標題: 請問兩題有關三角函數的問題。 [打印本頁]

---

作者: PeiPie    時間: 2011-8-9 16:19     標題: 請問兩題有關三角函數的問題。

1.在三角形ABC中，若b^2*sin^2C-c^2*cos^2B=2bc*cosB*cosC，求三角形ABC的形狀為何？
2.圓內接四邊形ABCD中，AB=12，BC=5，AC=13，角BAD=60度，則BD=？AD=？
請各位老師幫忙解答，謝謝！

---

作者: weiye    時間: 2011-8-9 20:34

引用:

原帖由 PeiPie 於 2011-8-9 04:19 PM 發表
1.在三角形ABC中，若b^2*sin^2C-c^2*cos^2B=2bc*cosB*cosC，求三角形ABC的形狀為何？

\(b^2\sin^2C-c^2\cos^2B=2bc\cos B\cos C\)

\(\Rightarrow b^2(1-\cos^2C)+c^2\cos^2B=2bc\cos B\cos C\)

\(\Rightarrow b^2=b^2\cos^2C+2bc\cos B\cos C+c^2\cos^2B\)

\(\Rightarrow b^2=(b\cos C+c\cos B)^2\)

\(\Rightarrow b^2=a^2\)

\(\Rightarrow b=a\)

\(\triangle ABC\) 是等腰三角形

引用:

原帖由 PeiPie 於 2011-8-9 04:19 PM 發表
2.圓內接四邊形ABCD中，AB=12，BC=5，AC=13，角BAD=60度，則BD=？AD=？
請各位老師幫忙解答，謝謝！ ...

因為 \(AB^2+BC^2=AC^2\)，所以 \(\angle ABC=90^\circ\)

\(\Rightarrow AC\) 為圓的直徑 \(\Rightarrow 2R=13\)

在 \(\triangle ABD\) 中，由正弦定理，

可得 \(\displaystyle \frac{BD}{\sin 60^\circ}=2R\Rightarrow BD=13\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13\sqrt{3}}{2}.\)

令 \(\angle BDA=\theta,\)

則 \(\angle BCA=\angle BDA=\theta\) 且 \(\angle DBA=180^\circ - 60^\circ-\theta=120^\circ-\theta\)

\(\displaystyle \cos\angle DBA=\cos(120^\circ-\theta)=\cos120^\circ\cos\theta+\sin120^\circ\sin\theta\)

　　　\(\displaystyle =\frac{-1}{2}\cdot\frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{12}{13}\)

在 \(\triangle ABD\) 中，由餘弦定理，即可得 \(AD\) 之長。

---

作者: PeiPie    時間: 2011-8-9 23:32

謝謝老師，我理解了！

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0