標題: 一題標準差之問題 [打印本頁]

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作者: jen123    時間: 2011-7-24 18:28     標題: 一題標準差之問題

袋中有6顆相同的球，分別標上2個1號，2個2號，2個3號。一次取3顆，將球號相加，請問
3個球號和的標準差為多少

謝謝各位老師

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作者: Joy091    時間: 2011-8-3 10:46

答 : \(\displaystyle \sqrt{1.2}\approx1.095\)

通常求隨機變數 X 的母體標準差，都會先用公式 :

\(\displaystyle Var(X)=E(X^2)-E(X)^2\)

求出母體變異數 \(\displaystyle Var(X)\) 後，再將其開根號即為所求。其中 \(\displaystyle E(X)\) 為 \(\displaystyle X\) 的期望值，\(\displaystyle E(X^2)\) 為 \(\displaystyle X^2\) 的期望值。

(公式將說明於後)

因此本題的方向就是求出 \(\displaystyle E(X)\) 與 \(\displaystyle E(X^2)\)，其中 \(\displaystyle X\) 表示三個球號和的 隨機變數，且 \(\displaystyle X=4,5,6,7,8\)
因為
\(\displaystyle P(X=4)=\frac{C^2_2C^2_1}{C^6_3}=\frac{2}{20}\)，類似的
\(\displaystyle P(X=5)=\frac{4}{20}\)，\(\displaystyle P(X=6)=\frac{8}{20}\)，\(\displaystyle P(X=7)=\frac{4}{20}\)，\(\displaystyle P(X=8)=\frac{2}{20}\)
所以 \(\displaystyle E(X)=\sum_{i=4}^8{iP(X=i)}=6\)， \(\displaystyle E(X^2)=\sum_{i=4}^8{i^2P(X=i)}=37.2\)

而得到 \(\displaystyle Var(X)=E(X^2)-E(X)^2=37.2-6^2=1.2\)，所求即為 \(\displaystyle \sqrt{1.2}\)


(以下為公式說明以及電腦模擬實驗)

公式是由定義推導而來 :
變異數的概念是 先將每一個資料減去平均後平方，再將這些平方數平均，因此

\(\displaystyle Var(X)=E(X-E(X))^2=E(X^2-2X E(X)+E(X)^2)=E(X^2)-2E(X E(X))+E(E(x)^2)=E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X)^2)=E(X^2)-E(X)^2\)

這個公式其實跟課本裡的

\(\displaystyle \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\mu)^2}}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^2}}{n}-\mu^2 \)

都是 "平方之後的平均 減去 平均之後的平方" 相同概念!


電腦模擬指令為 :  

n=10000
a=rep(c(1,2,3),each=2)
A=replicate(n,sample(a,3))
x=colSums(A);var(x)
sqrt(var(x))

以上為使用 R 軟體模擬10000次取三球加總的實驗，複製貼上後1秒內即完成模擬
詳見 高中數學學科中心電子報 (54期) 的連結 :

http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/eArticleDetail.aspx?id=0f09339d-0231-40cb-83f8-002e81c1c81c


ps. 前幾天去大陸才發現，大陸不能連上這個網站! 其它如 facebook , yahoo台灣...等等都不能連

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-3 11:27 AM 編輯 ]

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