標題: 2004 大陸競賽 [打印本頁]

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作者: diow    時間: 2011-8-23 04:14     標題: 2004 大陸競賽

1/   x ,y ,z 為實數 , 滿足 x+y+z=5 及 xy+yz+zx=3  求 z的最大值 ?    <答: 3分之13>
                                                                            a                b              c                3根號3
2/  a>0,b>0,c>0 且 a^2  + b^2  + c^2 = 1  證明: ---------  +  --------- + ---------  >=    ------------
                                                                          1-a^2         1-b^2        1-c^2                2

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作者: bugmens    時間: 2011-8-23 07:48

1.
到google用"x+y+z=5 xy+yz+zx=3"當關鍵字搜尋有一堆答案

2.
\( a>0,b>0,c>0 \)且\( a^2+b^2+c^2=1 \)證明：\( \displaystyle \frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\ge \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
[證明]
令\( a^2=x \)，\( b^2=y \)，\( c^2=z \)
題目改成\( 0<x,y,z<1 \)且\( x+y+z=1 \)證明\( \displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1-x}+\frac{\sqrt{y}}{1-y}+\frac{\sqrt{z}}{1-z}\ge \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)

利用切線法(都問大陸的問題了，這是什麼你應該知道，假如不知道請自行google)
\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{1-x} \)，過點\( \displaystyle (\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}}{2}) \)的切線斜率為\( \displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)，切線方程式為\( \displaystyle y=\frac{3 \sqrt{3}}{2}x \)

可證明\( \displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1-x}\ge \frac{3 \sqrt{3}}{2}x \)
(這個留給你作)

\( \displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1-x}+\frac{\sqrt{y}}{1-y}+\frac{\sqrt{z}}{1-z}\ge \frac{3 \sqrt{3}}{2}(x+y+z) \ge \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)

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作者: diow    時間: 2011-8-23 11:35     標題: 感謝 您 ! bugmens 老師

小弟 ,近來 都在算大陸國高中試題
麻煩大家,不吝指導 !  真是 <揪....感心>  
程度不好 , 請  各位 大大 見諒 了

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