中。 ...

好久沒上來了
這間學校是會公佈考題
可是都只公佈一邊或一卷
曾經看過他們有A,B卷,公佈卻只公佈一卷的情形
不過比起都不公佈的某些名校來講
他們已經算不錯了

作者: gamaisme 時間: 2012-5-29 19:56

第一題應該要怎麼解比較快?

作者: peter579 時間: 2012-5-29 20:51

第五題 u=x-2

積分[du/(u^4*根號(u^2-1)]

再用u=sec角代入  可以得到
                     積分[cos^3]    角度從60度積到90度

                        =sin-1/3sin 就可以得到答案了…(對不起，沒有時間用word打…)

作者: natureling 時間: 2012-5-29 20:57 標題: 回復 5# gamaisme 的帖子

1.
若\(a\)是\(\displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x\)的解，則\(a=\)　　　。
[提示]
99年鳯新高中有唷....
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&page=1#pid2270

作者: gamaisme 時間: 2012-5-29 21:07 標題: 回復 7# natureling 的帖子

感謝~

作者: natureling 時間: 2012-5-29 21:32 標題: 想請教填充4、7

感謝!!

作者: gamaisme 時間: 2012-5-29 21:47

那填充6又應該要如何解?

作者: tsusy 時間: 2012-5-29 22:02 標題: 回復 10# gamaisme 的帖子

填充 6.
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{AC}=6\)。若\(E\)為\(\Delta ABC\)的外心，則向量內積\(\vec{AE}\cdot \vec{BC}\)的值為　　　。
[解答]
令 \( \vec{u}=\vec{AB} \), \( \vec{v}=\vec{AC}, \vec{AE}=x\vec{u}+y\vec{v}, \vec{BC}=\vec{v}-\vec{u} \)

由外心(中垂線)可得 \( (x\vec{u}+y\vec{v})\cdot\vec{u}=\frac{1}{2}|\vec{u}|^{2} \) 和 \( (x\vec{u}+y\vec{v})\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}|\vec{v}|^{2} \)

兩式相減，即為所求，得 \( \frac{1}{2}(6^{2}-4^{2})=10\)

作者: 阿光 時間: 2012-5-29 22:15

填充6
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{AC}=6\)。若\(E\)為\(\Delta ABC\)的外心，則向量內積\(\vec{AE}\cdot \vec{BC}\)的值為　　　。
[解答]
想提供另一種方法
所求=向量AEdot(向量AC一向量AB)=6X3-2X4=10

作者: tsusy 時間: 2012-5-29 22:56 標題: 回復 12# 阿光的帖子

其實是一樣的式子

是小弟糊塗了...在那賣弄符號，進去死胡同了~呵~~

作者: hua0127 時間: 2012-5-30 00:03

填充第7題
函數\(f(x)=3(2^x)+5(2^{-x})+7\)圖形的對稱軸方程式為　　　。
[解答]
剛剛小弟試了一下
利用微分判別圖形的走勢，
先求出f'(x)=(ln2)*(3*2^(2x)-5) 這裡 ln 是自然對數
解出當 x=(1/2) (log_2)(5/3) 時 (抱歉這裡很難看，就是以2為底...)
f'(x)=0, 所以當 x>(1/2) (log_2)(5/3) 時圖形遞增，另一邊則遞減
所以f的圖形的走勢跟拋物線是很類似的，故得到
對稱軸即為 x=(1/2) (log_2)(5/3)

作者: Ellipse 時間: 2012-5-30 00:34

填充7
函數\(f(x)=3(2^x)+5(2^{-x})+7\)圖形的對稱軸方程式為　　　。
[解答]
這題放一下小絕~

令f(x)=3*2^x+5*2^(-x)+7
g(x)=f(-x)=3*2^(-x)+5*2^x+7
可知f(x)與g(x)對稱於y軸
當x=0時,f(x)與g(x)交於同一點A(0,15)
過A點作平行線(y=15)交f(x)於B點
解3*2^x+5*2^(-x)+7=15
得2^x=5/3 (1不合)
x=Log_2 (5/3)即為B點的x坐標
所求為AB中垂線: x=(1/2)*Log_2 (5/3)

作者: hua0127 時間: 2012-5-30 10:18

填充第4題：
4.
設\(a\)為實數，若函數\(y=log_a(-x^2+log_{2a}x)\)在\(\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}\)均為實數，則\(a\)的範圍為　　　。
[解答]
令f(x)=-x^2 +(log_2a) (x) , 定義域限定在x>0
由題意知欲求 f(x) 在 (0, 1/2) 滿足f(x)>0 之a 的範圍
討論：
case(1)：如果2a>1, 觀察 x-->(0^+) 時 f(x)--> 負無限大
            由函數的連續性知存在一個開區間(0,b)使得 f(x) 的值恆小於0，無解
case(2)：如果2a<1, 先算出 f'(x)=(-2x)+ (1/ x* ln(2a) ) , 得到  x>0時 , f'(x)<0
            知 f 在 x>0 時為一嚴格遞減函數
            故只要滿足 f(1/2) 大於等於0, 即可滿足所求
            解 f(1/2) 大於等於0, 得到 1/32 小於等於 a < 1/2
            即為所求。

作者: 阿光 時間: 2012-5-30 15:51

不好意思,想請教填充第5題詳細解答,謝謝

作者: hua0127 時間: 2012-5-30 16:26

5.
求積分\(\displaystyle \int_{4}^{+\infty}\frac{dx}{(x-2)^4\sqrt{x^2-4x+3}}=\)　　　。
[解答]

最後那一行其實就是在令一次變數變換 u=sin

圖片附件: 101 桃園農工填充第5題.jpg (2012-5-30 16:26, 54.15 KB) / 該附件被下載次數 6967
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1165&k=ea1c76b0ed27f409ed97e94dfea13346&t=1732296274

作者: tsusy 時間: 2012-5-30 16:55 標題: 回復 15# Ellipse 的帖子

填充 7.
函數\(f(x)=3(2^x)+5(2^{-x})+7\)圖形的對稱軸方程式為　　　。
[解答]
觀看兩位老師的作法，都好像是預知對稱軸必為鉛直線

如果猜到此，其實好像就不難做，假設對稱軸是 \( x=a \)，將函數平移，使之移至 \( y \) 軸

\( g(x) =f(x+a)= 2^{a+\log_2 3} \cdot 2^x + 2^{-a+\log_2 5} \cdot 2^{-x} +7 \) 為偶函數

\( 2^x, 2^{-x} \) 係數相同時為偶函數，所以 \( a+\log_2 3 = -a+\log_2 5 \)

解得 \( a= \frac{1}{2} \log_2 \frac{5}{3} \)

不過無論以上哪個解法，都要先看出鉛直線這回事

這件事是否顯然，或是如何猜出。亦或是只有在下眼拙看不出來

作者: hua0127 時間: 2012-5-30 18:01

你這方法還真令小弟開了眼界，
誠如你所說，也是有那麼一點預知的感覺，
老實說我對這些函數也是沒多大感覺....所以我是用微分看整個圖形的趨勢，大概抓水平切線的位置
若函數圖形有非鉛直的對稱軸，（這裡假設定義域是 R）
那麼是否只有方程式圖形才有辦法達到這個需求？（函數的話可能作鉛直線會有兩個交點？）
我想嘗試找反例，像 y=1/x 就有 y=x 為對稱軸，可是他的定義域要扣掉0
還是說有鉛直漸近線的函數才"有可能"產生非鉛直線的對稱軸？
是蠻值得討論看看......

作者: tsusy 時間: 2012-5-30 18:42 標題: 回復 20# hua0127 的帖子

來個無聊例子， \( y=mx \) 的圖形是直線，所以任何一條垂線都是它的對稱軸

另外，如果考慮 \( y=x \) 是對稱的話，對稱的函數圖形，即為反函數

因為若 \( f (x) \) 之圖形以 \( y=x \) 為對稱軸 \( f(x) = f^{-1}(x) \) 則 \( f(f(x)) =x \)

寫到這還是沒什麼幫助，回到圖形，如果把 \( y = \frac1x \) 的右上圖形，截彎取直，

像是 \( y=\frac1x \) 和 \( x+y= c \) 所合成的圖形，也會對稱，而且避掉定義域或者不連續的問題

所以鉛直漸近線應該是非必要之條件

作者: hua0127 時間: 2012-5-30 19:33

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-30 06:42 PM 發表
來個無聊例子， \( y=mx \) 的圖形是直線，所以任何一條垂線都是它的對稱軸

另外，如果考慮 \( y=x \) 是對稱的話，對稱的函數圖形，即為反函數

因為若 \( f (x) \) 之圖形以 \( y=x \) 為對稱軸 \( f(x) = f^{-1}(x) \) 則 ...

y=mx 很棒的例子阿～非常不無聊 XD, 非常好的反例
f(x) 函數跟反函數 f^(-1)(x) 是對稱於y=x, 但是有沒有另一個函數g(x)
圖形會同時包含 f 跟 f^(-1) 的圖形，如果有的話，是否這樣才能說 y=x 為g(x)圖形的對稱軸
若考慮 f(x) 跟 f^(-1)(x) 兩個合成，這樣可以構成函數的機會是否很小？
像是y=10^x 跟 y=log(x) 兩個合成會對稱 y=x , 但是找不到一個"函數"使得圖形為前面的合成（會有一對多的情況發生）
所以若將 y=1/x 的右上截彎取直跟 x+y=c 合成，這樣的對稱軸為 y=x
但是是否能找到一個函數使得圖形為前面的兩個圖形合成，是否此時函數不會 well-defined
這樣的話是否通常能滿足這樣的圖形是一個方程式，例如像圓 x^2+y^2=1
若勉強要用一個函數達到的話，我好像只想到 y=1/x, 勉強可以，
但是你直線的例子就是非常好的反例，
當然也可能整篇都是我鬼打牆會錯意XD，也煩請多指教。

作者: tsusy 時間: 2012-5-30 20:28 標題: 回復 22# hua0127 的帖子

我想我和你一樣也在鬼打牆， \( y = c - x \) 不就又是另一個超好的例子了

實際上只要找個偶函數，把它對原點順時針轉個 45 度，出來的圖形就會對於稱於 \( x= y \)

接著我們需要一些假設，來保證轉出的圖形，是某個函數的圖形

設函數 \( f(x) \) 是可微分的偶函數，且 \( f'(x) > -1 \)

從切線的方向去觀察，轉完後的切線方向，和轉前的切線夾 45 度角

原圖形 \( (x,f(x)) \) 對 \( x \) 微分得切線方向 \( (1,f'(x)) \)

如果以原位置的 \( x \) 坐標當作新的圖形的參數，則新的圖形對參數 \( x \) 微分，就是原微分轉 45 度

由 \( f'(x) > -1 \) 之條件可得該微分的水平分量必為正。

也就是說該圖形的 \( x \) 坐標對參數之微分恆正，為嚴格遞增函數，所以新的圖形每個 \( x \) 坐標只會出現一次

所以我們就可以利用新的圖形定義函數了

套用以上方法，其實要哪個對稱軸都可以造，只是需要轉的角度及 \( f'(x) \) 的限制不同而已

當然還有無敵的例子：直線。上述的構造，只是還想說這樣的東西要多少有多少，不會只有直線這個無聊的例子

作者: hua0127 時間: 2012-5-30 21:27

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-30 08:28 PM 發表
我想我和你一樣也在鬼打牆， \( y = c - x \) 不就又是另一個超好的例子了

實際上只要找個偶函數，把它對原點順時針轉個 45 度，出來的圖形就會對於稱於 \( x= y \)

接著我們需要一些假設，來保證轉出的圖形，是某個函數的圖 ...

的確，重點在於這樣構造的話，要達到需求的函數不勝枚舉,

這篇實在是太精彩了!不拜不行XD~小弟之前的想法就膚淺許多，

這篇學了不少東西，討論數學實在是一件非常好的事情，感謝指教!!

作者: tsusy 時間: 2012-5-30 21:55 標題: 回復 24# hua0127 的帖子

同意，討論數學真的很有趣。沒有您的開頭，也不會有在下後來的想法

再補充一點，因為是偶函數，所以， \( f'(x) > -1 \) 的條件，其實就是 \( |f'(x)| <1 \)

這樣的函數怎麼找呢？隨便找一個微分有界的函數如 \( y = \cos x \)

把它壓扁，壓下去後， \( y = c \cos x \), \( |c|<1 \) 這樣 \( |y'| \leq |c|<1 \) 就有了

其它像是 \( y = \frac{1}{1+x^2} \) 也可拿來壓，總之不勝枚舉

這個問題討論到此應該也差不多了，不要再讓我們兩個鬼打牆的繼續鬼打牆了

作者: march2001kimo 時間: 2012-6-4 14:40 標題: 回復 15# Ellipse 的帖子

小弟有個想法
是否可以用a^x+a^(-x)這種超函數來切入
那肯定對稱軸是鉛直線

作者: march2001kimo 時間: 2012-6-5 15:11 標題: 請問第2題跟第3題

麻煩指教如何切入
謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-6-5 18:50 標題: 回復 27# march2001kimo 的帖子

填充 3.
已知直線\(L\)過點\(M(-2,1,2)\)且與平面\(2x+3y-z+1=0\)平行並且與直線\(\displaystyle \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-1}{1}\)相交，則\(L\)的方程式為　　　。(以對稱比例式表示)
[解答]
計算留著，自行補完

直線和平面平行，所以其方向與平面之法向量垂直

兩直線相交，所以兩直線共平面，從 \(M \) 點拉一個向量到已知直線，再和已知直線之方向向量外積，可得兩直線共所共平面之法向量。

兩個法向量皆與所求直線垂直，以外積可得欲求之方向向量

填充 2.
在坐標平面上，\(O\)為原點，從曲線\(xy=1(x>0)\)上兩點\(A,B\)，分別作\(\overline{AP}\)垂直\(x\)軸，垂足為\(P\)；作\(\overline{BQ}\)垂直\(x\)軸，垂足為\(Q\)。已知\(\Delta OAP\)的周長為\(\Delta OBQ\)周長的5倍，則\(\Delta OAP\)的內切圓半徑是\(\Delta OBQ\)內切圓半徑的　　　倍。
[解答]
設 \(\displaystyle A(a,\frac1a) \)，則 \( \triangle OAP \) 面積 \(\displaystyle = \frac12 a\cdot \frac1a =\frac12 \) 同理 \( \triangle OBQ \) 亦然

再利用 \( \frac12 rs = \) 面積，即可得半徑是 \( \frac15 \) 倍

作者: march2001kimo 時間: 2012-6-10 00:49

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-6-5 06:50 PM 發表
填充 3. 計算留著，自行補完

直線和平面平行，所以其方向與平面之法向量垂直

兩直線相交，所以兩直線共平面，從 \(M \) 點拉一個向量到已知直線，再和已知直線之方向向量外積，可得兩直線共所共平面之法向量。

兩個法向量皆 ...

謝謝寸絲老師

作者: three0124 時間: 2021-7-1 01:25 標題: 回復 16# hua0127 的帖子

不好意思
想請問各位老師關於此題的解法
因為所求應該是須滿足f(x)>0
但是當a=1/32時，f(1/2)會等於零
是否答案應該為1/32<a<1/2呢
不應該有等號

還是我有哪個地方想錯了呢
再請各位老師解答
謝謝

作者: tsusy 時間: 2021-7-1 08:15 標題: 回復 30# three0124 的帖子

填充4. 題意中 \( 0<x< \frac12 \)，不包含 \( \frac12 \)

前面 16# 處的作法，應該是利用單調性和連續性，使用端點來保證不等式

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0