標題: 求級數，1^2+3^2+5^2+.......+(n-1)^2=? [打印本頁]

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作者: arend    時間: 2011-11-4 18:02     標題: 求級數，1^2+3^2+5^2+.......+(n-1)^2=?

請叫一個級數問題
1^2+3^2+5^2+.......+(n-1)^2
和的公式

謝謝

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作者: yangyang314159    時間: 2011-11-5 10:16

上式的最後一項該是(2n-1)^2吧
sigma(k=1,n)(2k-1)^2=sigma(k=1,n)(4k^2-4k+1)=...

[ 本帖最後由 yangyang314159 於 2011-11-5 11:14 AM 編輯 ]

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作者: arend    時間: 2011-11-5 18:29

謝謝
我看到這個以為從1^2+2^2+...+n^2去推導的
哈

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作者: tsusy    時間: 2011-11-6 10:10     標題: 回復 3# arend 的帖子

可從它推導也可以

只要把奇數項，看成全部減去偶數項就可以了

而偶數項，提出 4 後，又變成長的一樣的級數了

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作者: arend    時間: 2011-11-6 22:46

tsusy老師
謝謝你的提示

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作者: tsusy    時間: 2011-11-13 20:16

這種玩法，其實本來是拿來玩無窮級數…
以前大學時代學複變函數時，在玩的，例子如下：

\( \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\Rightarrow\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{24}\Rightarrow\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{12} \)。

\( \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}}{90}\Rightarrow\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{4}}=\frac{\pi^{4}}{1440}\Rightarrow\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{4}}=\frac{7\pi^{4}}{720} \)。

\( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{6}}=\frac{\pi^{6}}{945} \)。

只記到六方而已，八方以上的請找 Wolframe Alpha

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