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標題: 100中壢高中二招 [打印本頁]
作者: 八神庵    時間: 2011-6-30 20:22     標題: 100中壢高中二招

如附件
教甄已近尾聲
筆試功力仍需精進!
各位請享用!

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作者: bugmens    時間: 2011-6-30 20:39

1.
\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1} \)的最大值為？\( \sqrt{10} \)
(1992大陸高中數學競賽，95基隆高中，高中數學101修訂版　P237)
[解答]
\( f(x)=\sqrt{(x^2-2)^2+(x-3)^2}-\sqrt{(x^2-1)^2+(x-0)^2} \)
令\( P(x^2,x) \)在\( y^2=x \)上，\( A(2,3) \)，\( B(1,0) \)
\( f(x)=\overline{AP}-\overline{BP}\le \overline{AB}=\sqrt{10} \)
即\( f(x) \)之最大值為\( \sqrt{10} \)


求函數\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)的最小值？4
88高中數學能力競賽，95台中高農，96彰師附工，
97文華高中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781
99萬芳高中，https://math.pro/db/thread-969-1-1.html
99鳳新高中，https://math.pro/db/thread-1492-1-9.html

這麼多學校考過這兩題，答案你背起來了沒？


8.
△ABC中，a,b,c分別為頂點A,B,C的對邊，若\( \displaystyle \frac{cotC}{cotA+cotB}=99 \)，求\( \displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2} \)？
(95台中高農)

Let a,b,c be the three sides of a triangle, and let α,β,γ be the angles opposite them. If \( a^2+b^2=1989c^2 \), find \( \displaystyle \frac{cot \gamma}{cot \alpha+cot \beta} \)
(1989AIME)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-30 09:14 PM 編輯 ]
作者: mandy    時間: 2011-7-1 20:42

請問第2,3,5,6,9,10題  要怎麼做?

[ 本帖最後由 mandy 於 2011-7-1 08:54 PM 編輯 ]
作者: 老王    時間: 2011-7-1 22:41     標題: 回復 3# mandy 的帖子

2.
有7個城鎮圍成一七邊形,，已知除了\( D,E \)外，任兩城鎮間皆恰有一條道路往來。某人從\(A\)出發經過每一城鎮一次後回到\(A\)，若相同路徑不得重複走, 則此人有　　　種不同的走法。

[解答]
就是BCDEFG的直線排列，但是DE不能相鄰
6!-2*5!=4*5!=480


3.
在坐標平面上，不等式\( (3x^2-y^2)[log_2 (25-x^2-y^2)-3]\ge 0 \)所表示的區域之面積為　　　。
[解答]
圖中藍色區域
\(\displaystyle 2\times\frac{1}{2}[\frac{2\pi}{3}\times17+\frac{\pi}{3}(25-17)]=14\pi \)

圖片附件: 100中壢二招3.jpg (2011-7-1 22:42, 18.41 KB) / 該附件被下載次數 8546
https://math.pro/db/attachment.php?aid=616&k=955e0b5c3599b9da6c16c00483d1f6db&t=1732279189

作者: 老王    時間: 2011-7-1 22:55     標題: 回復 3# mandy 的帖子

5.
設\( \alpha_1,\alpha_2 \ldots \alpha_1n \)是\(n\)次多項方程式\( x^n+x^{n-1}+\ldots+x+1=0 \)的\(n\)個根，試求：\( \displaystyle \frac{1}{\alpha_1-1}+\frac{1}{\alpha_2-1}+\frac{1}{\alpha_n-1}= \)　　　。
[解答]
令\( f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1 \)
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha_1}+\frac{1}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{1}{x-\alpha_n} \)
所求為
\(\displaystyle -\frac{f'(1)}{f(1)}=-\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n+1}=-\frac{n}{2} \)


6.
設\( \alpha,\beta,\gamma,\theta \in R \)，試求：\( \sqrt{(cos \theta-\alpha)^2+(sin \theta-\beta)^2}+\sqrt{(cos \gamma-\alpha+5)^2+(sin \gamma-\beta+15)^2}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-24\alpha+18\beta+225}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-60\alpha-20\beta+1000} \)的最小值為　　　。
[解答]
視為點 \( P(\alpha,\beta) \)到\( A(\cos\theta,\sin\theta) \)、\( B(5+\cos\gamma,15+\sin\gamma) \)
還有C(12,-9)和D(30,10)的距離和
A在單位圓O上，B在圓\( M : (x-5)^2+(y-15)^2=1 \)上，P到圓的最短距離會等於到圓心距離減去半徑，
所以所求可以看成P到O、M、C、D四點距離和的最小值再減2
最小值發生在四邊形OCDM對角線交點
所求為\( 25+10\sqrt{10}-2=23+10\sqrt{10} \)
作者: 老王    時間: 2011-7-1 23:13     標題: 回復 3# mandy 的帖子

9.
設橢圓曲線\( \Gamma \)：\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1 \)與直線\(L\)：\( x=12 \)，若\( A_0,F \)的坐標分別為\( (6,0),(3,0) \)，在曲線\( \Gamma \)上另有11個點\(A_k\)，\( k=1,2,3,\ldots,11 \)使得\(∠A_0FA_1=∠A_1FA_2=\ldots=∠A_{11}FA_0\)，令\( d_k \)為\( A_k \)到\(L\)的距離，試求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{11}\frac{1}{d_k}= \)　　　。
[解答]
參考 圓錐曲線焦弦的性質
http://lyingheart6174.pixnet.net ... 4%E6%80%A7%E8%B3%AA
共有六組，離心率為\( \frac{1}{2} \)，所求為
\(\displaystyle 6\times\frac{4}{\frac{54}{6}}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{3} \)
作者: 老王    時間: 2011-7-1 23:18     標題: 回復 3# mandy 的帖子

10.
\( N \)為自然數，\( A,B,C,D \)為\(N\)的最小的四個相異正因數，且滿足\( N=A^2+B^2+C^2+D^2 \)，試求\( N= \)　　　。
[解答]
\(A=1\)
若\(N\)為奇數，右邊是偶數，不合，故\(N\)是偶數
\(B=2\)
此時不管\(C、D\)如何，平方和不會是4的倍數，所以\(N\)不是4的倍數
若\(C、D\)皆為奇數，右邊為奇數，不合
故令\(C=p,D=2p\)
\(N=5+5p^2=5(1+p^2)\)
故\(p=5\)
\(N=130\)
作者: JOE    時間: 2011-7-2 09:38     標題: 回復 6# 老王 的帖子

請問老王老師

第6題這樣的題目類型，有可能考到三點距離和為最小嗎

關於第9題

網頁中提到性質2可以改為 ：1/PF＋1/QF＝4/K。(K為正焦弦長)

這裡頭不是已經把離心率e用c/a替換了嗎

為什麼最後還需要乘上e=1/2

另外想請問  習題中提到  如何用解析方法證明性質2

感謝老師指導
作者: mandy    時間: 2011-7-2 10:06

感謝以上所有老師 !!
作者: 老王    時間: 2011-7-2 11:51     標題: 回復 8# JOE 的帖子

因為計算的是1/PF+1/QF，但是此題要的是1/d(P,L)+1/d(Q,L)
也就是P、Q到準線距離的倒數和，而PF=e*d(P,L)，QF=e*d(Q,L)
1/d(P,L)+1/d(Q,L)=e/PF+e/QF
所以還要乘上離心率。
其實只要知道這個性質，那麼就直接用長軸兩頂點來算這定值就很快。

另外，通常作者不想算的東西，會留做習題。
應該就是把方程式寫出來，然後再利用PFQ共線的條件去導出來吧。
作者: thankquestion    時間: 2011-7-3 18:13

想請教8~還是卡住了

另外想問第四題是找規律嗎..有其它作法嗎

[ 本帖最後由 thankquestion 於 2011-7-3 09:23 PM 編輯 ]
作者: mandy    時間: 2011-7-3 19:54

5
令\( f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1 \)
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha_1}+\frac{1}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{1}{x-\alpha_n} \)

請問以上式子如何來的?
作者: thankquestion    時間: 2011-7-3 20:13     標題: 回復 12# mandy 的帖子

\( f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1=(x-\alpha_1) (x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)\)


取ln再去微分~

[ 本帖最後由 thankquestion 於 2011-7-3 11:09 PM 編輯 ]
作者: thankquestion    時間: 2011-7-3 23:19     標題: 回復 11# thankquestion 的帖子

想通了~謝謝不過想問第4題~
作者: arend    時間: 2011-7-4 00:43

請問第七題
我是這樣想
右a,左b, 上c,下d
(a-b , c-d)=(1,2)
a+b+c+d=9
接下來我用分組討論
a+b=9 | 7 | 5 | 3 | 1
a-b= 1 | 1 | 1 | 1 |  1
得
a= 5| 4 | 3 | 2 | 1
b= 4 | 3 | 2 | 1 | 0
c=    | 2 | 3 | 4 | 5
d=    | 0 | 1 | 2 | 3
然後用不盡相異排列
橫排有126+35+10+3+1=175
縱排有56+15+4+1
可是答案是10584

請版上高手提示一下

或是有更快速的解法
謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2011-7-5 12:56 AM 編輯 ]
作者: arend    時間: 2011-7-4 01:02

引用:
原帖由 老王 於 2011-7-1 11:18 PM 發表
10
A=1
若N為奇數，右邊是偶數，不合，故N是偶數
B=2
此時不管C、D如何，平方和不會是4的倍數，所以N不是4的倍數
若C、D皆為奇數，右邊為奇數，不合
故令C=p,D=2p
N=5+5p^2=5(1+p^2)
故p=5
N=130 ...
請教王老師
A=1
若N為奇數，右邊是偶數，不合，故N是偶數
為何有邊是偶數?
另外
N=5+5p^2=5(1+p^2)
故p=5?

這兩處看不出來
可否解惑
謝謝
作者: 老王    時間: 2011-7-7 21:06     標題: 回復 16# arend 的帖子

不失一般性假設A<B<C<D

若N為奇數，那麼他的因數也都是奇數，平方當然還是奇數，
右邊就為四個奇數之和，為偶數。

N=5(1+p^2)
表示N是5的倍數
若N也是3的倍數
C=3,D=5
從上面的討論知道不合
所以p=5(此時C=5)
作者: arend    時間: 2011-7-8 00:41

謝謝王老師
作者: Joy091    時間: 2011-7-8 15:36     標題: 回復 15# arend 的帖子

7. 從坐標平面上的原點每次向上, 或向下, 或向左, 或向右跳ㄧ次(每次跳一個單位長), 經跳9次後,
跳到坐標 (1,2) 有__________種跳法.  答: 10584

參考解法:

最後跳到坐標 (1,2) 就是代表除了 ' 右上上 ' 之外，其餘6次必須上下左右互相抵消
將這6次分類如下:

左左左右右右   右上上
有 9! /2!3!4! =1260 種

上下左左右右   右上上
有 9! /3!2!3! =5040 種

上上下下左右   右上上
有 9! /4!2!2! =3780 種

上上上下下下   右上上
有 9! /5!3! =504 種

所以共有 1260+5040+3780+504=10584 種
作者: Joy091    時間: 2011-7-8 16:14     標題: 回復 14# thankquestion 的帖子

4. 數列 \(\displaystyle <a_n> ,  a_1=1,a_2=\frac{1}{3}\),  若  \(\displaystyle a_na_{n+1}+a_{n+1}a_{n+2}=2a_na_{n+2}\) ,  求  \(\displaystyle a_n= ?\)  答:  \(\displaystyle \frac{1}{2n-1} \)

參考解法:

等式兩邊同除以 \(\displaystyle a_na_{n+1}a_{n+2}\)  之後，就可以看出數列  \(\displaystyle <\frac{1}{a_n}> \)  是一個等差數列

\(\displaystyle \frac{a_na_{n+1}+a_{n+1}a_{n+2}}{a_na_{n+1}a_{n+2}}=\frac{2a_na_{n+2}}{a_na_{n+1}a_{n+2}}\)

\(\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}+\frac{1}{a_n}=\frac{2}{a_{n+1}}\)

又因為  \(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{3}\),  所以數列  \(\displaystyle <\frac{1}{a_n}> \)  是一個公差為 2 的等差數列，即1,3,5,7,9...

故  \(\displaystyle <a_n>=1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{9},...\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-7-8 05:32 PM 編輯 ]
作者: Joy091    時間: 2011-7-8 21:07     標題: 回復 17# 老王 的帖子

這一題的解法實在太精采有趣了，容我將它整理一遍 :

題目:

10.  N 為自然數, A,B,C,D 為 N  的最小的四個相異正因數, 且滿足 , \( \displaystyle N=A^2+B^2+C^2+D^2 \)，試求 N =_________.     答: 130

老王的解答 (整理):

首先，可假設 A<B<C<D
則知道 A=1

再來，N一定是偶數 !
因為若 N 是奇數，則 A,B,C,D皆為奇數，
得到 \( \displaystyle N=A^2+B^2+C^2+D^2 \) 為偶數的矛盾。
故 N 是偶數，由此可知 B=2。且C,D不能同時為奇數或同時為偶數，否則 N不是偶數。

接著，很重要的，N 雖然是偶數，卻不是 4 的倍數!
因為 \( \displaystyle N=1^2+2^2+C^2+D^2=5+C^2+D^2 \)  其中
5=4+1 而 C,D中的奇數平方除以4必餘1，C,D中的偶數平方為4的倍數
所以 N 除以4 後餘數為 2，因此 N 不是4的倍數。

由此可知C,D中的偶數成員必型如: 2p = 2x3 或 2x5 或 2x7...等 (2x1已經用過，就是B。2x2是 4，不合)
而奇數成員恰好為p

所以 \( \displaystyle N=1^2+2^2+C^2+D^2=5+C^2+D^2=5+p^2+(2p)^2=5+5p^2=5(1+p^2) \)
又再得到 N是5的倍數，於是真象大白，C,D中的奇數成員(也就是p)等於5，故  \( \displaystyle N=5(1+p^2)=5(1+5^2)=130 \)

(此題 N=130 是唯一解，沒有其他的答案了! )

109.6.16補充
109建功高中國中部也考這題，https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html
作者: thankquestion    時間: 2011-7-9 09:57

謝謝各位老師~
作者: jmfeng2001    時間: 2011-7-15 11:14     標題: 回復 4# 老王 的帖子

不好意思,請教王老師,在計算第3題的圖形中,為什麼要乘1/2呢,有點不解,可否麻煩老師說明一下,謝謝!
2 x 1/2 [(2π/3)x17+π/3x(25−17)]=14π
作者: diow    時間: 2011-8-10 17:05     標題: 第9題 速解法

引用:
原帖由 老王 於 2011-7-1 11:13 PM 發表
9
參考
http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... ext=1940&l=f&fid=30
共有六組，離心率為\( \frac{1}{2} \)，所求為
\(\displaystyle 6\times\frac{4}{\frac{54}{6}}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{3} \) ...

本題為大陸考題< 是沒有點  放在 長軸端點上>
   
修正 成簡單點  

將 d (F,L)=9  作倒數後,再乘以 12個 點

1/9  *12 = 4/3

[ 本帖最後由 diow 於 2011-8-10 07:13 PM 編輯 ]
作者: pizza    時間: 2012-1-8 16:45

這一題的解法實在太精采有趣了，容我將它整理一遍 :

感謝解法的分享,裡頭我有一個觀念想不太通,
為什麼C和D一個如果是2p,為什麼另一個就會是p呢?而不是p+2,p+4或者是其他奇數
謝謝
作者: johncai    時間: 2013-11-30 19:27     標題: 回復 6# 老王 的帖子

不好意思
我想確定一件事……
這題只要給的線是橢圓的準線的話
不管離心率是幾
答案都是一樣的吧？
謝謝
作者: tsusy    時間: 2013-12-1 20:59     標題: 回復 26# johncai 的帖子

其實有點不懂您的意思...

準線、方程式、離心率，基本上互相關聯

或者，我這麼理解好了，本題的解法可以不需要透過離心率的值，而直接從準線計算，，也就是 #24 給的速解

至於答案，離心率不同或方程式不同，自然會有不同的答案
作者: lyingheart    時間: 2013-12-15 18:25     標題: 回復 25# pizza 的帖子

因為 C 和 D 一個奇數一個偶數
作者: nanage    時間: 2014-5-22 11:07     標題: 第9題解法

利用直線與橢圓的交點解

附件: 中壢高中二招#9.pdf (2014-5-22 11:07, 80.09 KB) / 該附件被下載次數 7275
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2272&k=d26fff193ba01c7378146c09c700cfa7&t=1732279189
作者: subway    時間: 2014-7-20 16:51     標題: 回復 6# 老王 的帖子

老師不好意思 連結好像失效了 想知道這題怎麼解
謝謝!! 很好奇離心率是什麼!

[ 本帖最後由 subway 於 2014-7-20 04:52 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2014-7-20 19:47     標題: 回復 30# subway 的帖子

原本的連結應該是這一篇 王的夢田－圓錐曲線焦弦的性質 的性質2

離心率是什麼，可以自行 google

建議不要只是把結果背下來，該做的證明還是練練，證完了之後，它才會變成你的
作者: martinofncku    時間: 2014-9-28 09:58

想請問計算題第1題
試在坐標平面上描繪\( (x-|\;x|\;)^2+(y-|\;y|\;)^2=4 \)的圖形。

從題目所給方程式, x 用 -x 代、y 用 -y 代, 都會得到原方程式, 所以我覺得圖形應該對稱原點, 可是答案給的圖形卻沒有如此, 我想知道我是那裏想錯了...
作者: thepiano    時間: 2014-9-28 11:13     標題: 回復 32# martinofncku 的帖子

\({{\left( x-\left| x \right| \right)}^{2}}\)中的x用-x代入是\({{\left( -x-\left| -x \right| \right)}^{2}}={{\left( -x-\left| x \right| \right)}^{2}}={{\left( x+\left| -x \right| \right)}^{2}}\)
不會得到原方程
作者: kggj5220    時間: 2015-7-8 17:19     標題: 回復 25# pizza

雖然過超久了，但因為我一開始的問題跟你一樣，留下來給其他人參考
先舉個例子：
對N來說，假設C，D之中偶數的因數為\(2\times5\)，則N必有一個奇數的因數也就是5
那這時候有沒有可能有另一個比5小或大的奇數因數在裡面，答案是不可能的，因為大小關係已定
設N還有奇數因數3，則A、B、C、D即為1、2、3、5 (不合)
或設N還有奇數因數7，則A、B、C、D即為1、2、5、7 (不合)
所以只有奇數因數5，則A、B、C、D即為1、2、5、10\(=2\times5\)
所以才有以下假設
對N來說，C，D之中有一偶數\(2\times p\)之因數，則奇數因數即為\(p\)



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