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標題: 請教一題機率 [打印本頁]

作者: marina90 時間: 2011-8-18 20:51 標題: 請教一題機率

設一圓周之六個等分點.按順時針順序依序記為A~F.開始時..石子放在出發點A..投擲一骰子..若擲出偶數點..則石子順時針前進兩個位置..出現奇數點..前近一個位置..若石子回到A點則遊戲結束...請教石子恰繞該圓二周..遊戲結束之機率..答案441/2048..
我算出來不是這答案..但又不知道錯在哪裡..請教教我~ 感謝^_^
我的做法如下:
2x+y=12
(x,y)=(6,0),(5,2),(4,4),(3,6),(2,8),(1,10),(0,12)
so, \( \displaystyle (\frac{1}{2})^6 + (\frac{1}{2})^7 \times \frac{7!}{2!5!}+(\frac{1}{2})^8 \times \frac{8!}{4!4!}+(\frac{1}{2})^9 \times \frac{9!}{6!3!}+(\frac{1}{2})^{10} \times \frac{10!}{8!2!}+(\frac{1}{2})^{11} \times \frac{11!}{10!1!}+(\frac{1}{2})^{12}
\)

作者: weiye 時間: 2011-8-18 23:44 標題: 回復 1# marina90 的帖子

要扣掉第一圈就踩到 \(A\) 點導致遊戲結束的情況。

作者: marina90 時間: 2011-8-19 15:36

感謝提醒.....仿照我原本的方法用討論的..細心點慢慢做...我做出來了
不過不知道有沒有比較快的方法??

作者: Joy091 時間: 2011-8-19 18:48 標題: 回復 3# marina90 的帖子

我的解法 : (直接算)

首先，算 A 到 F 共 5 步，假設 2 步 \(x\) 次，1步 \(y\) 次
則有 \(2x+y=5\) ， \( \displaystyle P_1=(\frac{1}{2})^5+(\frac{1}{2})^4\times\frac{4!}{3!}+(\frac{1}{2})^3\times\frac{3!}{2!}=\frac{21}{32}\)

再來，F 到 B 共2 步，但一定要跳 2 步，\( \displaystyle P_2=\frac{1}{2}\)

最後，B 到 A 共 5 步，\( \displaystyle P_3=P_1=\frac{21}{32}\)

所求 \( \displaystyle =P_1\times P_2\times P_3=\frac{21}{32}\times\frac{1}{2}\times\frac{21}{32}=\frac{441}{2048}\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-19 06:55 PM 編輯 ]

作者: marina90 時間: 2011-8-20 15:41

謝謝...你的方法真是快又方便阿~~受教了~~

可以再請教2題嗎..感謝~

1.甲贏乙的機會2/3..乙贏甲的機會1/3.今輸的給贏的一元..且甲乙分別有8元..6元..求甲輸光的機率?ANS:3/11
2.想請教下列這聯立方程組.除了直接算.有沒有較快的方法..
(1-x)(1-y)(1-z)=4/15
x(1-y)(1-z)+y(1-x)(1-z)+z(1-x)(1-y)=7/15
(1-x)yz+(1-y)xz+(1-z)xy=7/30

x<y<z...
ANS:x=1/5,y=1/3,z=1/2

[ 本帖最後由 marina90 於 2011-8-20 03:54 PM 編輯 ]

作者: money 時間: 2011-8-20 18:23 標題: 回復 5# marina90 的帖子

我這樣算不知是否有誤(請版上高手賜教)
如果這個遊戲玩到有人輸光為止
則甲輸光的機率:乙輸光的機率=(1/3)*6: (2/3)*8=3:8
所以甲輸光的機率為3/11

作者: money 時間: 2011-8-20 18:56 標題: 回復 5# marina90 的帖子

第2題可以用文氏圖來做
假設甲乙丙三人投籃命中率分別為x,y,z 三人是否命中為獨立事件
則第一式為沒人命中之機率
第二式為恰一人命中之機率
第三式為恰兩人命中之機率
如此可算出三人均命中之機率xyz= 1/30
接下來應該就比較好算了

作者: Joy091 時間: 2011-8-22 12:47 標題: 回復 5# marina90 的帖子

1.甲贏乙的機會2/3..乙贏甲的機會1/3.今輸的給贏的一元..且甲乙分別有8元..6元..求甲輸光的機率?

用電腦模擬的結果，甲輸光的可能性微乎其微 : \(\displaystyle 0.00385\approx \frac{21}{5461}\)

使用 R 軟體的參考指令:

n=10000; left=-8; right=6; p=2/3
z=rep(0,n)
for(i in 1:n) {
repeat{
if(z[i]==left | z[i]==right) break
z[i]=z[i]+sample(c(1,-1),1,prob=c(p,1-p))
}
if(z[i]==left) z[i]=0
else{z[i]=1}
}
1-mean(z)

其中 n 代表賭局的結束次數。大小可以視電腦運算速度自行調整，n 愈大愈接近真正的機率。

自由軟體 R 的使用可參考:
https://math.pro/db/thread-51-1-1.html

[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-22 01:04 PM 編輯 [/i]]

作者: 老王 時間: 2011-8-22 20:57 標題: 回復 5# marina90 的帖子

1
很典型的醉步問題
假設甲有n元時，全部輸光的機率為\( p_n \)
以及 \( p_0=1，p_{14}=0 \)
那麼會有遞迴關係
\(\displaystyle p_n=\frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}p_{n+1} \)
\(\displaystyle p_{n+1}-p_n=\frac{1}{2}(p_n-p_{n-1}) \)
\(\displaystyle p_n=p_0+c \times 2(1-\frac{1}{2^n}) \)
代入條件解得
\(\displaystyle p_8=\frac{2^6-1}{2^{14}-1}=\frac{63}{16383}=\frac{21}{5461} \)

[ 本帖最後由老王於 2011-8-22 09:45 PM 編輯 ]

作者: marina90 時間: 2011-8-22 20:58 標題: 回復 8# Joy091 的帖子

哈.很特別唷..用R來估計~~
不過money老師的算法..感覺起來應該不太對..因為我有另外一個類似題目..仿照money老師作法做出來答案不對...
甲有m元..乙n元..兩人丟一枚公正銅板決定勝負...每丟一次若是出現正面..甲給乙1元...否則以給甲1元...求乙輸光的機率...答案是\( \frac{m}{m+n} \)

作者: money 時間: 2011-8-23 10:09 標題: 回復 9# 老王的帖子

哈
勝率這麼高且本錢較多
輸光的機率應該不大
我是從答案倒推算式(果然算錯啦)
遞迴的用處實在是廣泛
感謝老王老師賜教

作者: marina90 時間: 2011-8-23 20:25

想請教老王老師...\(\displaystyle p_n=p_0+c \times 2(1-\frac{1}{2^n}) \)
這行是如何得到的..謝謝~

作者: 老王 時間: 2011-8-23 22:51

引用:

原帖由 marina90 於 2011-8-23 08:25 PM 發表
想請教老王老師...\(\displaystyle p_n=p_0+c \times 2(1-\frac{1}{2^n}) \)
這行是如何得到的..謝謝~

這樣寫會不會容易懂些??
\(\displaystyle p_n=p_0+c \times \frac{(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}} \)
c是未知的首項

作者: marina90 時間: 2011-8-24 09:40

老王老師:我導出來的式子跟你不太一樣ㄟ...可以給我指點迷津嗎~感謝~

\( \displaystyle  p_2-p_1=\frac{1}{2}(p_1-p_0) \)
\( \displaystyle  p_3-p_2=(\frac{1}{2})^2(p_1-p_0)  \)
\( \displaystyle  \vdots  \)
\( \displaystyle  p_n-p_{n-1}=(\frac{1}{2})^{n-1}(p_1-p_0)  \)
全部相加得到
\( \displaystyle p_n-p_1=[1-(\frac{1}{2})^{n-1}](p_1-p_0) \)
另外
代入條件 \(\displaystyle p_{14}=0 \)
並沒有辦法解出c阿???

[ 本帖最後由 marina90 於 2011-8-24 09:54 AM 編輯 ]

作者: 老王 時間: 2011-8-24 10:32 標題: 回復 14# marina90 的帖子

你這樣子因為不知道p_1是多少，無法解出；
令\( p_1-p_0=c \)再去解

作者: marina90 時間: 2011-8-24 11:13

感謝老王老師...讓我恍然大悟阿~~~謝謝~

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