標題: 101板橋高中 [打印本頁]
作者: tsusy 時間: 2012-5-20 09:50 標題: 101板橋高中
附件是記憶中的題目
有些敘述不太完整，有的數字可能不對，
或是寸絲的中文不好，言不及意
還請各位幫忙指正，謝謝~~
感謝 lianger 幫忙修正題意和題號
請諸位慢慢享用
附件: [感謝 brace 修正 8.9] 101板橋高中.pdf (2012-5-20 18:09, 369.23 KB) / 該附件被下載次數 16275
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1112&k=e94665e7754942637ac5aa2bb6d8c783&t=1713945710
作者: bugmens 時間: 2012-5-20 10:23
感謝分享
3.
曲線Γ：\( \displaystyle y=\frac{1}{x} \)，
(1)△ABC三頂點皆在曲線Γ 上，求證其垂心亦在曲線Γ上。
(2)\( D=(-1,-1) \)，△BCD為正三角形，且B,C在第一象限曲線Γ上。求B,C坐標。
https://math.pro/db/thread-559-1-1.html
在最後一題加分題有解答
連結已失效h ttp://web.tcfsh.tc.edu.tw/math/math2/T95221A.pdf
設雙曲線\( xy=1 \)的兩支為\( C_1,C_2 \)，正三角形PQR的三頂點位於此雙曲線上。
(1)求證：P,Q,R不能都在雙曲線的同一支上。
(2)設\( P(-1,-1) \)在\( C_2 \)上，Q,R在\( C_1 \)上，求頂點Q,R的坐標。
(1997大陸高中數學聯合競賽)
4.
我覺得題目要改成這樣才算得出來
(1)\( f(x)=\sqrt{-x^2+68x-256}-\sqrt{-x^2+10x-9} \)，求\( f(x) \)的最大值。
(2)承上，此時x之值。
[解答]
(x-34)^2+y^2=30^2的上半圓為\( y=\sqrt{-x^2+68x-256} \)
(x-5)^2+y^2=4^2的上半圓為\( y=\sqrt{-x^2+10x-9} \)
此時\( f(x) \)可視為兩半圓的y值相減的函數，當x=9時有最大值\( 5\sqrt{11} \)
感謝lianger和tsusy指教，原來用加的也是可以解出來
Find the largest positive value attained by the function \( f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48} \), x a real number
(A)\( \sqrt{7}-1 \) (B)3 (C)\( 2\sqrt{3} \) (D)4 (E)\( \sqrt{55}-\sqrt{5} \)
(1993AHSME，http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1993)
設\( x \in R \)，試求\( f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48} \)的最大值？
(96和美高中，96基隆海事)
5.
\( <x_n> \)正實數數列，\( \displaystyle x_1=\frac{3}{4} \)且滿足\( x_{k+1}^2=x_k^4+2x_k^3+x_k^2 \)，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{202}+1} \Bigg]\; \)
有一個數列\( x_1 \),\( x_2 \),\( x_3 \),…,\( x_{2001} \)，其中\( \displaystyle x_1=\frac{1}{3} \)且\( x_{k+1}=x_k^2+x_k \)，\( k=1,2,...,2000 \)請找出\( \displaystyle \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+\frac{1}{x_3+1}+...+\frac{1}{x_{2001}+1} \)的整數部分？
(建中通訊解題第11期)
10.
求所有的正實數x,y，滿足\( \displaystyle \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \)，\( \displaystyle \frac{x+y}{2} \)，\( \sqrt{xy} \)，\( \displaystyle \frac{2xy}{x+y} \)皆為正整數且四數之和為66。
感謝thepiano將這麼古老的討論文章挖了出來
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2814
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=8852 (連結已失效)
作者: lianger 時間: 2012-5-20 12:00 標題: 回復 2# bugmens 的帖子
第4題
這題我在考試的時候也沒湊出來，後來才想到可以用柯西不等式，沒拿到這10分真是太可惜了!
\( f(x)=\sqrt{(x-1)(9-x)}+\sqrt{(64-x)(x-4)}=\sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4} \)
\(\begin{cases}
& (x-1)(9-x)\geq 0 \\
& (64-x)(x-4)\geq 0
\end{cases} \)
\( \Rightarrow 4 \leq x\leq 9 \)
所以\(x-1，9-x，64-x，x-4\)皆不小於0
由柯西不等式得
\([(x-1)+(64-x)][(9-x)+(x-4)]\geq (\sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4})^2\)
所以\( \sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4} \leq \sqrt{63 \times 5 }=3\sqrt{35} \)
所求之最大值為\(3\sqrt{35}\)
等號成立時，\( \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{9-x}}=\frac{\sqrt{64-x}}{\sqrt{x-4}} \)
\( \Rightarrow x=\frac{143}{17} \)
[ 本帖最後由 lianger 於 2012-5-20 12:10 PM 編輯 ]
作者: tsusy 時間: 2012-5-20 12:43 標題: 回復 3# lianger 的帖子
lianger 是對的，小弟也算出同樣的 \( x \)
幾何解法，
取 \( (x-5)^2 + y^2 = 4^2 \) 的上半圓和 \( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓
兩半圓外切，而兩根號，可視為 半圓上的點至圓心的 \( y \) 分量，如圖 \( \overline{BD} \), \( \overline{AC} \) 之和
因此兩大值為兩圓心 \( y \) 坐標之差 \( 3 \sqrt{35} \), 其發生位置，其可由分點公式算出 \( x= \frac{143}{17} \)
[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-20 12:45 PM 編輯 ]
圖片附件: 101panchiao.gif (2012-5-20 12:43, 496.76 KB) / 該附件被下載次數 13953
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作者: sweeta 時間: 2012-5-20 13:02 標題: 回復 1# tsusy 的帖子
第八題的範圍印象中是 101 到 2012
因為當時我的解讀是 民國101年和西元2012年 XD
作者: brace 時間: 2012-5-20 13:56 標題: 第8.9題題目修正
謝謝各位無私的分享
沒記錯的話
第8題n範圍為66<=n<=2012
第9題f(0)=1,f(1)-3,則積分0到1 (f''(x))^2dx>=4
不好意思,電腦能力太弱
作者: tsusy 時間: 2012-5-20 18:08 標題: 回復 6# brace 的帖子
感謝 sweeta 和 brace 兩位提供訊息
第 9 題 brace 的數字應該才是對的
而第 8 題，個人的印象是有 6 偶數...但 66 的話不就和最後一題一樣??這樣應該會有印象才是?
印象中第 8 題算出 90xxxx。 不知道，諸位對此數字是否有印象，也可能是小弟算錯
[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-21 09:50 PM 編輯 ]
作者: weiye 時間: 2012-5-20 18:50
幫朋友解完第 5 題順便放上來~~
（聽他說，今年的彰中也有出一題類似題。）
第 5 題：
\(\displaystyle x_{k + 1}^2 = \left( x_k\left( x_k + 1 \right)\right)^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow x_{k + 1} = x_k\left( x_k + 1 \right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x_{k + 1}} = \frac{1}{x_k\left( x_k + 1\right)} = \frac{1}{x_k} - \frac{1}{x_k + 1}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x_k + 1} = \frac{1}{x_k} - \frac{1}{x_{k + 1}}\)
因為
\(\displaystyle \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + \cdots + \frac{1}{x_{202} + 1}\)
\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} \right) + \left( \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{x_{202}} - \frac{1}{x_{203}} \right)\)
\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_{203}} \right)\)
\(\displaystyle < \frac{1}{x_1} - 0\)
\(\displaystyle = \frac{4}{3} < 2\)
且
\(\displaystyle \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + \cdots + \frac{1}{x_{202} + 1}\)
\(\displaystyle > \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + 0 + 0 + \cdots + 0\)
\(\displaystyle = \frac{1}{\frac{3}{4} + 1} + \frac{1}{\frac{3}{4} \times \left( \frac{3}{4} + 1 \right) + 1}\)
\(\displaystyle = \frac{260}{259} > 1\)
因此，
\(\displaystyle \left[\frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + \cdots + \frac{1}{x_{202} + 1} \right] = 1\)
作者: tsusy 時間: 2012-5-20 19:48 標題: 回復 8# weiye 的帖子
應該是吧...昨天晚上也有人問寸絲
題目好像是 \( 3a_{n+1} = a_n^2 +3a_n \)，問的是 \( \frac{1}{a_n +3} \) 的和之類的
手法一模一樣...昨天問小弟的那位，應該想撞牆了...
作者: hua0127 時間: 2012-5-20 23:03
第九題:
考慮積分形式的柯西不等式:
若函數 f,g 在 [a,b] 可積分，則 (S (f(x))^2 dx) (S (g(x))^2 dx) 大於等於 (S f(x)g(x) dx)^2
(抱歉 其中的 S 表示積分符號， 且範圍為 [a,b]
本題中 (S (f'(x))^2 dx) (S 1^2 dx) 大於等於 (S f'(x) dx)^2, 其中 積分範圍為 [0,1]
化簡得到 (S (f'(x))^2 dx) 大於等於 (f(1)-f(0))^2 =4 , 驗畢.
作者: blue329456 時間: 2012-5-21 11:47 標題: 回復 2# bugmens 的帖子
第四題
亦可使用一階微分
f ' (x)=0
求出x 的值
但 計算較複雜
作者: gonm 時間: 2012-5-21 13:52
第六題,我想請問有沒有人有印象,題目是說每人投"兩票"還是投"兩人"?
如果是投兩票,是否可接受兩票皆投同一人?
雖然說這樣題目會變得很簡單...
H(3,80)
如果規定要投兩人的話,
相當於每人投你不想選的人
所以應該是H(3,40)
看你少拿了幾票
第二小題,可以只投一人
所以如果令x,y,z為三人少拿的票數
則40<=x+y+z<=80
且x,y,z<=40
可以解出來是H(4,80)-3*H(4,79)-H(4,39)
作者: tsusy 時間: 2012-5-21 15:12 標題: 回復 12# gonm 的帖子
是兩人，而非兩票
我的敘述可能不太好，不知道哪位願意幫忙修一下
作者: gonm 時間: 2012-5-21 18:20 標題: 回復 13# tsusy 的帖子
您的敘述沒有問題
我只是想確認一下
順便替我的分數哀號XDD
作者: bigslam 時間: 2012-5-22 21:31 標題: 回復 12# gonm 的帖子
第六題第一小題如gonm所說為H(3,40)
但第二小題按你算式算出答案為負數,是否可以看成投票方法有(o,o,x),(o,x,o),(x,o,o),(o,x,x),(x,o,x),(x,x,o)共六種,投票總數為40張的重複組合,答案為H(6,40)
第三小題反向思考,投票方法為(o,o,x),(o,x,o),(x,o,o),有人得到不小於30各 x 的選票,其答案為
3 * H(3,10)=198...這樣的解法不知是否正確
作者: tsusy 時間: 2012-5-22 21:51 標題: 回復 15# bigslam 的帖子
6 (2) 這樣寫會有重覆
OOX 13*OXX 13*XOX 13*XXO 這組和 XOO 14*OXX 13XOX 12*XXO 總得票數都是 14,14,13
6 (3) 想法相同
等等再來想 6 (2)
作者: basess8 時間: 2012-5-23 12:56
感謝寸絲兄指點，我把後面寫法補完
第八題
將方程式同乘 \(x\) 則有\(C^{n}_{n-1}x^{n-1}+C^{n}_{n-2}x^{n-2}+...+C^{n}_{2}x^2+C^{n}_{1}x=0\) (\(x=0\)) 不為根
再同補上 \(x^n+1\) 得 \(x^n+C^{n}_{n-1}x^{n-1}+C^{n}_{n-2}x^{n-2}+...+C^{n}_{2}x^2+C^{n}_{1}x+1=x^n+1\)
整理 \((x+1)^n=x^n+1\)
可令 \( g(x)=(x+1)^n-x^n-1 \)若 \( x=a \)為 \( f(x) \) 的重根，那 \( x=a \) 必為 \( g(x) \) 的重根
則有\( g(a)=g'(a)=0 \)
\(g(a)=(a+1)^{n}-a^{n}-1\)，\(g'(a)=n(a+1)^{n-1}-na^{n-1}\) 推得
1.\(g(a)-\frac{a}{n} g'(a)=(a+1)^{n-1}-1=0\)
2.\(g(a)-\frac{a+1}{n} g'(a)=a^{n-1}-1=0\)
所以\(a\)為\((x+1)^{n-1}=x^{n-1}=1\)的根，在複數平面上畫出\(|x+1| =| x|=1\)
找出交點代回 \( (\pm \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} = 1\) 或 \( ( \pm \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} =1 \)
故6為\(n-1\)的因數
[ 本帖最後由 basess8 於 2012-5-23 11:38 PM 編輯 ]
作者: tsusy 時間: 2012-5-23 13:20 標題: 回復 17# basess8 的帖子
前面的作法相同..
但後面的討論似乎有點問題： \( n \) 奇數是，實際上 \( x=-1 \) 有可能是單根
如 \( n=3 \) 方程式為 \( 3x+3 = 0\) 顯然是單根
應令 \( g(x) = xf(x) = (x+1)^n - x^n -1 \), 則有 \( g'(x) = n(x+1)^{n-1} + nx^{n-1} \)
0 不為 \( f(x) =0 \) 之根，因此 \( x=a \) 為 \( f(x) = 0 \) 之重根若且唯若 \( x=a \) 為 \( g(x) =0 \) 之重根
若且唯若 \( g(a)=g'(a) = 0 \)，若且唯若 \( 0 = g(a) - \frac an g'(a) = (a+1)^{n-1}-1 \) 且 \( 0 = g'(a) =n(a+1)^{n-1} - na^{n-1} \)
若且唯若 \( x=a \) 為 \( (x+1)^{n-1} =x^{n-1} =1 \) 的解。
在複數平面上畫兩圓 \( |x+1|=|x| =1 \) ，其交點為 \( x= -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt 3}{2} \)
因此，有重根若且為若 \( (\pm \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} = 1\) 或 \( ( \pm \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} =1 \)
即 \( 6 \mid n-1 \)
\(n = 1 \) 時，原方程式是 \( 0 = 0 \) 算不算重根丫？？？但不影響此題作答
[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-23 01:30 PM 編輯 ]
作者: arend 時間: 2012-5-23 22:43
引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-20 12:43 PM 發表 
lianger 是對的，小弟也算出同樣的 \( x \)
幾何解法，
取 \( (x-5)^2 + y^2 = 4^2 \) 的上半圓和 \( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓
兩半圓外切，而兩根號，可視為 半圓上的點至圓心的 \( y \) 分量，如圖 ...
\( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓
怎麼從原式得到的
想了很久還是想不透
謝謝
作者: tsusy 時間: 2012-5-23 23:20 標題: 回復 19# arend 的帖子
因為過程被小弟抹掉了，不過這個構造有點不直覺，所以可不用太在意
比較好的方法，可以參考 #3 lianger 的做法
回到被抹掉的東西，一開始其實是畫兩個上半圓，圓心都在 \( x \) 軸
但是這樣 \( y \) 方向的兩線段會有疊在一起的部分，不利於幾何上解釋加法，於是把一個圓改成下半圓
這樣兩個線段就連起來變成一個線段了，在考場裡，寸絲也沒有想那個第二個下半圓的平移
而是採用微分的觀點發現，相求函數之微分，即兩半圓切線斜率相減，所以當切線斜相等時，即極點位置
小弟因此先做出 (2) ，後來再思考，才從切線斜率相同，想到相切，而且半圓可平移，線段不變
所以就它右邊的大半圓往上移動，直至與左邊小圓相切，那從畢氏定理算一算得圓心 \( y \) 坐標為 \( \sqrt{(4+30)^2-(34-5)^2} \)
以上，囉嗦了半天，沒什麼重點，勿怪
作者: 沙士 時間: 2012-5-24 22:58 標題: 回復 12# gonm 的帖子
請問6的(2)改成這樣是對的嗎？
H(4,80)-3*H(4,39)-H(4,39)=H(4,80)-4*H(4,39)
作者: lianger 時間: 2012-5-24 23:02 標題: 回復 21# 沙士 的帖子
我後來也是算這個答案。
作者: 沙士 時間: 2012-5-25 17:09
請問第3題的(2)
我是承第(1)小題的結果，然後畫圖可知
B、C兩點應對稱於y=x
又垂心需在雙曲線上，故垂心座標為(1,1)
令B、C兩點分別為(a,1/a)、(b,1/b)
正三角形垂心亦為重心
∴(-1+a+b)/3=1&(-1+1/a+1/b)/3=1
再解出a=2±√3→B、C座標為(2+√3,2-√3)、(2-√3,2+√3)
如果沒有第(1)小題，該如何解？？
作者: weiye 時間: 2012-5-25 19:08 標題: 回復 23# 沙士 的帖子
直接解 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc}y=\frac{1}{x}\\ y+1=\tan15^\circ\left(x+1\right)\end{array}\right.\) 與 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc}y=\frac{1}{x}\\ y+1=\tan75^\circ\left(x+1\right)\end{array}\right.\)
作者: 沙士 時間: 2012-5-25 21:10 標題: 回復 24# weiye 的帖子
謝謝瑋岳大~~~~
原來要這樣解
我還在旋轉個老半天= =
愈算愈複雜~~~~~感謝^^
作者: mandy 時間: 2012-5-26 09:45
請問第8題 :
已找出|x+1|=|x|=1之交點 , 為何有重根則x= (+/-)(1/2)+(sqpt(3)/2)i 或(+/-)(1/2)-(sqpt(3)/2)i ?
[ 本帖最後由 mandy 於 2012-5-26 09:50 AM 編輯 ]
作者: Ellipse 時間: 2012-5-26 12:22
引用:
原帖由 mandy 於 2012-5-26 09:45 AM 發表
請問第8題 :
已找出|x+1|=|x|=1之交點 , 為何有重根則x= (+/-)(1/2)+(sqpt(3)/2)i 或(+/-)(1/2)-(sqpt(3)/2)i ?
作者: mandy 時間: 2012-5-26 21:37
引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-26 12:22 PM 發表
這表示兩圓(x+1)^2+y^2=1與x^2+y^2=1的交點
作者: shingjay176 時間: 2012-6-5 08:37
引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-20 09:50 AM 發表
附件是記憶中的題目
有些敘述不太完整，有的數字可能不對，
或是寸絲的中文不好，言不及意
還請各位幫忙指正，謝謝~~
感謝 lianger 幫忙修正題意和題號
請諸位慢慢享用 ...
作者: mandy 時間: 2012-6-12 21:07
請問填充第七題如何做? 謝謝!!
作者: mandy 時間: 2012-6-12 21:27
引用:
原帖由 沙士 於 2012-5-24 10:58 PM 發表
請問6的(2)改成這樣是對的嗎？
H(4,80)-3*H(4,39)-H(4,39)=H(4,80)-4*H(4,39)
作者: catglow 時間: 2012-8-28 17:33
請問7(2)，我將x改為x=cos(π/6)+isin((π/6), 再將行列式用相加到某一列值不變，一直算到最後，是否還有其他方法可用於這題，
感謝^^
作者: weiye 時間: 2012-8-29 14:27 標題: 回復 32# catglow 的帖子
填充第7題第2小題，我覺得我的作法也是硬展開～等待網友更漂亮的作法～：Ｐ
附件: 填充第7題第2小題.pdf (2012-8-29 19:48, 54.49 KB) / 該附件被下載次數 8828
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1430&k=9271f8dc1badf2efe28156704b167419&t=1713945710
附件: 填充第7題第2小題.doc (2012-8-29 19:48, 68.5 KB) / 該附件被下載次數 8386
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1431&k=77aeb2f0abc1473d1c88b41ab1f546a9&t=1713945710
作者: tsusy 時間: 2012-8-29 18:44 標題: 回復 33# weiye 的帖子
先對 weiye 老師致上敬意
在下算得有一點小差異，一者是行列式展開
另一個是 weiye 老師的 \( x \) 極式不小心寫錯了
令 \( A=\left[\begin{array}{ccccccc}
x^{9} & x^{8} & x^{7} & \ldots & \ldots & \ldots & 1\\
1 & x^{9} & x^{8} & \ldots & \ldots & \ldots & x\\
x & 1 & \ddots & \ddots & \ldots & \ldots & \vdots\\
\vdots & \ldots & \ddots & \ddots & \ddots & \ldots & \vdots\\
\vdots & \ldots & \ldots & \ddots & \ddots & x^{8} & \vdots\\
x^{7} & \ldots & \ldots & \ldots & 1 & x^{9} & x^{8}\\
x^{8} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 1 & x^{9}
\end{array}\right] \) ,\( E_{1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & \ldots & \ldots & 0\\
-x & 1 & \ddots & \ldots & \vdots\\
0 & -x & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0\\
0 & \ldots & 0 & -x & 1
\end{bmatrix} \), \( E_{1}A=\begin{bmatrix}x^{9} & x^{8} & \ldots & \ldots & 1\\
1-x^{10} & 0 & \ldots & \ldots & 0\\
0 & 1-x^{10} & \ddots & \ldots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0\\
0 & \ldots & 0 & 1-x^{10} & 0
\end{bmatrix} \)
又 \( \det E_{1}=1\) ，因此 \( \det A=\det(E_{1}A)=-(1-x^{10})^{9} \) 。
\( x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\Rightarrow x^{10}=-\frac{1+\sqrt{3}i}{2} \), \( 1-x=\frac{3+\sqrt{3}i}{2}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}+i}{2}=\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}) \)
因此 \( \det A=-(1-x^{10})^{9}=81\sqrt{3}i \)
算到這樣的感覺，要嘛是算錯了，要嘛是寸ㄟ題目記錯了
作者: weiye 時間: 2012-8-29 19:31 標題: 回復 34# tsusy 的帖子
哈，感謝寸絲老師，我真的是小錯超多，哈~~
馬上來改正寫錯的極式，感謝！：Ｄ
ps. 行列式展開結果相同啦，哈。
你的解法真是塊寶玉！：Ｄ
作者: catglow 時間: 2012-8-30 08:11
謝謝瑋大和寸絲老師，看了你們的解法真的受益良多，- -這一題我整整寫了三張、四張a4的紙
感謝~~~
作者: doordie25 時間: 2012-9-23 21:00
第6題小弟的解法，也不太清楚題意，所以按照自己的理解寫了一下，但我沒什麼信心，煩請大家幫忙訂正
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作者: panda.xiong 時間: 2013-5-9 09:37 標題: 回復 12# gonm 的帖子
請問6(1) 為什麼是H(3 ,40)，上面老師的解釋我不太了解。
作者: David 時間: 2013-5-12 20:15 標題: 回復 39# panda.xiong 的帖子
意思應該是說: 投兩個喜歡的人 (等同於) 投一個不喜歡的人. 是故每人投一票(共40票)給討厭的人, 共有H(3, 40)種可能結果.
作者: kittyyaya 時間: 2013-9-2 00:40
請問各位老師 第二題是否要用大學的eigenvalue來算
勞煩老師們 謝謝
[ 本帖最後由 kittyyaya 於 2013-9-3 12:40 AM 編輯 ]
作者: kittyyaya 時間: 2013-9-3 23:15 標題: 請問第二題的第三小題答案
請問老師們
我用eigenvalue算出 答案是否為 [ 1/3 2/3 ]
謝謝
作者: bugmens 時間: 2013-9-4 06:23
引用:
原帖由 kittyyaya 於 2013-9-3 11:15 PM 發表
請問老師們
我用eigenvalue算出 答案是否為 [ 1/3 2/3 ]
謝謝
市佔率轉移矩陣\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cr \frac{2}{5} & \frac{4}{5}}\Bigg]\; \)，\( \displaystyle P(0)=\Bigg[\; \matrix{\frac{1}{2} \cr \frac{1}{2}}\Bigg]\; \)。(1)求\( P(2) \) (2)求\( P(n) \) (3)求\( \displaystyle \lim_{n \to\infty}P(n) \)。
[解]
\( A-\lambda I=0 \)
\( \displaystyle \left|\ \matrix{\frac{3}{5}-\lambda & \frac{1}{5} \cr \frac{2}{5} & \frac{4}{5}-\lambda} \right|\ =0 \)
\( 5 \lambda^2-7 \lambda+2=0 \)
特徵值\( \displaystyle \lambda=\frac{2}{5},1 \)
作者: martinofncku 時間: 2013-9-11 08:14
請問老師 1. (3) 的作法
作者: weiye 時間: 2013-9-11 09:39 標題: 回復 44# martinofncku 的帖子
第 1 題第 3 小題：
設 \(\vec{OP}\) 與 \(\vec{OC}\) 夾角為 \(\theta\)，則 \(\cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 \theta =1\)
\(\Rightarrow \theta=45^\circ\) 或 \(\theta = 135^\circ\)
且因為 \(P\) 為四面體 \(O-ABC\) 內部一點，所以 \(0^\circ<\theta<90^\circ\)
\(\Rightarrow \theta=45^\circ\)
註：把 \(\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}\) 分別看做是正向 \(x,y,z\) 軸上的非零向量，
就會發現 \(\left(\cos45^\circ, \cos60^\circ, \cos\theta\right)\) 是一組「方向餘弦」。
作者: mandy 時間: 2015-4-1 20:42
請問填充第7題第1小題如何做?
作者: thepiano 時間: 2015-4-1 21:01 標題: 回復 45# mandy 的帖子
第 7 題(1)
參考一下
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2814#p8911
作者: peter0210 時間: 2015-9-23 20:23
想請教第八題
f(x)=0的重根
就算出來的結果而言
其實是重複"虛根"嗎？
作者: anyway13 時間: 2017-2-7 10:09 標題: 請問第一題的第二小題還有超難的第六題的第二小題
版上老師好!
第一小題的第二題 一直找不到P點座標 我是先把四面體座標畫
OA線段想成Y軸 OB線段想成X軸 OC線段想成Z軸 P點(P1,P2,P3)落在第一掛限(P1>0,P2>0,P3>0)
接下來和OC線段距離6 令P點和OC線段相距為6的點c為(0,0,c) 由P(4,5,P3) 到點c為6,然後就卡住了?
第六題的第二題沒有任何頭緒,請版上老師指點. 謝謝
作者: weiye 時間: 2017-2-7 11:37 標題: 回復 48# anyway13 的帖子
第一題 第二小題：
設 \(O\) 為原點， \(A,B,C\) 在正向 \(x,y,z\) 軸上，
令 \(P\left(a,b,c\right)\)，
則 \(\sqrt{b^2+c^2}=4, \sqrt{a^2+c^2}=5, \sqrt{a^2+b^2}=6\)
得 \(\displaystyle\overline{OP}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{\frac{4^2+5^2+6^2}{2}}=\frac{\sqrt{154}}{2}\)
作者: anyway13 時間: 2017-2-7 17:47 標題: 回復 49# weiye 的帖子
謝謝weiye 老師的指點!
作者: thepiano 時間: 2017-2-7 18:25 標題: 回復 48# anyway13 的帖子
6(2)
看成有四個候選人，其中一人是空氣人
把只投一人的情形，看成一人投實際的候選人之一，另一人投空氣人，如此每個人都投兩人
所求\(=H\left( 4,80 \right)-4\times H\left( 4,39 \right)=45961\)
扣掉的情形是其中一人(包含空氣人)得票在41票以上
作者: anyway13 時間: 2017-2-7 22:53 標題: 回復 51# the piano 的帖子
好簡潔的作法. 謝謝鋼琴老師
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