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標題: 100中正預校 [打印本頁]

作者: Herstein 時間: 2011-6-15 22:56 標題: 100中正預校

1.平行四邊形ABCD，P為內部一點，三角形PAB面積 =2，三角形PBC面積=5，求三角形PBD的面積?

2.試證任意五個正整數必有三數和為三的倍數

我想問這兩題，謝謝

圖片附件: 中正.png (2011-6-16 00:46, 14.99 KB) / 該附件被下載次數 5971
https://math.pro/db/attachment.php?aid=531&k=681ab8c88e9104e9baff238a84c238d7&t=1714099593

作者: weiye 時間: 2011-6-16 00:10

第 2 題：對於任意五個整數，被三除的餘數只有可能為 0,1,2
　　　　case i: 若此五數被三除的餘數是 0,1,2 三類的餘數都有，則
　　　　　　　　因為 \(3k_1+(3k_2+1)+(3k_3+2)\equiv 0\pmod3,\)
　　　　　　　　所以，必有三數和為三的倍數。

　　　　case ii: 若此五數被三除的餘數至多只有兩類，
　　　　　　　　則由鴿籠原理，至少有一類的個數會有三個或三個以上，
　　　　　　　　不管是哪一類的個數有三個以上，
　　　　　　　　因為 \(3k_1+3k_2+3k_3\equiv 0\pmod3,\)
　　　　　　　　　　 \((3k_1+1)+(3k_2+1)+(3k_3+1)\equiv 0\pmod3,\)
　　　　　　　　　　 \((3k_1+2)+(3k_2+2)+(3k_3+2)\equiv 0\pmod3,\)
　　　　　　　　所以，必有三個數字的和為三個倍數。

延伸：https://math.pro/db/thread-538-1-1.html

作者: 紫月 時間: 2011-6-16 00:55

第1題:
設平行四邊形面積 = A
由\( PAD + PBC = \frac{A}{2} ； BAD = \frac{A}{2} \)
PBD = BAD - PAD - PAB
\( = \frac{A}{2} - (\frac{A}{2}-5) -2 \)
=3

[ 本帖最後由紫月於 2011-6-16 01:01 AM 編輯 ]

作者: Herstein 時間: 2011-6-16 09:37 標題: 回復 3# 紫月的帖子

為什麼PAD+PBC = A/2 ??

作者: weiye 時間: 2011-6-16 09:49

ΔPAD+ΔPBC = (1/2)*AD*PE + (1/2)*BC*PF =(1/2)*BC*(PE+PF) = (1/2)*BC*EF = (1/2)*平行四邊形ABCD

作者: 紫月 時間: 2011-6-16 11:11

感謝瑋岳老師的說明，有圖形非常清楚！

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