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標題: 100建國中學 [打印本頁]
作者: rudin    時間: 2011-6-10 13:21     標題: 100建國中學

六位數定義好數為出現的數字至少兩次，例如222333，232443為好數，233334，123456不為好數，求六位數為好數的共有幾個？
作者: Ellipse    時間: 2011-6-10 17:16

引用:
原帖由 rudin 於 2011-6-10 01:21 PM 發表
六位數定義好數為出現的數字至少兩次，例如222333，232443為好數，233334，123456不為好數，求六位數為好數的共有幾個？
可分成(2,2,2) ,(3,3) ,(2,4) ,6 種
(i) (2,2,2) 如112233
   有C(10,3)*6!/(2!*2!*2!)=10800 個
   但0在首:有C(9,2)*5!/(2!*2!)=1080 個
   共有10800-1080=9720 個
(ii) (3,3) 如111222
    有C(10,2)*6!/(3!*3!) = 900 個
    但0在首:有C(9,1)*5!/(2!*3!)=90 個
    共有900-90=810 個
(iii) (2,4)如112222
    有2*C(10,2)*6!/(2!*4!)=1350 個
    但0在首:有C(9,1)*5!/4! +C(9,1)*5!/(3!*2!)=135 個
    共有1350-135=1215 個
(iv) 6 如111111
    有9 個
共有 9720+810+1215+9 =11754 個

有錯請指教!

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-6-10 05:18 PM 編輯 ]
作者: rudin    時間: 2011-6-11 09:44     標題: 100建中再兩題

(1)已知一橢圓與兩焦點及橢圓外一直線，說明如何畫出平行此線的切線 。
(2)橢圓外一點，說明如何畫出過此點的切線 。
作者: 老王    時間: 2011-6-11 10:32

(1)
令\( F_1,F_2 \)為橢圓的兩焦點，PQ為給定直線
求作此橢圓平行於PQ的切線
作法:
先作橢圓的長軸AB
以 \( F_2 \) 為圓心，AB為半徑作圓
過 \( F_1 \)作PQ的垂線，交圓於C、D
分別作 \( F_1C \)和 \( F_1D \) 的中垂線即為所求

證明
連接 \( F_2C \)交\( F_1C \)中垂線於K
\( KC=KF_1 \)
所以\( KF_1+KF_2=KC+KF_2=F_2C=AB \)
故K在橢圓上
又\( F_1C \)中垂線就是 \( \angle{F_1KF_2} \)的外角平分線
故為過K的切線

另一條同理

[ 本帖最後由 老王 於 2011-6-11 10:42 AM 編輯 ]

圖片附件: 100建中作橢圓切線1.jpg (2011-6-11 10:42, 31.28 KB) / 該附件被下載次數 5511
https://math.pro/db/attachment.php?aid=493&k=ed5a7bd810918d02a120dc0e46e9095c&t=1732272549

作者: 老王    時間: 2011-6-11 10:44

(2)
令\( F_1,F_2 \)為橢圓的兩焦點，P為橢圓外一點
求作過P作此橢圓的切線
作法:
先作橢圓的長軸AB
以 \( F_2 \) 為圓心，AB為半徑作圓
以P為圓心， \( PF_1 \)為半徑作圓，交上圓於C、D
分別作 \( F_1C \)和 \( F_1D \) 的中垂線即為所求

證明
留作習題

[ 本帖最後由 老王 於 2011-6-11 10:46 AM 編輯 ]

圖片附件: 100建中作橢圓切線2.jpg (2011-6-11 10:44, 20.62 KB) / 該附件被下載次數 5428
https://math.pro/db/attachment.php?aid=494&k=8fb7c32d6b113f84e8b2f99dd084169c&t=1732272549

作者: rudin    時間: 2011-6-11 11:00     標題: 謝謝

謝謝你的回覆！
作者: rudin    時間: 2011-6-11 11:03     標題: 再一題填充題

y=1/(1+x^2)上相異兩點P,Q，求直線PQ的斜率之最大值？
作者: 老王    時間: 2011-6-11 11:33     標題: 回復 5# rudin 的帖子

猜測是反曲點的切線斜率
作者: 老王    時間: 2011-12-29 20:21

引用:
原帖由 rudin 於 2011-6-11 11:03 AM 發表
y=1/(1+x^2)上相異兩點P,Q，求直線PQ的斜率之最大值？
我覺得這題出得有點問題，均值定理告訴我們必有一點切線斜率會等於\( \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \)
但可沒說對每一點都存在兩點使得\( \frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c) \)
舉例來說
\(\displaystyle Let f(x)=x^3 \)
\(\displaystyle f'(x)=3x^2 \ge 0 \)
\(\displaystyle but \forall a \ne b , \frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2 \)
只有在\(\displaystyle a=b=0 \)的時候才會等於0
所以這有問題，只能說是最小上界和最大下界。



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