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標題: 101師大附中(含計算題) [打印本頁]
作者: tsusy    時間: 2012-5-12 13:41     標題: 101師大附中(含計算題)

熱騰騰的考題剛出爐，先 po 一下計算證明的部分，其它晚點應該會公佈
101 師大附中計算證明題，除第三題，兩小題各 5 分外，其餘每題 9 分

1. \( a>0 \), \( b>0 \), \( \theta\) 銳角，求 \( \frac{a}{\cos\theta}+\frac{b}{\sin\theta} \) 的最小值。

2. \( \triangle ABC \) 中， \(G\) 為重心。直線 \(L\) 過 \(G\) 與 \(\overline{AB}\) 和 \(\overline{BC}\) 分別交於 \(M\) 和 \(N\)。

\( \overline{BM}=p\overline{BA} \), \( \overline{BN}=q\overline{BC}\)，求 \(pq\) 最小值。

3. \( a_{1}=2\), \(a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})\), for \(n\geq1\)。

(1) 證明 \( \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\) 存在。

(2) 證明 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1)\) 收斂。

4. \( A_{n\times n}=[a_{ij}]\), \(B_{n\times n}=[b_{ij}]\)，其中 \(b_{ij}=\sum\limits _{k=1}^{n}a_{ik}-a_{ij}\)。\(\det A=a\), 求 \(\det B\) (以 \(a\) 表示)。

5. 求 \( \sum\limits_{n=1}^{10}\left[\frac{x}{n!}\right]=2012\) 的所有正整數解。

6. 求兩小於 1 的正數，其和小於 1，其積小於 \(\frac{2}{9}\) 的機率。

7. \(P(a,b)\) 在 \(x^{2}+y^{2}=5\) 上，求滿足 \(\log_{2}(b-a)-\log_{8}(3b-5a)=0\) 的所有點 \(P\)。

以上，題號序應該沒錯，而敘述也大概接近原本的文字，如有錯誤，還請指正

PS:感謝一起幫忙回憶的夥伴們^^

【註：weiye 於 2012/05/12, 17:10 加上師大附中公佈的參考答案檔案。】

附件: 101師大附中，答案.doc (2012-5-12 17:07, 49.5 KB) / 該附件被下載次數 16700
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1077&k=638775544652bf03d54d1b49591dae45&t=1714026619

附件: [學校公布的題目(只有填充題)] 101師大附中.zip (2012-5-13 17:27, 26.07 KB) / 該附件被下載次數 15212
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1085&k=b4a9ab12c008ef453ece4d15b9e423c6&t=1714026619

附件: [101.5.15 更新(修正填充1)] 101師大附中.pdf (2012-5-15 14:07, 362.88 KB) / 該附件被下載次數 17375
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1094&k=deb8e0155689cb1db3539ee24f1b9b31&t=1714026619
作者: shingjay176    時間: 2012-5-12 13:46     標題: 回復 1# tsusy 的帖子

計算題第一題
\(a>0,b>0\)，\(\theta\)為銳角，求\(\displaystyle \frac{a}{cos\theta}+\frac{b}{sin\theta}\)的最小值。
[解答]
用廣義的柯西不等式。
\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)
\(\displaystyle \left[\left(\root 3\of{\frac{a}{cos\theta}}\right)^3+\left(\root 3\of{\frac{b}{sin\theta}}\right)^3 \right]
\left[\left(\root 3\of{\frac{a}{cos\theta}}\right)^3+\left(\root 3\of{\frac{b}{sin\theta}}\right)^3 \right]
\left[(\root 3 \of{sin^2 \theta})^3+(\root 3 \of{cos^2 \theta})^3\right]\ge \left[\root 3 \of{a^2}+\root 3 \of{b^2}\right]^3\)
\(\displaystyle \left(\frac{a}{cos\theta}+\frac{b}{sin\theta}\right)^2\times 1\ge\left[\root 3\of {a^2}+\root 3\of {b^2}\right]^3\)
\(\displaystyle \frac{a}{cos\theta}+\frac{b}{sin\theta}\ge \left(\root 3 \of {a^2}+\root 3 \of {b^2}\right)^{\frac{3}{2}}\)
作者: tsusy    時間: 2012-5-12 13:55

想請教是填充 2 ，上面的計算題，只是趁現在還記得，先寫下來而已。

填充 2：\( \triangle ABC \) 中 \(\overline{AB}=12\), \( \overline{AC}=8 \), \( D \) 在 \( \triangle ABC \) 內部，且 \( \angle ABD =\angle ACD \), \( \angle ADB \) 是直角。 \( M \) 為 \( \overline{BC} \) 中點，求 \( \overline{DM} \)

感覺應該是用外接圓，對同弧，在沒做出來，那時候找了一個特例，不過敲鐘後，發現找的特到 \( D \) 在三角形外面...
作者: shingjay176    時間: 2012-5-12 16:39     標題: 回復 3# tsusy 的帖子

這題也是想超久，第二題就卡住了，繼續努力想看看了。
作者: shiauy    時間: 2012-5-12 17:51

6.
求兩小於 1 的正數，其和小於 1，其積小於\(\displaystyle \frac{2}{9}\)的機率。
[解答]
相當於求紅色部分的面積

最新一期的數學傳播「美國高中數學測驗AMC 12之機率問題(下)」
有探討機率問題，像這種就是以a,b所在的區域面積R為分母
分子為事件發生區域的面積

這一題分母的區域面積為1，故所求機率就是事件發生的區域面積

曲線部分為雙曲線xy=2/9在第一象限的部分
直線x+y=1與xy=2/9交會的面積為(1/6)-(2/9)ln2
所求面積=三角形-交會面積=(1/2)-[(1/6)-(2/9)ln2]=(1/3)+(2/9)ln2

圖片附件: MWSnap024 2012-05-12, 17_45_13.jpg (2012-5-12 17:51, 27.58 KB) / 該附件被下載次數 12180
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1078&k=07585606c6de4c40b5f9d2d0aa64a489&t=1714026619

作者: tsusy    時間: 2012-5-12 18:25     標題: 回復 4# shingjay176 的帖子

填充 2
設\(D\)為\(\Delta ABC\)內一點使得\(\angle ACD=\angle ABD\)，且\(\angle ADB=90^{\circ}\)，\(M\)為\(\overline{BC}\)的中點。已知\(\overline{AB}=12\)，\(\overline{AC}=8\)，則\(\overline{DM}=\)　　　。
[解答]
自問自答一下
做 \( \triangle ABD \) 的外接圓，其圓心為 \(E\)，將此圓對 \(\overline{AD}\) 作對稱。




以\( '\)表示之，則 \(D\) 為 \(\overline{BB'}\) 中點，又 M 為 \(\overline{BC}\) 中點，


而由 \( \angle ABD = \angle ACD \)，得 \(C\) 兩圓上，且不在 \(AD\) 劣弧上。再由 \(D\) 是內部點的條件，可知是右邊下方的 \( BD \)弧上
所以 \( \overline{DM}=\frac{1}{2}\overline{B'C}=\frac{1}{2}\sqrt{12^{2}-8^{2}}=2\sqrt{5} \)

圖片附件: pic1.png (2012-5-12 18:26, 41.46 KB) / 該附件被下載次數 13783
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1079&k=7e725a85b2cb6c518bcf0ad882708601&t=1714026619

作者: hua0127    時間: 2012-5-12 18:41

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-12 06:25 PM 發表
自問自答一下
第二題這樣做還真殺~真是漂亮

另外，自己整理了部分的計算題，也請大家指教一下
考了幾間，一直感覺還沒有抓到應有的節奏......

附件: 101 師大附中 計算題2,4,7.pdf (2012-5-12 18:41, 122.93 KB) / 該附件被下載次數 17532
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1080&k=bc3494d71be341c81783d895f9faebb6&t=1714026619
作者: Yichen    時間: 2012-5-12 19:37

我比較想要問填充三題目是不是給錯了啊？
已知∫f(x)  dx = k
       0→1
求
  ∫  dx ∫  f(x)f(y)dy
0→1         x→1
他的dx是不是應該要放到最後面去才是呢？
作者: tsusy    時間: 2012-5-12 20:14     標題: 回復 8# Yichen 的帖子

只是記號不同而已

那種寫法也是有人用
作者: Ellipse    時間: 2012-5-12 22:14

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-12 06:25 PM 發表
自問自答一下，填充 2  
精彩! 加一個讚!
作者: tsusy    時間: 2012-5-12 23:29

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-12 10:14 PM 發表


精彩! 加一個讚!
最近流行這句嗎？

其實是今天下午睡前想到的...只是很懶，醒來的時候才補上的

來補一下，前因後果好了：考場裡的時候，雖然沒做出來，但也弄了一個 "不合法" 的特殊化

那時候，把 \( C \) 點放在 \( B' \) 的正上方，然後令 \( \overline{BD} = \overline{AC} = 8 \)

\(ABDC\) 變成平行四邊形, \(M\) 是中心, \( \overline{DM} \) 是一半的高，得到一樣的式子

不過以上還沒結束...因為響鈴的時候，才發現 \( D \) 點跑出三角形外了

於是乎，在回程的路上，才仔細思索，想到了從外接圓著手

不過在路上，沒有紙筆畫圖，自然還看不出關係

於是又弄了一個特例，把 \( C \) 點沿著那個弧搬到 \( D \)

不要這個特例更犯規... 移動的過程，都符合題意的條件...但最後合在一起角度不見了

不過那時，姑且假設它是個不變量。所以 \(C\), \(D\) 重合  \( \triangle ADB\) 是直角三角形

\( \overline{DM} =\frac{1}{2} \overline{DB} \)，最後當然還是一樣的式子和答案

直到那個正當的做法，做出來後，才消出了怨念，才可以安心地入眠。
作者: dennisal2000    時間: 2012-5-13 00:24     標題: 回復 2# shingjay176 的帖子

不好意思~

想請問一下 計算第一題 為何算幾不等式不能用 或是 算出來不對呢?
作者: Ellipse    時間: 2012-5-13 00:25

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-12 11:29 PM 發表


最近流行這句嗎？

其實是今天下午睡前想到的...只是很懶，醒來的時候才補上的

來補一下，前因後果好了：考場裡的時候，雖然沒做出來，但也弄了一個 "不合法" 的特殊化

那時候，把 \( C \) 點放在 \( B' \) 的正上方，然後令 \(  ...
您就不用太有虧欠感啦(想不出來會不好睡喔?),這題在考試時會做出來的沒幾個吧?
更何況這週是母親節,還要舟車勞頓去考試,真是辛苦~
想當初我也跑到很遠地方去考試及服務(差點沒跑到離島去~)
不過最後還是幸運地考回自己的家鄉~
以上是題外話~
重點是要祝天下的母親:母親節快樂
如果各位可以的話,考回自己的家鄉
能夠就近照顧父母親,是最大的幸福~
教甄夥伴們加油ㄚ~
作者: Ellipse    時間: 2012-5-13 00:48

引用:
原帖由 dennisal2000 於 2012-5-13 12:24 AM 發表
不好意思~

想請問一下 計算第一題 為何算幾不等式不能用 或是 算出來不對呢?
恐怕直接用算幾,"等式"會不成立
但是可以有技巧的用算幾
令X=a/cosθ+b/sinθ ,Y=(cosθ)^2 +(sinθ)^2=1
(a/cosθ) /X   +  (a/cosθ) /X  +   (cosθ)^2/Y   >=   3 [a^2 /(X^2*Y) ] ^(1/3) ----------------(1)


(b/sinθ) /X    +  (b/sinθ) /X   +   (sinθ)^2/Y    >=  3 [b^2 /(X^2*Y) ] ^(1/3) ----------------(2)
(1)+(2)整理可得
X>= [a^(2/3)+ b^(2/3)]^(3/2)
以上的過程就是"廣義柯西不等式"的証明方式
作者: dennisal2000    時間: 2012-5-13 01:29     標題: 回復 14# Ellipse 的帖子

感謝橢圓大提供更多的資訊給我~

但我有想過是否為等號不成立問題  

  等號成立  =>    a/cosx = b/ sinx    且 a>0 b>0 x銳角

  則   tanx = b/a  ,  x 為銳角  無論 a,b為何 應都有 對應的角度x才對阿@@"

  想再問這個想法有哪裡有錯誤嗎??
作者: Ellipse    時間: 2012-5-13 10:45

引用:
原帖由 dennisal2000 於 2012-5-13 01:29 AM 發表
感謝橢圓大提供更多的資訊給我~

但我有想過是否為等號不成立問題  

  等號成立  =>    a/cosx = b/ sinx    且 a>0 b>0 x銳角

  則   tanx = b/a  ,  x 為銳角  無論 a,b為何 應都有 對應的角度x才對阿@@"

   ...
可是後面一定會用到(sinx)^2=(cosx)^2的條件
題目的a,b未定,這樣(sinx)^2不一定會等於(cosx)^2
作者: tsusy    時間: 2012-5-13 11:10     標題: 回復 12# dennisal2000 的帖子

個人不喜歡猜來猜去...雖然隱約可以猜中如何操作的。

有時候，其實會覺得這樣問題很奇怪，不過大概見怪不怪了。

學數學(定理)的時候，課本(定理) 總是告訴我們什麼對，在怎樣條件下會有什麼事。

如果要問：「為什麼不對？」那不如問「為什麼覺得對？」或是「那樣做有什麼是對的？」

數學本來就是這樣，對的事，須要理由和證明；不對的事，通常是不需理由的，當然也可以想想錯在哪裡，和反例。

記得某年 (7x) 的大學聯考題，就有這一題，只是 \( a,\, b\) 是給固定的數字 2 和 3

當年讀書的時候，它也被編去某參考書的題目裡...當時沒學過廣義柯西，自然做不出來

只是後來很無聊的，弄了一個柯西加疊合，讓兩個等號同時成立(記憶中，應該是這題)

回到問題，既然不知道您的過程...就來講一個胡說八道的例子，希望有所啟發、幫助

求：\( x \) 是實數， \( f(x) = x^2 +1 \) 的最小值。 大家都知道最小值是 1

\( x^2 \geq 0 \) 這是對的  \( 1 \geq 0 \) 這也是對的

所以 \( f(x) \geq  0+0 = 0 \) 也是對的。

以上都是對的，所以 \( f(x) \) 最小值是 \( 0 \)

如果以上邏輯都是對的，那仿此也可以胡說八道說，最小值是任意負數。

評曰：\( 0=0 \) 是對的，所以如果學生在考卷寫 \( 0=0 \)，不能打叉，要在 \( 0 = 0 \) 上面打勾，但是給它 \( 0 \) 分
(改自楊維哲語錄：很快樂的情形，得到 \( 0=0 \)，那你的分數就得零分嘛。)

以上，想通看懂後，再回去思考原問題吧
作者: lianger    時間: 2012-5-13 15:20     標題: 回復 1# tsusy 的帖子

計算題5.
求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\left[\frac{x}{n!}\right]=2012\)的所有正整數解。
[解答]
提供一下計算5的詳解，不知是否有更好的寫法，考試的時候好幾題都沒能仔細思考，可能被前面某幾題耽擱了不少時間。

圖片附件: 計算5.png (2012-5-13 15:20, 133.61 KB) / 該附件被下載次數 7058
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1084&k=d3075be331a4b2dae33cbac80c65c991&t=1714026619

作者: tsusy    時間: 2012-5-13 15:34     標題: 回復 18# lianger 的帖子

想按個讚~~做得比我漂亮多了

補充兩點小東西

1. 計算的時候，其實可以使用連除法，這樣在計算上，會比較方便，以下表格表示之


21172
3 586
4195
548
69
1

然後將第二行加起來 \( 1172+586+195+48+9+1 = 2011 \)


2. 關於唯一性：相信學長也注意到了，只是忘了說明為什麼而已

也許是太顯然、太簡單了： \( f(x) = \sum\limits_{n=1}^{10} [\frac{x}{n!}] \) 限制在整數上時是嚴格遞增函數

理由是每項都遞增而 \( [x] = x \) (在整數上) 是嚴格遞增，故 \( f(x) \) 限制在整數時是嚴格遞增函數
作者: lianger    時間: 2012-5-13 16:02     標題: 回復 19# tsusy 的帖子

感謝補充，連除法的確降低不少計算，唯一性也的確該敘述一 下比較完整。
作者: wayloon    時間: 2012-5-14 09:32

請問各位大大，填充4當斜率等於正負 \( \frac{\sqrt{10}}{2} \) 時，

我都只畫出一個交點，這是如何算出來的？
作者: tsusy    時間: 2012-5-14 09:39     標題: 回復 21# wayloon 的帖子

沒錯，你是對的

答案是開區間，其中一個端點是一個交點，

區間內，兩個，另一個端點變三個，

至於怎麼畫，就是注意雙曲線漸近線斜率
作者: wayloon    時間: 2012-5-14 09:48     標題: 回復 22# tsusy 的帖子

感謝寸絲大大，我看懂了。

眼殘啊~
作者: 老王    時間: 2012-5-14 15:33

計算
3.(2) 我想錯了，待我想想~~這樣吧
\(\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}-1=\frac{a_n^2-1}{a_n^2+1}<a_n-1 \)

\(\displaystyle  a_{n+1}-1=\frac{(a_n-1)^2}{2a_n}<\frac{1}{2}(a_n-1) \)

對啊，這收斂真的很快，所以應該很多作法吧~~要不然放大絕，把一般項算出來
\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{\displaystyle 3^{2^n}+1}{\displaystyle 3^{2^n}-1} \)

4.
\(\displaystyle B=A \left [\begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 1 & \cdots &1  \\
1 & 0 & 1 & \cdots & 1  \\
1 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\
\end {array} \right ]
\)


5.
\(\displaystyle 2012<x+\frac{x}{2}+\frac{x}{6}+\frac{x}{24}+\frac{x}{120}+\frac{x}{720}<2012+6 \)

7.
\(\displaystyle a^2+b^2=5 \)

\(\displaystyle (b-a)^3=3b-5a=\frac{1}{5}(a^2+b^2)(3b-5a) \)



101.1.1版主補充
計算3.
\( a_1=2 \)，\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n}) \)，for \( n \ge 1 \)。
(1)證明\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \)存在。

附件: 101師大附中計算第3題第1小題.zip (2013-1-1 06:50, 1.67 KB) / 該附件被下載次數 7693
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1490&k=63a9e65cb2a30a483c5581ac1548589f&t=1714026619
作者: tsusy    時間: 2012-5-14 15:51     標題: 回復 24# 老王 的帖子

小弟眼拙，看不出計算 3 \( \leq \frac{1}{2} a_n \) 這個估計有何用處

而  \( a_n \to 1 \)  ，所以...??

小弟是當時做的時候，是去估計 \( a_{n+1}^2 - 1 \) 和 \( a_n^2 - 1 \) 的關係(差幾倍)

計算 5. 真是簡潔有力的秒殺~~讚~!!

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計算 3 (2) 小弟做的估計式是  \( a_{n+1}^2 - 1 \leq \frac{1}{2} (a_n^2 - 1) \)

不過過程醜多了，今天靈感突然來，又有新招 \( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 =\frac{a_n - a_{n+1}}{a_{n+1}} \leq a_n - a_{n+1} \)

右邊的和相消得 \( a_1 -1 =1 \)，而左邊每項皆正，故其和收斂。

另外，其是這題的本質應該是牛頓法解 \( x^2 - 1 =0 \)

所以其中 \( a_{n+1} -1 = O((a_n -1 )^2) \) ，收斂超快的
---------------------------------------------------------------------------------------------------------


原來這種分式的遞迴也有一般式可求，今日又受教了...


來去翻一下小黃看看(高中數學競賽教程)
作者: mathblue    時間: 2012-5-15 19:46

3(2).分享一下當初朋友來問我,想到的一個作法:
由第一小題知\(<a_n>\)為遞減數列且極限存在，又
\[
\Sigma_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n(\frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n})\le \Sigma_{n=1}^{\infty}a_1(\frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n})
=1
\]
不難看出收斂性.其實中間可以省掉估計,由Abel's test 可以立即得到結果
作者: tsusy    時間: 2012-5-16 07:48     標題: 回復 17# tsusy 的帖子

計算 1. 來回憶一下當年的作法

\( \phi \) 銳角，待定， \( \cos(\theta - \phi) = \cos\theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi \)

由 \( \cos(\theta - \phi) \leq 1  \) 和柯西不等式得

\(\displaystyle  \frac{a}{\cos \theta} +\frac{b}{\sin \theta} \geq \left( \frac{a}{\cos \theta} +\frac{b}{\sin \theta} \right) \cos(\theta -\phi) \geq (\sqrt{a \cos \phi} + \sqrt{b \sin \phi})^2 \)

而當  \(\displaystyle\Large \theta = \phi =\cos^{-1}\sqrt{\frac{a^\frac23}{a^\frac23+b^\frac23}} \) 時，使兩不等號式皆為等號
作者: vicki8210    時間: 2012-5-16 08:37     標題: 請問

請問填充第六題怎麼旋轉？
其實光是敘述就不是太懂@@"

謝謝^^
作者: tsusy    時間: 2012-5-16 09:06     標題: 回復 28# vicki8210 的帖子

請參考橢圓老師在美夢成真的回覆

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2803&sid=882f7ccf530d3c0f3e188c918bc486d8#p7514
題外話...原先的檔案小弟不小心手殘...填充 1 打錯數據

感謝橢圓兄和其它網友提醒，已在前天 5.15 修正
作者: 阿光    時間: 2012-5-17 21:28

想請教填充第3&6題,另外想請教填充第4題為什麼
算不出所附的答案,謝謝
作者: tsusy    時間: 2012-5-17 21:36     標題: 回復 30# 阿光 的帖子

填充 6. 請看 100 桃園新進 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1149&page=1#pid3654

填充 3. 法 1. 可以令 \( F(x) = \int_0^x f(t)dt \), 然後可以去掉一個積分，再做變數代換 \( t = F(x),\, dt =f(x)dx \)

法 2. 或是函數、積分區域是對稱的，把它沿著 \( x=y \) 翻過去，兩塊加起再除 2 也可以

\( G(x,y)=f(x)f(y) \)，這個函數相對於 \( x=y \) 是對稱...把三角形翻過去，兩塊加起是正方形
填充 4. 不知道您怎麼做...所以不知道問題有哪
作者: Yichen    時間: 2012-5-17 22:56

填充6.請教同事之後有一個方法，放上來跟大家分享一下
請參閱附件
101師大附中填充6.pdf (132.2 KB) ------------------------------------------
阿哩~突然發現我方向搞錯邊了
這樣變成順時鐘轉120度
請各位看官自行倒轉過來>"<
------------------------------------------
逆時鐘轉的我修正過來了，請看下面的附件
101師大附中填充6.pdf (159.79 KB)

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作者: 阿光    時間: 2012-5-18 20:20

小弟資質努鈍,填充第3題還是不太了解,
是否能請tsusy大師能解釋的更清楚一些
,謝謝
作者: casanova    時間: 2012-5-21 21:26

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-14 03:51 PM 發表
小弟眼拙，看不出計算 3 \( \leq \frac{1}{2} a_n \) 這個估計有何用處

而  \( a_n \to 1 \)  ，所以...??

小弟是當時做的時候，是去估計 \( a_{n+1}^2 - 1 \) 和 \( a_n^2 - 1 \) 的關係(差幾倍)

計算 5. 真是簡潔有力 ...
請問寸絲大大：

「另外，其實這題的本質應該是牛頓法解 \( x^2 - 1 =0 \)

   所以其中 \( a_{n+1} -1 = O((a_n -1 )^2) \) ，收斂超快的」

為什麼 \( a_{n+1} -1 = O((a_n -1 )^2) \) 呢？
又，怎麼看出收斂超快的呢？
沒大大那麼厲害，可以請您解說一下嗎？
作者: tsusy    時間: 2012-5-21 21:48     標題: 回復 34# casanova 的帖子

大大二字，在下可擔不起

牛頓法，應該不陌生吧...以前，即便是高三理組，也可能學過

大學的數值分析之類的課，基本上都會教到

至於證明，就是用 Taylor 定理，寫一寫而已，

不對...用 Taylor 定理算是殺雞牛刀，罪過罪過

這個迭代，比較基本 (Elementary) ，直接寫下來算一算就好了

\( a_{n+1}-1=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}-2)=\frac{1}{2}\frac{a_{n}^{2}-2a_{n}+1}{a_{n}}=\frac{1}{2}\frac{(a_{n}-1)^{2}}{a_{n}} \)

所以得 \( a_{n+1} =\frac{1}{2a_n} \cdot (a_n - 1)^2 \)

題外話，如果要的根是重根，或者說 \( f(a)=0 \) 且 \( f'(a) = 0 \) 其中 \( f(x)=0 \) 是欲解之方程式

牛頓法的收斂就會變慢，此時 \( a_{n+1} -1 = O(1-a_n) \), 當然這時候還是有辦法處理，有興趣就去翻數值分析之類的書或 Google 吧

註：其實，上面那些符號，應該掛一下絕對值比較好
作者: 阿光    時間: 2012-5-22 08:49

想再請教填充第3題和第1題有無較快的作法,謝謝
作者: tsusy    時間: 2012-5-22 19:42     標題: 回復 36# 阿光 的帖子

有

填充 1. 實際上那兩條不是歪斜線，而是相交於一點，由交點和 P 點即可以對稱比例式

填充 3. 不正當的作法：令 \( f(x) =k \)  常數函數，則得答案為 \( \frac{k^2}{2} \)

以上方法雖然快，但是只能說是取巧而已，遇到其它題目，大概就不行了。

不知道以上，是不是你想要的？
作者: 阿光    時間: 2012-5-22 19:58

謝謝tsusy,我終於看懂了
作者: tsusy    時間: 2012-5-27 18:35

放在抽屜裡有點久的東西
附檔是一些想法和略解

致於詳解...人有點懶，就算了

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作者: shingjay176    時間: 2012-5-28 15:41

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-27 06:35 PM 發表
放在抽屜裡有點久的東西
附檔是一些想法和略解

致於詳解...人有點懶，就算了
填充題第五題怎麼思考切入的。
作者: Ellipse    時間: 2012-5-28 15:46

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-28 03:41 PM 發表


填充題第五題怎麼思考切入的。
最基本的東西就是最重要的~

若在考試時只想到有把握的方法

那這題我只用"除法原理"來做

您在想想看,今天小弟的課比較多

若還有問題再po
作者: shingjay176    時間: 2012-5-28 20:28

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-28 03:46 PM 發表


最基本的東西就是最重要的~

若在考試時只想到有把握的方法

那這題我只用"除法原理"來做

您在想想看,今天小弟的課比較多

若還有問題再po
謝謝，考了那麼多所，只有武陵高中比較接近複試，一分之隔，天差地遠。剛看了武陵高中的最後成績。有三個複試缺考，如果像中壢高中那樣有遞補的規則。今天我也可以去試看看第二階段的感覺。其他學校都差太遠了。中和考場，冷氣轟轟的聲音。一煩躁下去，時間壓力。根本無法思考。中壢高中雖然無冷氣作怪。但時間壓力真的是好可怕。不容許有半點差池。會寫的一定要拿到分數。只有繼續訂正考卷努力了。
我會來思考看看『除法原理』。感謝囉。解問題，就是要抓住那一瞬間的思考脈絡。
對了，我也是從除法原理思考。但找到的答案不是最小值的解勒。找到四位數去了。
作者: shingjay176    時間: 2012-5-28 23:16

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-28 08:28 PM 發表

謝謝，考了那麼多所，只有武陵高中比較接近複試，一分之隔，天差地遠。剛看了武陵高中的最後成績。有三個複試缺考，如果像中壢高中那樣有遞補的規則。今天我也可以去試看看第二階段的感覺。其他學校都差太遠了。中和考場，冷氣 ...
剛想出來了，
令X=10a+1
      =10(7b+c)+1
     =70b+10c+1  令c=6時
     =70b+61
滿足 2,5,7的最小數為61,之後一個個試，當b=7時
X=551即是符合所求的最小正整數
作者: 沙士    時間: 2012-5-28 23:16     標題: 回復 42# shingjay176 的帖子

填充5那一題考試當下，我只先列幾個數試試看@@就發現不難做了
當x=11時，剛好mod 2，mod 3，mod 5，mod 9皆符合條件
所以x=11+[2,3,5,9]*a=11+90a
所以x≡4-a (mod 7)
依題意4-a≡5 (mod 7)
∴a≡-1≡6 (mod 7)，故取a=6時最小，此時x=11+90*6=551


101.6.23版主補充
若a是下列同餘方程組\( \cases{x \equiv 1(mod 2) \cr x \equiv 2(mod 3) \cr x \equiv 1(mod 5) \cr x \equiv 5(mod 7) \cr x \equiv 2(mod 9)} \)的最小正整數，則\( a= \)？

已知自然數n除以7餘3，n除以13餘8，n除以19餘13，則n之最小値為\( \displaystyle \frac{7 \times 13 \times 19 \times 5-17}{6} \)，
(1)試說明或分析此推論的道理；
(2)並從而尋求滿足「m除以11餘9，m除以13餘8，m除以15餘7，m除以17餘6，m除以19餘5」五條件之最小自然數m。
(將此m之值以仿如n値之算式表示，不要乘開)
(建中通訊解題第80期)
作者: shingjay176    時間: 2012-5-28 23:21

引用:
原帖由 沙士 於 2012-5-28 11:16 PM 發表
填充5那一題考試當下，我只先列幾個數試試看@@就發現不難做了
當x=11時，剛好mod 2，mod 3，mod 5，mod 9皆符合條件
所以x=11+[2,3,5,9]*a=11+90a
所以x≡4-a (mod 7)
依題意4-a≡5 (mod 7)
∴a≡-1≡6 (mod 7)，故取a=6時最小，此 ...
好多時候都是因為時間壓力，會做的題目，沒有先做。變成最後把自己逼入死胡同。走不出去，亂了步調。剛剛也才試驗出來答案。
作者: shingjay176    時間: 2012-5-29 12:42

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-16 09:06 AM 發表
請參考橢圓老師在美夢成真的回覆

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2803&sid=882f7ccf530d3c0f3e188c918bc486d8#p7514
題外話...原先的檔案小弟不小心手殘...填充 1 打錯數據

感謝橢圓兄和 ...
我有看懂橢圓老師的回覆，也算了一次。最後算出a=3,b=-1,c=-2,這組不是答案，因為這組是順時針旋轉120度的，要怎麼決定這個答案不合。還是要畫圖看，那圖要畫到很準確勒
作者: fortheone    時間: 2012-6-12 23:28

計算五
提供另一種解法

如果x以a!代入，則每一項都會整除
所以從階乘的數去試看看
令代入後得到的值是S

如果
x=1!, S=1
x=2!, S=2+1=3
x=3!, S=3*2+3+1=10
x=4!, S=4*3*2+4*3+4+1=41
x=5!, S=206
x=6!, S=1237
x=7!, S超過2012

由上面列值可以知道
若x=6!+5!, S=1237+206=1443
其餘組合依此類推
(原因是整除)

我們先試著帶入x=6!，得到1237
2012-1237=775，還差775
多一個5!值會多206
多3個5!值會多618, 775-618=157


再來多3個4!，值會多出123
157-123=34
多3個3!，值會多出30
34-30=4
再來多一個2!，值還差1
最後再補一個1!

所以 x=6!+3*5!+3*4!+3*3!+2!+1!=1173

因為式子中有 [x/1!] 這一項
x如果帶入的值差1
得到的S值就至少差1
所以答案是唯一的

算起來比較慢一點
作者: fredslong    時間: 2013-6-22 14:56     標題: 回復 26# mathblue 的帖子

最後等於1  感覺有些矛盾

就級數和來說必定大於零沒有問題
但在不等式右邊來看
利用裂項相消最後剩下的不是應該為  - 1/ a_1
則其級數和將變成  -1
產生矛盾點~
不知道哪邊出錯了.....
作者: tsusy    時間: 2013-6-22 20:48     標題: 回復 48# fredslong 的帖子

被習慣的直覺欺騙了，以為末項收至 0，至實際上 \( \frac{1}{a_n} \) 不是收斂到 0，而是收斂到 1。

把有限項算出來是  \( a_1 \cdot (\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_1}) \to 2\cdot(1-\frac12) = 1 \)
作者: fredslong    時間: 2013-6-23 14:06     標題: 回復 49# tsusy 的帖子

原來如此  謝謝寸絲老師~
作者: jmath2021    時間: 2022-2-10 22:20     標題: 國三數學

請教一個國三 據稱是圓這個單元的問題
D是三角形ABC內部一點
角ABD=角ACD
角ADB=90度
AB=12,AC=8
M是BC中點 求DM長度=
多謝
作者: satsuki931000    時間: 2022-2-11 08:30

101師大附中有考過

參考寸絲老師的神解
https://math.pro/db/thread-1355-1-3.html
作者: jmath2021    時間: 2022-2-11 09:20

多謝



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