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標題: 101 武陵高中 [打印本頁]

作者: shingjay176    時間: 2012-5-23 21:22     標題: 101 武陵高中

晚剛有去考,提供一題證明題。證明三高共點。
考了十二題計算題。

圓內接正三角形ABC,圓的半徑為r,p為圓上任意點,求pa線段乘pb線段乘pc線段之最大值?



101.5.24版主補充
以下資料供以後考生參考:

初試最低錄取分數 55分
取10名參加複試,錄取1名
72,71,66,62,62,59,58,56,56,55

其他,
50~54分 7人
40~49分 18人
30~39分 22人
20~29分 17人
10~19分 8人
0~9分   1人
缺考    4人

共計 87 人

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-24 08:31 PM 編輯 ]

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作者: rudin    時間: 2012-5-23 21:49     標題: 回復 1# shingjay176 的帖子

sin那題,nysml考題,101那本P.146頁,答案2^(-89/2)
作者: Ellipse    時間: 2012-5-23 22:00

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-23 09:22 PM 發表
晚剛有去考,提供一題證明題。證明三高共點。
考了十二題計算題。

圓內接正三角形ABC,圓的半徑為r,p為圓上任意點,求pa線段乘pb線段乘pc線段之最大值? ...
#2
轉成複數平面
令A:x1=r(cos0°+i*sin0°) ,B:x2=r((cos120°+i*sin120°),C:x3=r(cos240°+i*sin240°),
   P:w=r(cosθ+i*sinθ)
則x1,x2,x3為x^3=r^3的解,(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)=x^3-r^3------------(*)
將w代入(*)得 (w-x1)*(w-x2)*(w-x3)=w^3-r^3=r^3[cos(3θ)-1 +i*sin(3θ)]
取絕對值則
|(w-x1)|*|(w-x2)|*|(w-x3)|
=PA*PB*PC
=r^3*{ [cos(3θ)-1]^2+[sin(3θ)]^2 }^0.5
=r^3*[2-2cos(3θ)]^0.5
<=r^3*[2-2(-1)]^0.5
=2*r^3為最大值

註:當θ=60°,180°,300°時,所求有最大值


110.5.25補充
已知一單位圓圓\(O\),且\(\Delta ABC\)為圓\(O\)之內接正三角形。若\(P\)為圓\(O\)上一動點,則\(\overline{PA}\times\overline{PB}\times \overline{PC}\)的最大值為何?
(110竹科實中,https://math.pro/db/thread-3508-1-1.html)
作者: Ellipse    時間: 2012-5-23 22:06

引用:
原帖由 rudin 於 2012-5-23 09:49 PM 發表
sin那題,nysml考題,101那本P.146頁,答案2^(-89/2)
這題作法
跟PA*PB*PC那題的技巧相同~
作者: shingjay176    時間: 2012-5-23 22:17     標題: 回復 4# Ellipse 的帖子

我是座標化,把三個點標出直角座標,p點用圓的參數式寫,在利用點跟點的距離公式,三個式子硬乘開,化簡後。式子簡化很多,也有証明出来。
作者: Ellipse    時間: 2012-5-23 22:20

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-23 10:17 PM 發表
我是座標化,把三個點標出直角座標,p點用圓的參數式寫,在利用點跟點的距離公式,三個式子硬乘開,化簡後。式子簡化很多,也有証明出来。
用複數平面來做,應該會比較精簡
作者: shingjay176    時間: 2012-5-23 22:26     標題: 回復 6# Ellipse 的帖子

沒錯,你的算式真的精簡很多,有時候在考場做題目就是一個念頭。我當下還是選擇穩扎穩打。好在十分有拿到。今天晚上有八十七個人考。作答的答案紙,題號跟作答範圍都劃範圍框框劃好了。計算過程沒有控制好,很容易就超出範圍,寫到答案紙的邊邊了。
作者: shingjay176    時間: 2012-5-23 22:29

計算題第一題,((根號5)+2)^101=m+n(根號5),請說明m,n是偶數還是奇數.(5分)
作者: tsusy    時間: 2012-5-23 22:45     標題: 回復 8# shingjay176 的帖子

補完計算 1
(1) \(  (\sqrt{5} +2)^{101} =m + n \sqrt{5} \), \( m,  n \) 整數,請說明 \( m, n\) 是偶數還是奇數

(2) \( h = (\sqrt{5} +2)^{101} = a + k \) ,其中 \( a \) 為正整數且 \( 0 < k <1 \),求 \( hk \)

再補一題

\( F \) 為橢圓 \( \frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{72} =1 \) 之右焦點, \( A(1,3) \), \( P \) 在橢圓上,

求 \( \overline{PF} + \overline{PA} \) 的最大最小值


再補一題...印象中好像是有兩種郵資的郵票  5 元和 12 元各無限多張,

求最大的正整數 \( n \) , 使得無法湊出 \( n \) 元郵資

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-25 08:56 AM 編輯 ]
作者: shingjay176    時間: 2012-5-23 22:55     標題: 回復 1# shingjay176 的帖子

三角形三高共點,在考試時候想了好久,真的不知道如何下筆
作者: weiye    時間: 2012-5-23 22:56     標題: 回復 10# shingjay176 的帖子

三角形三高共點,用向量證很快。



∆ABC 中

過 A 作 AD 垂直 BC 於 D,

過 B 作 BE 垂直 CA 於 E,

設 AD 與 BE 交於 H,

且 CH 延長線交 AB 於 F,



因為 AD 垂直 BC 且 向量 AD 平行向量 AH

→ 向量 AH‧向量 BC =0 (接下來硬是要拆開,把一切都寫成 "X"H 向量)

→ 向量 AH‧(向量 BH-向量CH) =0

→ 向量 AH‧向量 BH-向量 AH‧向量CH =0 .............(1)



因為 BE 垂直 CA 且向量 BE 平行向量 BH

→ 向量 BH‧向量 CA =0(接下來硬是要拆開,把一切都寫成 "X"H 向量)

→ 向量 BH‧(向量 CH-向量AH) =0

→ 向量 BH‧向量 CH-向量 BH‧向量AH =0 .............(2)





由 (1) (2) 兩式相加,

可得 向量 BH‧向量 CH-向量 AH‧向量CH =0

→ (向量 BH-向量 AH)‧向量CH =0

→ 向量 AB‧向量CH =0




且因為 向量CH 平行 向量 CF

所以, CF 垂直 AB

意即,過 A, B 兩點所作的高之交點,也會在過 C所作之高之上,

故,三角形 ABC 的三高有共同交點。
作者: shingjay176    時間: 2012-5-23 22:59     標題: 回復 11# weiye 的帖子

我現場有用這想法去做,可惜轉不出來答案。我的想法是先讓其中兩個高連線,交於H點。再用第三個頂點,和H點連線,在延長後,交於對邊於E點,要證明此線段與對邊垂直。
現在來想想看,看證明的出來嗎??

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1140&k=dd0e333406bfbfff1fcab7ef8da428a6&t=1711709815


作者: shingjay176    時間: 2012-5-23 23:21     標題: 回復 12# shingjay176 的帖子

真的用向量證明,可以很快證明出來。但在考場就有如鬼擋牆一般。就是無法衝破那個想法的點。可惜十分又沒拿到了。第一題計算題也沒寫出來。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-23 11:24 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2012-5-23 23:38     標題: 回復 13# shingjay176 的帖子

小弟也是鬼打牆向量做不出來,回家搭火車路上就想到了

考場裡只好開大絕,過三頂點補三條和對邊的平行線

此三條線交出三點形成的三角線,三邊恰以原三角形三頂點為中點

於是原本小三角形的三垂線,就變成新的大三角形的三中垂線

接下來國中生的,就會證了
--------------------------------------------------------------------------------

反過來說,應該比較好理解

任一個三角形會與其三邊中點所形成的三角形相形,而且是兩倍大

畫個圖,大的中垂線就是小的高

所以問題可以換成三中垂線交於一點

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-24 10:03 AM 編輯 ]
作者: shingjay176    時間: 2012-5-24 07:47     標題: 回復 14# tsusy 的帖子

你的方法,我沒看懂勒。指點一下。考場裡最大的障礙是時間壓力吧。
我來好好思考。謝啦

大的中垂線就是小三角形的高,要說明嗎啊,怎麼說明。(這我想通了),該如何想三中垂線共點勒。這樣想是把三高共點,轉換成證明,三中垂線共點勒。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-24 11:53 AM 編輯 ]
作者: CyberCat    時間: 2015-4-3 15:03     標題: 回復 3# Ellipse 的帖子

不好意思 回鍋請教一下這一題
曾使用坐標化 或是 複數平面證明,這幾天想換了一種方式去證,但似乎覺得PA的說法有點沒說服力,請大家幫忙指正

題目:圓內接正三角形ABC,圓的半徑為r,P為圓上任意點,求PA線段乘PB線段乘PC線段之最大值

在不失一般性的假設下
設P點在BC弧上
欲使PA × PB × PC 最大
PA × PB × PC ≦ PA × [(PB + PC)/2]^2
若等號成立 PB = PC = r 且 此時的 PA 恰好會是圓內最大的弦 <---------是不是有更好的說法?
得 PA × PB × PC ≦ 2r × r^2 = 2r^3

是不是該補充說明 這圖有對稱性或是其他之類的?
因為我們知道 對於隨意三個正數 x y z 乘積 , 若 y與z乘積有最大時,也未必保證x就是最大
但這題目很巧的是, PB = PC = r 時, PA 是最大的,這圖形又有很好的對稱性,所以這樣的證明方法,不知適不適合?

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2015-4-3 03:12 PM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2015-4-3 17:14     標題: 回復 16# CyberCat 的帖子

這樣證會有個小問題,就是 PB + PC 的值並非定值

小弟的想法如下:
P 在弧 BC 上(P 不為 B 或 C)時
△PBC = (1/2) * PB * PC * sin(2π/3) = (√3/4) * PB * PC
由同底(BC),高愈長,面積愈大,可知 P 在弧 BC 中點時,PB * PC 有最大值,而此時 PA 是直徑也是最大
故 PA * PB * PC 有最大值

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-4-3 05:21 PM 編輯 ]
作者: CyberCat    時間: 2015-4-3 20:34     標題: 回復 17# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師的指點
我一直覺得我的論證中好像哪裡怪怪的
原來是我忽略了 PB + PC 並非定值 這個條件

您提到用面積的想法去找出 PB * PC 最大值的想法 真是頗有趣味的^^
(都忘了有圓周角固定為2π/3可以使用)
感謝您的回覆 讓我又多學到了一些




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