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標題: 2012AMC10 [打印本頁]

作者: Joy091 時間: 2012-2-14 11:44 標題: 2012AMC10

其中23題把項圈排列應用在網路連結上，頗有新意!

23.
a,b,c,d,e,f 六人都有網路帳號，他們之中有一些人(但不是全部)彼此是網路上的朋友，且他們除了這群人以外都沒有其他的網路朋友。如果每一個人都有一樣多個網路朋友，則總共有多少不同的組成方式?

假設每人都恰有 k 位朋友的組成方式有 f(k) 種

則
f(1)=\(\displaystyle \frac{C^6_2C^4_2C^2_2}{3!}=15\)

f(2)=\(\displaystyle \frac{6!}{6\times2}+\frac{C^6_3C^3_3}{2!}=60+10=70\)

f(3)=f(2)=70

f(4)=f(1)=15

所求=15+70+70+15=170

101.2.25版主補充
將題目重新打字，若網友還有剩下題目的照片檔
可以將照片上傳至http://imgur.com/後再發訊息給我
讓這份試題更加完整

101.4.22版主補充
感謝Joy091提供完整題目，我已將題目重新打字
請重新下載2012AMC10.rar

附件: 2012AMC10部分試題與解答.pdf (2012-2-14 11:44, 354.98 KB) / 該附件被下載次數 15237
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附件: 2012AMC10A (完整試題).pdf (2012-4-18 14:20, 1.88 MB) / 該附件被下載次數 26863
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作者: 沙士 時間: 2012-2-16 22:54 標題: 回復 1# Joy091 的帖子

請問附件中的第25題該數何解？？

作者: weiye 時間: 2012-2-17 08:56 標題: 回復 2# 沙士的帖子

第25題

先看兩個變數 \(x,y\)，

滿足 \(x,y\) 都在 \([0,n]\) 區間，且 \(|x-y|\geq 1\) 的點 \((x,y)\) 所在區域圖形～如附件中上方圖的陰影區域，

此兩個三角形的陰影區域可以拼成一個邊長為 \(n-1\) 的正方形。

再來看空間中，滿足 \(x,y,z\) 都在 \([0,n]\) 區間，且 \(|x-y|\geq 1, |y-z|\geq1, |z-x|\geq1\) 的點 \((x,y,z)\) 所在區域又是在哪裡呢？

先畫一個邊長為 \(n\)，其中一個頂點放在原點、與原點相交的三條稜線緊貼 \(x,y,z\)軸的正立方體，

扣掉 \(x-y=1, x-y=-1\) 兩平面所圍的區域，

再扣掉 \(x-z=1, x-z=-1\) 兩平面所圍的區域，

再扣掉 \(z-y=1, z-y=-1\) 兩平面所圍的區域，

剩下的部分可以拼成一個邊長為 \((n-2)^3\) 的正立方體。

（如附件中的右下方的圖）

因此，在已知 \(x,y,z\) 都在 \([0,n]\) 區間的條件下，

任取三數 \(x,y,z\) 都會滿足 \(|x-y|\geq 1, |y-z|\geq1, |z-x|\geq1\) 的機率為 \(\displaystyle \frac{\left(n-2\right)^3}{n^3}\)

依題意，\(\displaystyle \frac{\left(n-2\right)^3}{n^3}>\frac{1}{2}\Leftrightarrow n^3-12n^2+24-16>0\)

令 \(f(n)=n^3-12n^2+24-16\)，檢查可得 \(f(1)<0,\, \cdots,\, f(7)<0,\, f(8)<0,\, f(9)<0,\, f(10)>0\)

因此，滿足 \(f(n)>0\) 的最小正整數為 \(10\)

圖片附件: IMAG0268.jpg (2012-2-17 09:18, 171.19 KB) / 該附件被下載次數 8913
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作者: Ellipse 時間: 2012-2-17 20:22

weiye老師實在是太用心了
給你按個讚!

作者: bugmens 時間: 2012-2-19 21:31

weiye有些地方寫錯了，\( x-y=-1 \)，\( x-y=1 \)，\( (n-2)^3 \)等
我將立體圖做成動畫，能看出為什麼重新組合後會是個立方體

附上中英文題目，讓更多網友也能搜尋到這篇
從區間[0,n]中隨意取出三個實數x, y及z, 其中n為某正整數。若x, y, z中沒有兩數之差的絕對值小於1的機率大於\( \displaystyle \frac{1}{2} \)，則n的最小值為何？
(A)7　(B)8　(C)9　(D)10　(E)11　

Real numbers x,y, and z are chosen independently and at random from the interval [0,n] for some positive integer n. The probability that no two of x,y and z are within 1 unit of each other is greater than \( \displaystyle \frac{1}{2} \). What is the smallest possible value of n?
(A)7　(B)8　(C)9　(D)10　(E)11

Art of Problem Solving: 2012 AMC 10 A #25
http://www.youtube.com/watch?v=HOtyh9qycrI

圖片附件: 2012AMC10Problem25.gif (2012-2-19 21:31, 139.5 KB) / 該附件被下載次數 10058
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附件: 2012AMC10Problem25.rar (2012-2-19 21:31, 167.44 KB) / 該附件被下載次數 13340
https://math.pro/db/attachment.php?aid=941&k=abda964b9c6f8b40fb2504b98828d1a5&t=1732234029

作者: weiye 時間: 2012-2-19 22:09 標題: 回復 5# bugmens 的帖子

哈哈～對耶，打太快都沒注意到自己很多小筆誤～已修正～感謝！：Ｐ

作者: 沙士 時間: 2012-2-19 23:18

謝謝樓上的各位老師解惑~~~orz

作者: kaline 時間: 2013-5-5 00:21

可以請教一下第20題嗎?

作者: tsusy 時間: 2013-5-5 09:22 標題: 回復 8# kaline 的帖子

20題. 考慮以下四種情況
黑→白，結果：黑
黑→黑，結果：黑
白→黑，結果：黑
白→白，結果：白

中心的上下左右，依順時針或逆時針環排，只要沒有兩白相鄰，經過那樣的操作就是變成四個全黑；但只要兩白相鄰，經過操作後，至少還一個是白的

四個角落亦同。

4黑 + 3黑1白+ 2黑2白，並且白色錯開的機率為 \( \frac{1+4+2}{16} = \frac{7}{16} \)

故所求為 \( (\frac{7}{16})^2\cdot\frac12 = \frac{49}{512} \)

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