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標題: 100板橋高中 [打印本頁]

作者: 老王 時間: 2011-6-7 19:56 標題: 100板橋高中

題目請參考美夢成真網站
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2530

先把會的寫下來

11題
有外角平分線，欲證之式又是調和型式，所以想到調和點列。
作角BAC的平分線交BC於D，那麼(B、C；D、E)為調和點列，所以有
\(\displaystyle \frac{1}{BE}+\frac{1}{CE}=\frac{2}{DE} \)
連接\(\displaystyle ND_1 \)，因為\(\displaystyle AD_1 \)為直徑，所以
\(\displaystyle \angle{AND_1}=90^o \)
\(\displaystyle \angle{AMN}=\angle{AD_1N} \)
\(\displaystyle \angle{MAP}=90^o-\angle{AMN}=90^o-\angle{AD_1N}=\angle{D_1AN} \)
所以AD也是\(\displaystyle \angle{D_1AD_2} \)的內角平分線
而AE和AD垂直，所以AE是\(\displaystyle \angle{D_1AD_2} \)的外角平分線
同樣有\(\displaystyle D_1、D_2；D、E \)為調和點列
\(\displaystyle \frac{1}{D_1E}+\frac{1}{D_2E}=\frac{2}{DE} \)
故得證

註一
(B、C；D、E)為調和點列的證明
內分比\(\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AC} \)
外分比\(\displaystyle \frac{BE}{EC}=\frac{BA}{AC} \)
故\(\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{BE}{EC} \)

註二
調和點列形成調和數列的證明
由\(\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{BE}{EC} \)
我們令\(\displaystyle BE=x,C=y,DE=z \)，上式可以寫為
\(\displaystyle \frac{x-z}{z-y}=\frac{x}{y} \)
\(\displaystyle xz-xy=xy-yz \)
\(\displaystyle yz+xz=2xy \)
\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{z} \)

這也就是調和點列名稱的由來
事實上從任一點到另外三點所成的三個線段，都形成調和數列，但是要注意方向。

[ 本帖最後由老王於 2011-6-7 08:18 PM 編輯 ]

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作者: 老王 時間: 2011-6-7 21:23

第5題，要補上立方體的邊長為10
假設B、C、D分別離地面高度為10,11,12
三角形BCD是邊長為\( 10\sqrt2 \)的正三角形
取BD中點M，那麼M的高度為11
並且CM垂直BD
若是三角形BCD在水平面的投影為三角形CEF，此時DF=BE=1
那麼可以看出BCD和水平面的夾角就是角DMF
也就是想成三角形BCD轉了這個角度
那麼這個正方體也是轉相同角度
取BCD的重心G，那麼AG和面BCD垂直，且知
\(\displaystyle AG=\frac{10\sqrt3}{3} \)
於是AG在鉛直方向的投影長度為
\(\displaystyle \frac{10\sqrt3}{3} \times \cos{DMF} \)
\(\displaystyle =\frac{10\sqrt3}{3} \times \frac{7}{5\sqrt2}=\frac{7\sqrt6}{3} \)
所以A的高度為
\(\displaystyle 11-\frac{7\sqrt6}{3} \)

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作者: 老王 時間: 2011-6-8 15:02

第2題
做了一個立方體模型就靈光一閃看出來了
基本上你去看一個立方體，最多只能看到三個面，這三個面有一個共同的頂點。
準此，意思就是其他三個面會被這三個面遮住，只要考慮這三個面的投影就好。
而且總投影面積，就是這三個面分別投影的面積。

假設這三個面分別是A、B、C
他們的面積都是\( a^2 \)
設\( \alpha、\beta、\gamma \)分別是A、B、C所在平面和投影面的銳夾角，那麼有投影面積
\(\displaystyle A'=A\cos{\alpha}、B'=B\cos{\beta}、C'=C\cos{\gamma} \)
所求為\( A'+B'+C' \)的最大值。

假設A、B、C所在平面分別是三個坐標平面，投影面為px+qy+rz+s=0
那麼\( \alpha、\beta、\gamma \)就會是(p,q,r)的方向角，所以有
\(\displaystyle \cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=1 \)
於是由柯西不等式
\(\displaystyle (\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma})(1+1+1) \ge (\cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma})^2 \)
所以最大陰影面積為
\(\displaystyle \sqrt3 a^2 \)

由上討論，知道如果長方體長寬高各為a,b,c
令A=bc,B=ac,C=ab
由柯西不等式
\(\displaystyle (\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma})(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2) \ge (bc\cos{\alpha}+ac\cos{\beta}+ab\cos{\gamma})^2 \)
最大陰影面積為
\(\displaystyle \sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2} \)

作者: 老王 時間: 2011-6-9 18:29

第10題
顯然A'C'跟平面BB'C'C垂直，所以A'C'垂直BC'於C'
過C作BC'的垂線，垂足D會是BC'的中點
那麼
\(\displaystyle A'C'=3\sqrt2，CD=\sqrt2 \)
所以P點位置在DC'上且為DP : PC'=1 : 3的地方
不過這題沒問P在哪，只要算最小值
最小值就是
\(\displaystyle \sqrt{(A'C'+CD)^2+DC'^2}=\sqrt{34} \)

[ 本帖最後由老王於 2011-6-9 06:30 PM 編輯 ]

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作者: witz 時間: 2011-6-10 17:18

這裡沒有"讚"可以按......
老王老師真的很厲害!

作者: David 時間: 2011-6-11 22:16

不好意思, 能不能請教一下各位第7題?我一直想不透這題:
若n有最小值, 設為k, 則S={5, 6, 7, .....k-1, k}. 將其任意分割, 設分割成A={5, 6, ... k-1}, B={k},
則B必不能滿足含有a, b, c三元素且ab=c???????

請問我是那裏弄錯. 謝謝

作者: 老王 時間: 2011-6-11 22:29 標題: 回復 6# David 的帖子

我跟你有同樣的疑惑，所以我在猜，題目是否應該是說在其中一個子集合內，會有a,b,c三元素滿足ab=c?????

作者: David 時間: 2011-6-11 22:53

感謝老王老師的回覆.

作者: JOE 時間: 2011-6-12 00:31

請問老王老師

假設A、B、C所在平面分別是三個坐標平面，投影面為px+qy+rz+s=0
那麼.......就會是(p,q,r)的方向角，所以有......

一向量與三平面的夾角之餘弦值平方和是等於1嗎

感謝指導

作者: 老王 時間: 2011-6-12 17:52 標題: 回復 9# JOE 的帖子

不是跟三平面，是跟三坐標軸的夾角
可以參考以前寫的
http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... &l=f&fid=17
有點簡略
或是請自行搜尋"方向角與方向餘弦"，應該會有不少結果

作者: waitpub 時間: 2012-3-7 14:57 標題: 回復 4# 老王的帖子

可以解釋一下這個式子嗎?謝謝
\(\displaystyle \sqrt{(A'C'+CD)^2+DC'^2}=\sqrt{34} \)

作者: 老王 時間: 2012-3-10 14:35

引用:

原帖由 waitpub 於 2012-3-7 02:57 PM 發表
可以解釋一下這個式子嗎?謝謝
\(\displaystyle \sqrt{(A'C'+CD)^2+DC'^2}=\sqrt{34} \)

把A'以C'D為軸轉到平面C'DC上，所求即為A'C

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作者: peter0210 時間: 2015-10-31 22:50 標題: 第五題另解

小弟只會硬解不會打字就有勞傷各位的眼睛了

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-10-31 11:54 PM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=3127&k=88a52dc443c4c54b58570287380f1bac&t=1732294600

作者: peter0210 時間: 2015-10-31 22:59

痾我不小心重複上傳了兩個圖檔可以麻煩版主幫我刪掉較大的檔案避免占掉過多的空間感謝

作者: cefepime 時間: 2015-11-1 18:52

第5題

如果覺得三維空間不易想像，可用向量幫助解題。

向量u 在非0向量v 上的投影長 = |向量u．向量v | / |向量v |

以點 A 為原點建立三維坐標，三個鄰角分別為 B (10, 0, 0)，C (0, 10, 0)，D (0, 0, 10)，其距離地平面分別為 10，11，12

令 A 在地平面之投影點為 A'，向量 A'A = (a, b, c)，|A'A| = √(a²+b²+c²) = h (即所求)

向量 A'B = (a, b, c) + (10, 0, 0) = (a+10, b, c)，其在向量 A'A (a, b, c) 上的投影長 = 10，故:

( a(a+10) + b² + c² ) / h = 10 (因兩向量夾銳角，可去掉絕對值)

10a + a² + b² + c²= 10h

10a = 10h - h² ...(1)，同理:

10b = 11h - h² ...(2)

10c = 12h - h² ...(3)

(1)² + (2)² + (3)²

100h² = (10h - h²)² + (11h - h²)² + (12h - h²)²

100 = (10 - h)² + (11 - h)² + (12 - h)²

h = (33 - √294) / 3 = 11 - 7√6/3

(另一根 >11，不合)

[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-11-1 07:04 PM 編輯 ]

作者: mathca 時間: 2015-12-22 11:54 標題: 回復 1# 老王的帖子

請問第1.題第(1)小題，
算式是：(i^2=-1,i^3=-i,i^4=1)
(1+i)^2011=C(2011,0)*i^2011+C(2011,1)*i^2010+C(2011,2)*i^2009+C(2011,3)*i^2008+...+C(2011,0)*i^1+C(2011,2011)*i^0
               =-i*C(2011,0)-C(2011,1)+iC(2011,2)+C(2011,3)+...+iC(2011,2010)*+C(2011,2011)
題目：C(2011,1)-C(2011,3)+C(2011,5)-C(2011,7)+....+C(2011,2009)-C(2011,2011)
         = - Re[(1+i)^2011]
      = - Re[2^1005*sqr(2)(-1/sqr(2)+i*1/sqr(2))]
      = 2^2005
與 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2530 不同，這裡是取 Im
不知哪裡出錯，雖然答案一樣。

作者: thepiano 時間: 2015-12-22 12:34 標題: 回復 16# mathca 的帖子

沒有出錯，也可以這樣做

作者: mathca 時間: 2015-12-22 14:22 標題: 回復 17# thepiano 的帖子

感謝。

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