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標題: 100玉井工商 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2011-6-11 19:58 標題: 100玉井工商

題目請見附件

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作者: bugmens 時間: 2011-6-11 19:58

3.
已知點P為橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1 \)上的點，\( A(6,0) \)，\( B(-3,4) \)，求\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為？

坐標平面上，已知點\( A(4,0) \)和\( B(3,3) \)，P是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1 \)上的動點，則\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為？
(100彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1113&page=1#pid3274)

8.
用紅、黑、黃3種顏色塗下列9個不同的區域如下圖，規定每區需塗一色，顏色可以重複使用，但相鄰部分不得塗同色，則共有幾種不同的塗法？
解答https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

10.
袋中有3個紅球，2個黑球與4個黃球，設每一球被取到的機會相等，今由袋中一次任取一球，每次取完後不放回，則紅球先取完的機率為？

分別有3紅,4白, 5黃,6黑球,試求白球先取完之機率?
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43871

袋中有3白4黃3紅,取出不放回
(1)求白球先取完的機率
(2)若X表白球先取完時的次數,求X的期望值
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43062

2.
圓內接凸四邊形ABCD，若四邊長分為\( \overline{AB}=a \)，\( \overline{BC}=b \)，\( \overline{CD}=c \)，\( \overline{DA}=d \)，證明圓內接四邊形ABCD的面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)，其中\( \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} \)
2011.6.13
感謝moun9告知，應是求圓內接四邊形面積
蔡聰明，四邊形的面積
http://www.google.com.tw/search? ... l2l0l0l0l0l90l172l2

3.
已知\( \displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{64}{sin \theta}+\frac{27}{cos \theta} \)的最小值為？
需列出算式，只寫答案不予計分
(我的教甄準備之路　廣義的柯西不等式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075)

作者: 紫月 時間: 2011-6-12 22:38

計算第三題想了好久還是想不到証法，請問誰可以幫忙解惑嗎

作者: Ellipse 時間: 2011-6-12 23:12

引用:

原帖由紫月於 2011-6-12 10:38 PM 發表
計算第三題想了好久還是想不到証法，請問誰可以幫忙解惑嗎

3.
已知\( \displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{64}{sin \theta}+\frac{27}{cos \theta} \)的最小值為？
[解答]
令 X=64/sina +27/cosa
由廣義柯西不等式得
X*X*[(sina)^2+(cosa)^2]>={ [ [64*64/(sina)^2]*(sina)^2]^(1/3)+ [ [27*27/(cosa)^2]*(cosa)^2]^(1/3) }^3

X^2 >= (16+9)^3

X>=125

作者: Herstein 時間: 2011-6-12 23:38

請問填充第6、7、9題

作者: weiye 時間: 2011-6-13 00:07

填充第 6 題：
設\(f(x)\)表定義為正整數的函數，且\(f(1)=999\)，又對\(n\ge 2\)的任意正整數\(n\)，恆有\(f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n)=n^2f(n)\)，求\(f(999)=\)？
[解答]
對任意 \(n\geq 2\)，恆有

　　\(\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)=n^2 f(n)\)

　　\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} f(k)=(n-1)^2 f(n-1)\)

將上兩式相減，可得

　　\(f(n)=n^2 f(n) - (n-1)^2 f(n-1)\)

　　\(\Rightarrow (n^2-1) f(n) = (n-1)^2 f(n-1)\)

　　\(\Rightarrow (n+1) f(n) = (n-1) f(n-1)\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow f(n) = \frac{n-1}{n+1} f(n-1)\)

所以，

　　\(\displaystyle f(n) = \frac{n-1}{n+1}\cdot f(n-1)\)

　　\(\displaystyle f(n-1) = \frac{n-2}{n}\cdot f(n-2)\)

　　\(\displaystyle f(n-2) = \frac{n-3}{n-1}\cdot f(n-3)\)

　　　　　\(\cdots\)

　　\(\displaystyle f(2) = \frac{1}{3}\cdot f(1)\)

將上列各式相乘，可得

　　\(\displaystyle f(n)=\frac{2\cdot 1}{(n+1)\cdot n}\cdot f(1)\)

故，

　　\(\displaystyle f(999) = \frac{2\cdot 1}{100\cdot 999}\cdot f(1)\)

　　　　　　\(\displaystyle=\frac{1}{500}\)

作者: Ellipse 時間: 2011-6-13 00:14

引用:

原帖由 Herstein 於 2011-6-12 11:38 PM 發表
請問填充第6、7、9題

#9
求\(\displaystyle \int_{-1}^7 (-2+\sqrt{-x^2+6x+7})dx=\)？
[解答]
令y=(-x^2+6x+7)^0.5
則y^2=-(x-3)^2+16
(x-3)^2+y^2=4^2
S {-1, 7} (-x^2+6x+7)^0.5  dx
=S {-1, 7} [16-(x-3)^2]^0.5  dx
(表示求(x-3)^2+y^2=4^2上半圓面積)
= 4*4Pi/2=8Pi
又S {-1,7}  (-2) dx = -2(7+1)=-16
所求 =S {-1, 7} [-2+ [16-(x-3)^2]^0.5 ]  dx
=8Pi -16

作者: weiye 時間: 2011-6-13 00:32

第 7 題：
袋中有編號1,2,3,4,5,6,7號的球各一個，設每一球被取到的機會相等，今由袋中一次任取一球，每次取完後均放回袋中再取，令\(a_n\)表取完\(n\)次後所取球號總和為3的倍數的機率,求\(a_4=\)？
[解答]
令 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\)

　 \(f(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\)

則

所求機率 \(\displaystyle =\frac{f(x) \mbox{ 展開式中} x \mbox{ 的 } 3,6,9,... \mbox{ 次方項的係數和}}{7^4}\)

　　　　 \(\displaystyle =\frac{\frac{1}{3}\left(f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)\right)}{7^4}\)

　　　　 \(\displaystyle =\frac{\frac{1}{3}\left(2401+\omega+\omega^2\right)}{2401}\)

　　　　 \(\displaystyle =\frac{800}{2401}\)

作者: Herstein 時間: 2011-6-13 00:48 標題: 回復 7# Ellipse 的帖子

想問一下
我是令\(y=-2+\sqrt{-x^2+6x+7}\)
然後把他換成圓方程式
所以所求為上半圓面積
我這樣哪裡觀念錯了呢?

作者: weiye 時間: 2011-6-13 08:25 標題: 回復 9# Herstein 的帖子

紅色部分的面積　－　藍色部份的面積值

等於

扣掉

作者: thankquestion 時間: 2011-6-13 11:39 標題: 回復 8# weiye 的帖子

請教一下weiye老師
如何去想f(x)展開式中的3，6，9....次方項的係數和
是那樣關係~~

謝謝回覆...

作者: thankquestion 時間: 2011-6-13 12:00

想通了~~謝謝^^

作者: weiye 時間: 2011-6-13 12:02 標題: 回復 11# thankquestion 的帖子

\((x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\)

　　\(=(x+x^2+\cdots+x^7)\cdot(x+x^2+\cdots+x^7)\cdot(x+x^2+\cdots+x^7)\cdot(x+x^2+\cdots+x^7)\)

若第一二三四個括弧分別選出 \(x^p, x^q,x^r,x^s\) 來相乘變成了 \(x^{p+q+r+s}\) 這一項，

就相當於第一二三四次取球時，

分別選出球號為 \(p,q,r,s\) 來，使得總和為 \(p+q+r+s\) 這一種可能，

所以，

看有多少 \(p,q,r,s\) 會使得 \(p+q+r+s=n\)，

就是看有多少種 \(x^p, x^q,x^r,x^s\) 來相乘變成了 \(x^{p+q+r+s}\,(=x^n)\) 這一項

也就是對應到 \(x^{p+q+r+s}\,(=x^n)\) 這一項的係數到底是多少。

也就是說～

\((x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\) 展開後的 \(x^n\) 項係數所表示的意義是「四次取球後，會使得球號和為 \(n\) 的取球方法數」

更深入閱讀的話～可以 google 關鍵字「生成函數」^__^

作者: thankquestion 時間: 2011-6-13 12:05

謝謝...很漂亮的解法...
受益良多~

作者: money 時間: 2011-6-23 07:15

第4題該如何解呢
煩請高手解惑
感謝

作者: 老王 時間: 2011-12-25 12:47 標題: 回復 15# money 的帖子

參考
h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=5311&prev=5317&next=5308　連結已失效

作者: vicky614 時間: 2013-1-17 15:29

請教第七題
如果不用生成函數,直接算,要怎麼算?
設A={1,4,7}, B={2,5}, C={3,6}
我是想成有三種可能: (1)4個C中的元素排列 (2)3個A+1個C中的元素排列, 3個B+1個C中的元素排列 (3)1個A中元素+1個B中元素+2個C中元素去排列
可是只有算出586個,沒算出答案的800個. 這是為什麼呢? 感謝回答.

引用:

原帖由 weiye 於 2011-6-13 12:32 AM 發表
第 7 題：

令 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\)

　 \(f(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\)

則 ...

作者: weiye 時間: 2013-1-17 17:10 標題: 回復 17# vicky614 的帖子

第七題

另解4：

分母＝\(7^4\)

分子：算 \(x_1+x_2+x_3+x_4=6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29\) 有多少組 \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) 解滿足 \(x_1, x_2, x_3, x_4\in\left\{1,2,3,4,5,6,7\right\}\)

　　　（略述：利用 H 列式～超過要扣，總和太大要改算反面和～）

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作者: vicky614 時間: 2013-1-18 11:14 標題: 回復 18# weiye 的帖子

感謝weiye老師,另解1~3已了解,另解4也已算出,感謝!

作者: peter0210 時間: 2015-1-3 19:27

weiye老師
想請教填充7，我照另解1的作法算出a3的機率是115/343
但是照另解2的作法算出a3的機率卻是       114/343  =          =！

這樣是要看哪一個呢？

另外我照另解一的算法一一去算出各個機率，可得到
x1=(2/7  3/7  2/7)
x2=(16/49  16/49  17/49)
x3=(115/343  114/343  114/343)
x4=(800/2401  801/2401  800/2401)

但卻和老師於另解二中說的3k和3k+2的機率會相同，有些出入
也同時發現只有x1和x4時，3k和3k+2的機率才會相同
是我哪裡算錯了嗎

作者: Superconan 時間: 2019-8-9 14:10 標題: 回復 20# peter0210 的帖子

請問這位老師問的問題有答案嗎？我也有相同疑惑

作者: weiye 時間: 2019-8-9 15:45 標題: 回復 21# Superconan 的帖子

看來是我的另解二想錯了，

3k與3k+2的球數相同，

不一定號碼數總和除3之後餘0與2的機率就會相同。 : )

沒想到剛好隔三次取球之後，機率剛好就會相同。

如附圖中的 x 與 y 相同，則隔三次取球之後機率亦相同。

圖片附件: x.png (2019-8-9 15:54, 16.03 KB) / 該附件被下載次數 4777
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5256&k=03f3abefad445480b5ff2c0873f27e3e&t=1714008272

作者: lyingheart 時間: 2019-8-9 20:42 標題: 回復 16# 老王的帖子

https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5121541
搬到這邊來了

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