標題: a,b正整數，500<a<1000，100<b<1000，loga尾數是logb尾數3倍 [打印本頁]

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作者: thankyou    時間: 2012-1-6 22:59     標題: a,b正整數，500<a<1000，100<b<1000，loga尾數是logb尾數3倍

請教一題對數題目,謝謝!!

a,b為正整數，\( 500<a<1000 \)，\( 100<b<1000 \)，\( log a \)的尾數是\( log b \)的尾數的3倍，求a與b？

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作者: weiye    時間: 2012-1-7 10:26     標題: 回復 1# thankyou 的帖子

題目： \(a,b\) 為正整數，\(500<a<1000\)，\(100<b<1000\)， \(\log a\) 的尾數是 \(\log b\) 的尾數的 \(3\) 倍，求 \(a\) 與 \(b\)？

解答：

　　\(500<a<1000 \Rightarrow 3-\log2<\log a<3\)

　　\(100<b<1000 \Rightarrow 2<\log b<3\)

　　令 \(\log b = 2+x\)，其中 \(0<x<1\)

　　則 \(\log a = 2+3x\) 且滿足 \(0<3x<1\)

　　利用上兩式消去尾數，

　　可得 \(3 \log b - \log a = 4\)

　　\(\Rightarrow\displaystyle \frac{b^3}{a} = 10^4\)

　　\(\Rightarrow b^3 = a\times 2^4\times 5^4\)

　　因為 \(a, b\) 皆為正整數

　　可令 \(a= 2^2\times 5^2\times k\)，其中 \(k\) 為完全立方數

　　且因為 \(500<a<1000\)，所以 \(a= 800\)

　　\(\Rightarrow b=\sqrt[3]{8\times 10^6} = 200\)

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