標題:
99桃園縣國中聯招
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作者:
Joy091
時間:
2011-7-16 21:17
標題:
99桃園縣國中聯招
其中第 12 題頗有挑戰，與大家分享!
12.
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\tan\frac{\theta}{2^n}=? \)
附件:
桃園縣99年國民中學教師甄選數學科試題.pdf
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附件:
數學科答案.pdf
(2011-7-16 21:17, 178.93 KB) / 該附件被下載次數 6243
https://math.pro/db/attachment.php?aid=766&k=22dedb7fbfc4caa06c19848a988f4911&t=1732313289
作者:
tsusy
時間:
2011-10-12 09:10
12 題，選項錯了四個選項都錯，理由： \( \theta = \pi/4 \) 帶入， 1-4 皆錯。
公布答案為 (C)，其正確選項應為 \( -2\cot2x+\frac{1}{x} \)
計算方法如下：
把其逐項積分得 \( -\log |\cos \frac{x}{2^n} |\) 之和。
對數相得變相乘 \( \prod \cos \frac{x}{2^n} \) 可用有限項乘上一個 sin 給它，求出有限項之和，
取極限 得 \( \prod \cos \frac{x}{2^n} = \frac{\sin2x}{2x}\)，當 \( x \neq 0\)
然後微分，微回來就會得到 \( -2\cot2x+\frac{1}{x} \)
中間涉及，微分和 sum 兩個極限的交換，需要均勻收斂之條件。
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