標題: 100永春高中代理 [打印本頁]

---

作者: 八神庵    時間: 2011-7-16 22:09     標題: 100永春高中代理

as title
請享用

附件: 100永春高中代理.zip (2024-10-25 13:13, 169.8 KB) / 該附件被下載次數 8528
https://math.pro/db/attachment.php?aid=767&k=55c8b3482dcad0d35482e61d393f8db8&t=1732282672

---

作者: 阿光    時間: 2011-7-31 20:20

想請教填充第2題 謝謝

---

作者: weiye    時間: 2011-7-31 21:59     標題: 回復 2# 阿光 的帖子

填充第 2 題：
\(\displaystyle log_3 \left[(3+1)\cdot (3^2+1)\cdot (3^4+1)\cdot \ldots \cdot (3^{64}+1)+\frac{1}{2}\right]+log_3 2\)的值為　　　。
[解答]
\(\log_3\left((3+1)(3^2+1)(3^4+1)\cdots(3^{64}+1)+\frac{1}{2}\right)+\log_3 2\)

\(=\log_3\left(2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)\cdots(3^{64}+1)+1\right)\)

\(=\log_3\left((3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)\cdots(3^{64}+1)+1\right)\)

\(=\log_3\left((3^{128}-1)+1\right)\)

\(=\log_3\left(3^{128}\right)\)

\(=128.\)

---

作者: arend    時間: 2011-8-3 02:08

請教填充第一題
謝謝

---

作者: weiye    時間: 2011-8-4 21:43     標題: 回復 4# arend 的帖子

填充第 1 題：
設\(A(3,3)\)、\(B(-1,-5)\)、\(C(6,0)\)及直線\(L\)：\(y=mx-8m-6\)，若直線\(L\)與\(\Delta ABC\)相交，則求\(m\)的範圍　　　。
[解答]
\(\displaystyle L: y=mx-8m-6\Rightarrow m=\frac{y-(-6)}{x-8}\)

令 \(P(8,-6)\)



如圖，

依題目敘述， \(L\) 與 \(\triangle ABC\) 有相交，可得

　　　　　\(PB\) 直線斜率 \(\leq m\leq PB\) 直線斜率

所以，\(\displaystyle -3\leq m\leq \frac{-1}{9}\)

---

作者: arend    時間: 2011-8-6 01:38

謝謝瑋岳老師

---

作者: pizza    時間: 2011-12-21 22:11

請教多選1的(2)和(3)為什麼錯?
還有多選2,填充6和8該怎麼算?謝謝

---

作者: weiye    時間: 2011-12-22 21:46     標題: 回復 7# pizza 的帖子

多選第1題
設\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)為實係數三次多項式，則下列選項哪些是正確的？
(1)\(y=f(x)\)的圖形與\(x\)軸至少交於一點
(2)若\(f(2-\sqrt{3})=-7+2\sqrt{3}\)，則\(f(2+\sqrt{3})=-7-2\sqrt{3}\)
(3)若\(\displaystyle -\frac{2}{3}\)為方程式\(f(x)=0\)的一根，則\(3|a\)且\((-2)|d\)
(4)若方程式\(f(x)=0\)有一實根為0與兩虛根，則\(a\times c>0\)
(5)若\(-1\)與2之間有實數\(x\)，使得\(f(x)=0\)，則\(f(-1)f(2)<0\)
[解答]
　　第2個選項：題目沒有說是「有理係數多項式」，因此可以舉反例如下：

　　　　　　　\(f(x)=x\left(x-2+\sqrt{3}\right)\left(x-2-\sqrt{3}\right)-7+2\sqrt{3}\)


　　第3個選項：題目沒有說是「整係數多項式」，因此可以舉反例如下：

　　　　　　　\(\displaystyle f(x)=x^2\left(x+\frac{2}{3}\right)\)

---

作者: weiye    時間: 2011-12-22 22:07     標題: 回復 7# pizza 的帖子

多選第 2 題
已知一正方形\(ABCD\)依下列方式分割正方形為數個全等且不重疊的直角三角形：
(1)當\(n=1\)，如圖(一)正方形\(ABCD\)被分割為2個直角三角形，共5個邊
(2)當\(n=2\)，如圖(二)正方形\(ABCD\)被分割為8個直角三角形，共16個邊
(2)當\(n=3\)，如圖(三)正方形\(ABCD\)被分割為18個直角三角形，共33個邊
依照上述規則，當\(n=50\)時，正方形\(ABCD\)會被分割為\(a\)個直角三角形，共\(b\)個邊，則下列個敘述何者正確？
(1)\(a=5000\)　(2)\(b=7500\)　(3)\(|\;a-b|\;=2500\)　(4)\(a,b\)的最大公因數\(=200\)　(5)\(a+b=12500\)
[解答]
小正方形有 \(50\times 50\) 個，每個都可以分成兩個小三角形，

所以 \(a=50\times 50\times 2=5000\)

小斜線有 \(50\times 50\) 條

小水平線有 \(50\times 51\) 條

小鉛直線有 \(50\times 51\) 條

\(b=50\times50+50\times 51+50\times 51=7600\)

\(\left|a-b\right|=2600\)

\(a,b\) 的最大公因數 \(=200\)

\(a+b=12600\)

---

作者: weiye    時間: 2011-12-22 22:24     標題: 回復 7# pizza 的帖子

填充第 6 題
設複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=1\)，則\(\displaystyle \left| z+\frac{2}{z}+1\right|\)之最大值為　　　。
[解答]
令 \(z=\cos\theta+i\sin\theta\)

則 \(\displaystyle \left|z+\frac{2}{z}+1\right|=\left|(\cos\theta+i\sin\theta)+2\left(\cos\theta-i\sin\theta\right)+1\right|\)

\(=\left|3\cos\theta+1-i\sin\theta\right|\)

\(\displaystyle =\sqrt{\left(3\cos\theta+1\right)^2+\sin^2\theta}\)

\(\displaystyle =\sqrt{9\cos^2\theta+6\cos\theta+1+\sin^2\theta}\)

\(\displaystyle =\sqrt{8\cos^2\theta+6\cos\theta+2}\)

令 \(t=\cos\theta\)，則 \(-1\leq t\leq 1\)

因為 \(\displaystyle y=f(t)=8t^2+6t+2\) 是開口向上拋物線的部分圖形，

所以最大值即是 「兩個邊界端點 \(f(1)\) 或 \(f(-1)\) 的最大值」＝\(16\)

所以 \(\displaystyle \left|z+\frac{2}{z}+1\right|\) 的最大值＝\(\sqrt{16}=4\)

---

作者: weiye    時間: 2011-12-22 22:33     標題: 回復 7# pizza 的帖子

填充第 8 題
一小球由原點\(O(0,0,0)\)發射，撞擊到平面\(E_1\)：\(x+2y+2z=18\)上一點\(A\)，再經過平面\(E_1\)反射後，撞擊到平面\(E_2\)：\(2x+y+2z=-10\)上一點\(B\)，再經由平面\(E_2\)反射後，彈向一個點\(C(-1,-1,1)\)。試求\(\overline{OA}+\overline{AB}+\overline{BC}\)之值為　　　。
[解答]
將 \(O\) 對稱 \(E_1: x+2y+2z-18=0\)，可得對稱點 \(P(4,8,8)\)

將 \(C\) 對稱 \(E_2:2x+y+2z+10=0\)，可得對稱點 \(Q(-5,-3,-3)\)

則　\(\overline{OA}+\overline{AB}+\overline{BC}\)

　　\(=\overline{PA}+\overline{AB}+\overline{BQ}\)

　　\(=\overline{PQ}=\sqrt{323}\)

---

作者: WAYNE10000    時間: 2012-2-2 15:20     標題: 想請問填充9

我的立體概念不好  完全無思緒  可否給點指教 謝謝

---

作者: weiye    時間: 2012-2-2 16:00     標題: 回復 12# WAYNE10000 的帖子

填充第 9 題，
設正方形\(ABCD\)之邊長為1，而\(P,Q\)依次為\(\overline{BC},\overline{CD}\)之中點，若將此正方形沿虛線\(\overline{AP},\overline{AQ},\overline{PQ}\)向上摺起，使\(B,C,D\)三點重合為一點\(R\)，則\(R\)點到底面\(APQ\)之距離為　　　。
[解答]
把 \(R\) 當原點，\(\overrightarrow{RQ}\) 射線當正向 \(x\) 軸，\(\overrightarrow{RP}\) 射線當正向 \(y\) 軸，\(\overrightarrow{RA}\) 射線當正向 \(z\) 軸，

則 \(\triangle APQ\) 所在平面方程式為 \(\displaystyle \frac{x}{\frac{1}{2}}+\frac{y}{\frac{1}{2}}+\frac{z}{1}=1\Rightarrow 2x+2y+z-1=0\)

原點 \(R\) 到 \(\triangle APQ\) 所在平面的距離＝\(\displaystyle \frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{1}{3}\)



另解：（沒有比較快ＸＤ）

\(\triangle APQ\) 面積＝正方形 \(ABCD\) 面積－\(\triangle ABP\) 面積－\(\triangle ADQ\) 面積－\(\triangle CPQ\) 面積

　　　　　　＝\(\displaystyle\frac{3}{8}\)

因為錐形體 \(APQR\) 的體積＝\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \triangle RPQ\mbox{面積}\times \overline{RA}=\frac{1}{3}\times\triangle APQ\mbox{面積}\times \left(R\mbox{到}\triangle APQ\mbox{的距離}\right)\)

所以　\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \frac{1}{8}\times 1 =\frac{1}{3}\times \frac{3}{8}\times \left(R\mbox{到}\triangle APQ\mbox{的距離}\right)\)

　　　\(\displaystyle\Rightarrow R\mbox{到}\triangle APQ\mbox{的距離}=\frac{1}{3}\)




其實還可以再來個另解～（更慢一點～但是只要會畢氏定理就可以了）

設 \(\overline{PQ}\) 的中點為 \(M\)，

就是拿菜刀往錐形體 \(APQR\)～延 \(\triangle ARM\) 剖下去，

利用畢氏定理算出各邊長之後，再來就可以算出直角\(\triangle ARM\) 斜邊上的高～即為所求。：）

---

作者: 老王    時間: 2012-2-2 16:14

填充6
設複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=1\)，則\(\displaystyle \left| z+\frac{2}{z}+1\right|\)之最大值為　　　。
[解答]
因為 \( |z|=1 \)，所以
\(\displaystyle  \frac{1}{z}=\overline{z} \)

\(\displaystyle |z+\frac{2}{z}+1|^2=|z+2\overline{z}+1|^2 \)

\(\displaystyle =(z+2\overline{z}+1)(\overline{z}+2z+1) \)

\(\displaystyle =2(z^2+\overline{z}^2)+3(z+\overline{z})+6 \)

\(\displaystyle =2(z+\overline{z})^2+3(z+\overline{z})+2 \)

\(\displaystyle =8Re(z)^2+6Re(z)+2 \)

\(\displaystyle =8(Re(z)+\frac{9}{64})^2+\frac{7}{8} \)

因為 \( -1<Re(z)<1 \)
所以當\( Re(z)=1 \)時有最大值16
於是所求為4

另外，11題我一直沒想通，請教想法，感謝!!

---

作者: weiye    時間: 2012-2-2 16:35

填充第 11 題，
有紅,黃,藍,綠四種顏色，要從右圖中任取4小格塗色，且顏色不重複使用，每1小格只塗一色，但同一行、同一列皆只能塗1小格﹐則有　　　種不同的塗法。
□ □ □ □
□ □ □ □
□ □ □ □
□ □ □ □
[解答]
就先來塗紅色吧～

紅色有 \(16\) 格可以選～

任選一格之後～與紅色那格同行或同列的其他格就不能塗了～

刪掉紅色那格所在的行與列，剩下空格集中靠攏，

再來塗黃色，還有 \(9\) 格可以選～

任選一格之後～與黃色那格同行或同列的其他格就不能塗了～

刪掉黃色那格所在的行與列，剩下空格集中靠攏，

再來塗藍色，還有 \(4\) 格可以選～

任選一格塗藍色之後～與藍色那格同行或同列的其他格就不能塗了～

刪掉藍色那格所在的行與列，

剩下只有一個空格可以選而已～當然就只能塗綠色啦。

因此，塗色的方法數為 \(16\times 9\times 4\times 1=576\)

圖片附件: qq.png (2012-2-2 16:47, 24.13 KB) / 該附件被下載次數 5499
https://math.pro/db/attachment.php?aid=920&k=15576b35c5f7e4ba97216f65b80a1eaa&t=1732282672

---

作者: 老王    時間: 2012-2-2 17:31

感謝瑋岳老師!!原來我把題目看錯了
以為是用四種顏色各塗四個方格
每個顏色都不能同行同列

---

作者: weiye    時間: 2012-2-2 19:08     標題: 回復 16# 老王 的帖子

我剛剛試著用老王老師的新規則～

「用四種顏色各塗四個方格、每個顏色都不能同行同列」
討論到最後也是 \(576\) 耶！

就第一行、第二行、第三行、第四行地慢慢討論所有可能性～

\(4!\times(3\cdot 1\cdot 1\cdot 1)\times(2!\cdot 2!)\times(1^4)+4!\times(3\cdot 2\cdot 1\cdot 1)\times(2\cdot 1\cdot1\cdot1)\times(1^4)=576\)

第一大類是～第一行與第二行～剛好某兩顏色互換～另兩顏色也互換～

第二大類是～第一行與第二行沒有任何顏色互換～

剩下第三行與第四行就用慢慢討論的～其實只有很少種可能性。

這些討論不是重點，重點在～答案與原題目相同耶～



也就是原題目只把四格塗四色結束之後～

如過要繼續把剩下的 \(12\) 格的顏色～用老王老師的新規則塗上去～

或許只有唯一的一種塗法（此點有待證明，純屬隨便亂猜測～：Ｐ）～或是必定無法繼續塗下去？！

或是說～猜測這兩者（新、舊規則的每一種塗法）可能有某種唯一的對應關係！

神奇耶！（小弟原本還以為兩者會相差四倍～：Ｐ）

＜＜為避免小弟計算的過程可能有算錯～待會寫詳細一點加張圖，請大家來幫我檢查一下～：Ｐ＞＞

---

作者: weiye    時間: 2012-2-3 08:58     標題: 回復 17# weiye 的帖子

「用四種顏色各塗四個方格、每個顏色都不能同行同列」

上篇回覆中，討論的圖解，寫在附加檔案，如果有錯誤煩請不吝告知，感謝。

^____^



另外，小弟繼續思考，還發現~

如果以最容易填完的一種情況情況出發~將任兩行互換~或任兩列互換~

也都會是符合題目要求的情況~

因此~將 任數行位置互換～或任數列位置互換，延伸出來的都是滿足"新規則"的塗法。

　　　將 任數行位置互換～或任數列位置互換，延伸出來的都是滿足"舊規則"的塗法。

而將原本的第一二三四列換到新的一二三四列～總共有 \(4!\) 種方法，

　將原本的第一二三四行換到新的一二三四行～總共有 \(4!\) 種方法，

所以換完之後的情形種共有 \(4!\times4!=576\) 種。

但是～～～～～如何證明就只有這麼多，而不會有「更多」種呢？

或是說～如何證明全部的塗色方法，都可以經由任意數行互換～再任意數列互換，

而變成最基本的上面哪兩張（對應到新、舊規則）的方法呢？

十分有趣！：Ｐ

附件: Book2.xls (2012-2-3 08:58, 80 KB) / 該附件被下載次數 6057
https://math.pro/db/attachment.php?aid=921&k=c24f997fee02deaec8d27dd5d27044b3&t=1732282672

附件: Book2.pdf (2012-2-3 08:58, 226.68 KB) / 該附件被下載次數 7422
https://math.pro/db/attachment.php?aid=922&k=89f8748c4e9697c417b35bdc94a6feb2&t=1732282672

---

作者: 老王    時間: 2012-3-10 10:10

94年第二區筆試二第六題，沒有答案。(因為參考答案給了個奇怪的東西)可以對照一下。

圖片附件: 94北二區筆試2-6.jpg (2012-3-10 10:10, 35.03 KB) / 該附件被下載次數 5383
https://math.pro/db/attachment.php?aid=959&k=0806986888fdf6db8ef718f78b08ff5d&t=1732282672

---

作者: bugmens    時間: 2012-3-10 15:42

把題目寫出來讓以後的網友也能google到這篇
有一遊戲規則如右：在右圖中每一直行、每一橫列即每個小四方格裡，只有1到4的數字，每個數字在每個行列及每個小四方格裡都只出現一次，滿足這些條件的填法稱為一種解法。考慮方格不可旋轉或翻轉，則共有幾種解法。


這是2x2的數獨，wiki答案是288
http://en.wikipedia.org/wiki/Mat ... rectangular_regions

解法可以參考看這篇
http://forum.enjoysudoku.com/sud ... are-t170.html#p2992
by geoff

A neat way of counting.
Consider grids of the type

AB | xx
Cx | xx
--------
xx | Dx
xx | x E

where A,B,C are different, D and E are different. There are 288 of these and each gives a unique solution. Therefore 288 solutions.

A、B、C三個數字要完全不同有4*3*2=24種
D、E兩個數字要完全不同有4*3=12種
A~E數字決定後剩下的空位是唯一決定的
共有24*12=288種

---

作者: 老王    時間: 2012-3-18 18:33

這幾天在做台大數學推甄考古題，正好96年第一部分第3題就是這個問題
參考
h ttp://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32(連結已失效)
96年度第一部分第三題
設\(\displaystyle K=\left [ \begin{array}{clr}
a_1  a_2  b_1  b_2  \\
a_3  a_4  b_3  b_4  \\
c_1  c_2  d_1  d_2  \\
c_3  c_4  d_3  d_4  
\end{array} \right ] \)為一4階方陣。若
(1) K中每一行皆為1,2,3,4的排列，   (2) K中每一列皆為1,2,3,4的排列，
(3) \( a_1,a_2,a_3,a_4 \)為1,2,3,4的排列， (4) \( b_1,b_2,b_3,b_4 \) 為1,2,3,4的排列，
(5) \( c_1,c_2,c_3,c_4 \) 為1,2,3,4的排列， (6) \( d_1,d_2,d_3,d_4 \) 為1,2,3,4的排列，
則稱K為一4階數獨。
(I) 試問有多少個4階數獨K使得\( a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,b_1=3,b_2=4,c_1=2,c_3=4 \)。
(II) 試問有多少個4階數獨。

給的提示比較簡單
第一小題的答案只有3種
所以總共有
24*2*2*3=288種

圖片附件: 4階數獨(台大數學96-1-3).jpg (2012-3-18 18:33, 47.65 KB) / 該附件被下載次數 4921
https://math.pro/db/attachment.php?aid=966&k=549017ffa49169701322879d37a74d97&t=1732282672

---

作者: 艾瑞卡    時間: 2013-5-8 12:08

請教填充第7題目，是不是少了這個條件：「B、C、T三點共線」？

（因為我使用題目給條件，算不出來.....，後來我自行加了「B、C、T三點共線」就可算出答案了）

---

作者: lyingheart    時間: 2013-5-8 12:44     標題: 回復 22# 艾瑞卡 的帖子

這......
由 \(\displaystyle \vec{AT}=m\vec{AB}+(1-m)\vec{AC} \)
其中的 \( m+(1-m)=1 \)
知道TBC共線。

---

作者: 艾瑞卡    時間: 2013-5-8 14:31     標題: 回復 23# lyingheart 的帖子

謝謝你~是我耍笨....：P

---

作者: 艾瑞卡    時間: 2013-5-8 15:05

請問第16題及第18題，
第16題是考科西不等式嗎？
因為 1/2(3x+4y+5z)=6
所以 3x+4y+5z =12
但排不出來科西不等式：[ (√3x)^2 +(y+z)^2 + z^2 ] [ (√3)^2 + 1^2 +1^2 ] ≧ (3x + y +2z )^2
不知道如何把 3x+4y+5z =12 調整為 3x + y +2z ？或是有其他解法嗎？

第18題：從題目條件，我們得知拋物線通過 （2,0）、（1,2），且在（1,2）的切線斜率 f ' (1) = 4，接下來該怎麼寫下去呢？

感恩感恩唷~~~~~

---

作者: lyingheart    時間: 2013-5-8 17:01     標題: 回復 25# 艾瑞卡 的帖子

16
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=3,\overline{BC}=4,\overline{CA}=5\)，若\(P\)點在\(\Delta ABC\)內，\(P\)點至\(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CA}\)距離分別為\(x,y,z\)，求\(3x^2+y^2+2yz+2z^2\)之最小值是多少　　　。
[解答]
通常這樣湊
\(\displaystyle [(\sqrt{3}x)^2+(y+z)^2+z^2][a^2+b^2+c^2] \ge (\sqrt{3}ax+by+(b+c)z)^2 \)

然後讓 \(\displaystyle \sqrt{3}a : b : (b+c)=3 : 4 : 5  \)

就可以找到 \(\displaystyle a=\sqrt{3},b=4,c=1 \)

也可以這樣
令\(\displaystyle p=\sqrt{3}x,q=y+z,r=z \)

得到 \(\displaystyle x=\frac{p}{\sqrt{3}},y=q-r,z=r \)

代入關係式得到\(\displaystyle \sqrt{3}p+4q+r=12 \)
然後再用柯西。

18
拋物線\(\Gamma\)：\(y=P(x)\)的對稱軸平行於\(y\)軸，且\(\Gamma\)與\(x\)軸交於點\((2,0)\)，並在\(x=1\)時與函數\(y=x^4+1\)的圖形相切，試求\(P(x)=\)　　　。
[提示]
假設\(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c \) 硬做就行了吧

---

作者: 艾瑞卡    時間: 2013-5-9 08:05     標題: 回復 26# lyingheart 的帖子

感謝您詳細的解說 ^_^

---

作者: hinetsndb    時間: 2013-5-23 21:14

想請教填充第五題    想好久還是解不出來...

謝謝大家。

---

作者: thepiano    時間: 2013-5-23 22:35

填充第 5 題
\(\Delta ABC\)中，\(\angle A,\angle B,\angle C\)之對邊為\(a,b,c\)三數成等差，\(\angle B=30^{\circ}\)，\(\Delta ABC\)面積為\(\displaystyle \frac{3}{2}\)，試求\(b=\)　　　。
[解答]
令 a = b - d，c = b + d
(1/2)ac * sin30 = 3/2
b^2 - d^2 = 6

b^2 = a^2 + c^2 - 2accos30
b^2 + 2d^2 = 6√3

b = 1 + √3

---

作者: hinetsndb    時間: 2013-5-24 10:44     標題: 回復 29# thepiano 的帖子

懂了   謝謝鋼琴老師~~~

---

作者: Jacob    時間: 2014-12-14 08:08     標題: 回復 18# weiye 的帖子

請問瑋岳老師，那對於「用四種顏色各塗四個方格、每個顏色都不能同行同列」的問題中，答案到底是288 還是576？
假如288是對的，那到底哪裡重複算了呢? 煩請說明一下，感謝!

---

作者: tsusy    時間: 2014-12-14 08:26     標題: 回復 31# Jacob 的帖子

#19 樓之後的討論是不同的題目，所以答案不一樣

---

作者: Jacob    時間: 2014-12-14 08:46

原來是這樣，感謝寸絲大的指導!

---

作者: Ivan    時間: 2024-7-4 10:56     標題: 回覆 18# weiye 的帖子

請教一下老師，最近正在思考這題的思路，
我比較想知道的是老師文中的4!x4!的過程當中，有沒有重複的可能性呢?
因為我想說如果這一題把題目縮小至2x2的方格內用兩種顏色塗的話，
依照老師的邏輯來看的話，那就會是2!x2!=4種，但其實答案只會有兩種，不知道是我哪裡思慮不周，還煩請老師題點一下，感謝!
還有最後一個問題，就是這可不可以推廣至nxn方格裡用n種顏色塗的方法數呢?感謝!

---

作者: tsusy    時間: 2024-7-4 14:39     標題: 回覆 34# Ivan 的帖子

2色，2x2 是四種

無 1
2 無

無 2
1 無

1 無
無 2

2 無
無 1

---

作者: Ivan    時間: 2024-7-5 12:22     標題: 回覆 35# tsusy 的帖子

感謝老師回覆！

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0