標題: 100內湖高工 [打印本頁]

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作者: 八神庵    時間: 2011-6-17 14:55     標題: 100內湖高工

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作者: cally0119    時間: 2011-6-18 15:53     標題: 請教一下

第9,10題

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作者: nathan    時間: 2011-6-22 12:22     標題: 填充第九題

如附件

附件: [填充第九題] 100年內湖高工(填充第9題).rar (2011-6-22 12:47, 11.47 KB) / 該附件被下載次數 13155
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作者: chiang    時間: 2011-6-23 14:19

引用:

原帖由 八神庵 於 2011-6-17 02:55 PM 發表
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請問一下填充第10題的第二小題怎麼算?

謝謝

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作者: martinofncku    時間: 2011-6-23 15:55     標題: 填充第 11 題，和計算證明題第 2 題

請問：填充第 11 題，和計算證明題第 2 題怎麼做?謝謝。

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作者: 阿光    時間: 2011-11-23 05:31

請問一下填充第10題的第二小題怎麼算和計算證明題第1題(B)第 2 題怎麼做?謝謝

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作者: tsusy    時間: 2011-11-23 15:45

填充 10 橢圓

參數化 \( \begin{cases}
x & =\sqrt{2-t^{2}}\\
y & =t\\
z & =4-\sqrt{2-t^{2}}\end{cases} \), \( \begin{cases}
x' & =\frac{-t}{\sqrt{2-t^{2}}}\\
y' & =1\\
z' & =\frac{t}{\sqrt{2-t^{2}}}\end{cases} \), 令 \( t=1 \) 代入得，切線方向 \( (-1,1,1) \).


所以切線為 \( \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{1} \).

計算1

(A) 請用三角形面積夾擠扇形

(B) 微分，二階微分，判斷增減和凹向

http://www2.wolframalpha.com/input/?i=Plot[Sin[x]/x,+{x,+-10,+10}]

計算2
(A) 還是微分，二階微分

\( x'=-3\cos^{2}t\sin t \), \( y'=3\sin^{2}t\cos t \).

\( \frac{dy}{dx}=-\frac{\sin t}{\cos t}=-\tan t \), \( \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{dy}{dx}}{dt}\cdot\frac{1}{x'}=-\sec^{2}t\cdot\frac{1}{(-3)\cdot\cos^{2}t\sin t}=\frac{3}{\cos^{4}t\sin t} \).

http://www2.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%3Dcos^3+t,+y%3Dsin^3+t

(B) 面積 \( =4\left|\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}yx'-xy'dt\right|=2\left|\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-3\cos^{2}t\sin^{4}t-3\cos^{4}t\sin^{2}tdt\right|=6\int_{0}^{\frac{t}{2}}\cos^{2}t\sin^{2}tdt=\frac{3}{8}\pi \).

(C) 弧長 \( =4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}dt=12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos tdt=6 \).

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作者: natureling    時間: 2012-2-8 22:28

想請問一下 附件中，f"(r)<0.不是凹口向下,有最大值嗎??@@

引用:

原帖由 nathan 於 2011-6-22 12:22 PM 發表
如附件

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作者: weiye    時間: 2012-2-8 22:40     標題: 回復 8# natureling 的帖子

如果親手微分一下，就可以發現~

那只是小筆誤，因為 \(\displaystyle f\,''(r)=\frac{4}{r^3}+4\pi>0, \forall r>0\)

此題後半段，也可以用算幾不等式求得 \(f(r)\) 的最小值，及此時 \(r\) 與 \(h\) 的關係。

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作者: natureling    時間: 2012-2-9 10:43

汗顏....嗯...我微了發現了...來不及刪^^"....感謝weiye....

引用:

原帖由 weiye 於 2012-2-8 10:40 PM 發表
如果親手微分一下，就可以發現~

那只是小筆誤，因為 \(\displaystyle f\,''(r)=\frac{4}{r^3}+4\pi>0, \forall r>0\)

此題後半段，也可以用算幾不等式求得 \(f(r)\) 的最小值，及此時 \(r\) 與 \(h\) 的關係。 ...

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作者: fortheone    時間: 2012-2-18 23:55

提供第10題另一種做法
令切線L的方向向量\(\vec{l}=(a,b,c)\)且L過P(1,1,3)
(1) \(\vec{l}\cdot(1,0,1)=0\Rightarrow c=-a\)
(2) L與\(x^{2}+y^{2}-2=0\)只有一個交點\(\Rightarrow b=-a\)

由以上兩點得\(\vec{l}=(a,-a,-a)\) 平行 (1,-1,-1)
這樣就有方向向量了

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作者: tsungshin    時間: 2012-4-1 11:19     標題: 回復 5# martinofncku 的帖子

填充11.
(1)\[
\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{n}}  = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} + ...... + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{16}} + ......
\]
\[
> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} +  ......
\]
\[
= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}  +  ......   所以發散
\]
(2)
\[
\sum\limits_{n = 1}^\infty  {( - 1)^{n + 1} \frac{1}{n}}  = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}} + ......
\]
\[
Since    \ln (1 + x) = x - \frac{{x^2 }}{2} + \frac{{x^3 }}{3} - \frac{{x^4 }}{4} + \frac{{x^5 }}{5} - ...... + ( - 1)^n \frac{{x^{n + 1} }}{{n + 1}} + .....\forall x \in ( - 1,1]
\]
\[
Thus    \sum\limits_{n = 1}^\infty  {( - 1)^{n + 1} \frac{1}{n}}  = \ln (1 + 1) = \ln 2    所以收斂
\]
如有錯誤請予指正  感謝

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作者: shingjay176    時間: 2013-4-10 14:02     標題: 回復 7# tsusy 的帖子

計算題第二題畫圖，為何用微分，微分出來後，還是不會畫。。網址點進去，也看不到圖形。。

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作者: anyway13    時間: 2018-12-24 21:28     標題: 請教第9題

版上老師好!

想請問一下第九題,如果用算幾不等式做該怎樣做才會正確  (微分後知道答案是h=2r時 為所求)

但是用不同的算幾不等式會得到不同h 和r的關係式,請問觀念上哪裡犯錯了  ?

圖片附件: 47402.jpg (2018-12-24 21:28, 52.15 KB) / 該附件被下載次數 5104
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作者: thepiano    時間: 2018-12-24 23:13     標題: 回復 14# anyway13 的帖子

題意是體積固定時，何時表面積最小

您的法一，不等式右邊是定值，所以可行
而法二不等式右邊不是定值

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作者: anyway13    時間: 2018-12-25 18:29     標題: 回復 15# thepiano 的帖子

鋼琴老師好!   先謝謝您的答覆

在法一和法二右手邊的不等式,都有r和h的乘積

請問是如何判斷法一右手邊的乘積是定值而法二的右手邊卻不是呢?

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作者: thepiano    時間: 2018-12-25 19:36     標題: 回復 16# anyway13 的帖子

您好
體積\(V=\pi {{r}^{2}}h\)是定值
法一中的\(\sqrt[3]{\left( 2\pi {{r}^{2}} \right)\left( \pi rh \right)\left( \pi rh \right)}=\sqrt[3]{2{{V}^{2}}\pi }\)是定值

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作者: anyway13    時間: 2018-12-25 23:05     標題: 回復 17# thepiano 的帖子

懂了  懂了  原來是這樣

謝謝鋼琴老師指點

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