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標題: 100彰化女中 [打印本頁]

作者: 八神庵    時間: 2011-5-27 16:20     標題: 100彰化女中

如附件
請各位用力享用
有去考的可以分享計算題嗎?

附件: 100彰女.pdf (2011-5-27 16:20, 97.5 KB) / 該附件被下載次數 6562
https://math.pro/db/attachment.php?aid=387&k=e0551cdc7184c66a53c83bee2b94cc67&t=1624237501
作者: bugmens    時間: 2011-5-27 16:24

以下資料供以後的考生參考:

初試最低錄取分數 68分
78,77,75,70,69,68,68
(68分有2人增額錄取參加複試)

60~63分  3人
50~59分 15人
40~49分 29人
30~39分 32人
20~29分 25人
10~19分 15人
0~ 9分   8人
缺考   2人

共計 136 人

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-27 04:50 PM 編輯 ]

附件: 100彰化女中初試成績.pdf (2011-5-27 16:50, 42.15 KB) / 該附件被下載次數 4447
https://math.pro/db/attachment.php?aid=388&k=89d243cb205625cba5400fb386b0e879&t=1624237501
作者: bugmens    時間: 2011-5-27 16:31

1.
化簡\( \displaystyle \frac{1}{sin 10^o}-4sin70^o \)
(奧數教程 高一卷 第11講三角恆等變形)


5.
設\( a_n=7^n+8^n+9^n \),其中\( n=1,2,3,... \),試求\( a_{100} \)除以512的餘數為?

設\( a_n=7^n+8^n+9^n \),其中\( n=1,2,3,... \),試求\( a_{99} \)除以729的餘數為?
(98高中數學能力競賽 台北市筆試一試題)
https://math.pro/temp/hs_math_98.rar

13.
已知\( x,y,z \)為正實數,且滿足\( xyz(x+y+z)=8 \),則\( (x+z)(y+z) \)的最小值為?

若三正數\( x,y,z \)滿足\( xyz(x+y+z)=25 \),則\( (x+y)(y+z) \)的最小值為?
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919

已知\( x,y,z \)是正数,且满足\( xyz(x+y+z)=1 \),则\( (x+y)(x+z) \)的最小值为?
(新奧數教程高二卷第2講 平均不等式和科西不等式,高中數學101 P353)


[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-27 05:48 PM 編輯 ]

圖片附件: 奧數教程高一第11講三角恆等變形.gif (2011-5-27 17:30, 16.19 KB) / 該附件被下載次數 4014
https://math.pro/db/attachment.php?aid=389&k=5f6fc56136c7fec38c415e02902468ad&t=1624237501


作者: hua77825    時間: 2011-5-27 16:38

能否請問一下老師們

第12 15 17嗎,感謝
作者: weiye    時間: 2011-5-27 17:48

第 15 題

由 9 個號碼中選出 6 個,

這六個號碼由小到大,分配給甲乙兩人的情況只有可能為

  乙乙甲甲甲乙,乙甲乙甲甲乙(←甲輸了最大數)

  乙甲甲乙乙甲(←甲輸了中間數)

  甲乙乙甲乙甲,甲乙乙乙甲甲(←甲輸了最小數)

所以,所求為 \(C^9_6\cdot5=420\) 種。
作者: bugmens    時間: 2011-5-27 18:56

12.
坐標平面上,已知點\( A(4,0) \)和\( B(3,3) \),P是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1 \)上的動點,則\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為?
[解答]
取\( F(-4,0) \),作射線\( \overline{FB} \)交橢圓於P
P即為所求

證明:
在橢圓上任取一點Q
\( F(-4,0),A(4,0) \)為橢圓的兩焦點,\( 2a=12 \)
由橢圓定義可知
\( \overline{PA}+\overline{PB}=2a-\overline{BF} \)
\( \overline{QA}+\overline{QF}=2a \)
△A'BP'的三角不等式
\( \overline{QB}+\overline{BF} \ge \overline{QF} \)

\( \overline{QB}-\overline{QF} \ge -\overline{BF} \)

\( 2a-\overline{QF}+\overline{QB} \ge 2a-\overline{BF} \)

\( \overline{QA}+\overline{QB} \ge \overline{PA}+\overline{PB} \)
當\( P=Q \)時等號成立



給定\( A(-2,2) \),已知B是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上的動點,F是左焦點,當\( \displaystyle \overline{AB}+\frac{5}{3}\overline{BF} \)取最小值時,求B的坐標?
(1999大陸高中數學競賽)
雖然這題看起來和上一題有點類似,但多乘了\( \displaystyle \frac{5}{3} \)倍,整個解法就完全不同。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-27 07:47 PM 編輯 ]

圖片附件: 第12題.gif (2011-5-27 19:32, 19.6 KB) / 該附件被下載次數 4072
https://math.pro/db/attachment.php?aid=390&k=58754930fc4bdce3c32ec4bf7280c1f7&t=1624237501


作者: 八神庵    時間: 2011-5-28 23:25

引用:
原帖由 hua77825 於 2011-5-27 04:38 PM 發表
能否請問一下老師們

第12 15 17嗎,感謝
第17題請見
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2519
作者: aonzoe    時間: 2011-5-30 10:52     標題: 回復 7# 八神庵 的帖子

看了附件仍然不懂為何:
arctan x=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+~~
可以請老師再說明一下嗎?
作者: weiye    時間: 2011-5-30 12:24     標題: 回復 8# aonzoe 的帖子

泰勒展開式.
作者: Herstein    時間: 2011-5-31 01:02

想請教第16題,感謝
作者: dream10    時間: 2011-5-31 07:45

第16題

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2519
作者: loui315    時間: 2011-5-31 10:28

可否請教第11題的解題方向

以及第18題始終算不出所公佈的答案
作者: 老王    時間: 2011-5-31 17:30     標題: 回復 12# loui315 的帖子

11題
假設\(\displaystyle \vec{AE}=k\vec{AC}=\frac{3k}{2}\vec{AB}+\frac{5k}{2}\vec{AD} \)
\(\displaystyle \frac{3k}{2}+\frac{5k}{2}=1 \)
\(\displaystyle k=\frac{1}{4} \)
所以\(\displaystyle AE=\frac{1}{2} \)
以及\(\displaystyle \vec{AE}=\frac{3}{8}\vec{AB}+\frac{5}{8}\vec{AD} \)
那就知道\(\displaystyle BE : DE=5:3 \)
設為\(\displaystyle BE=5t,DE=3t \)
由圓冪定理\(\displaystyle AE \times EC=BE \times ED \)
解出\(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{20}} \)
那麼\(\displaystyle BD=8t=\frac{4\sqrt{5}}{5} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2011-5-31 05:32 PM 編輯 ]
作者: 老王    時間: 2011-5-31 17:42     標題: 回復 12# loui315 的帖子

18題
A(1,0),F(2,0)
計算B
選一條漸近線就好(因為對稱),選斜率為\(\displaystyle \sqrt3 \)
直線\(\displaystyle y=\sqrt3(x-2) \)代入雙曲線求交點得到
\(\displaystyle B(\frac{5}{4},-\frac{3\sqrt3}{4}) \)
\(\displaystyle AB=\frac{\sqrt7}{2} \)
\(\displaystyle \angle{AFB}=60^o \)
\(\displaystyle 2R=\frac{AB}{\sin60^o}=\frac{\sqrt{21}}{3} \)
\(\displaystyle R=\frac{\sqrt{21}}{6} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2011-5-31 05:44 PM 編輯 ]
作者: Herstein    時間: 2011-6-1 00:02

計算題有兩題,我是憑印象記下來的
我只記得第一題,有一些敘述我記不太清楚,可能有所遺漏1. a,b 屬於實數, lim   f(x) / (x-1) =a , lim f(x) / (x-2) = b ,
                                                                                                                        x->1                         x->2
(1)  求 f(1) +f(2)
(2) ab>0 , 證明: f(x) =0 在 1<= x <= 2 至少有三個實根
作者: milkie1013    時間: 2011-6-1 13:13     標題: 想請教填充一.3和填充二 3.6

想請教填充一.3和填充二 3.6
謝謝大家!!
作者: 老王    時間: 2011-6-1 14:53     標題: 回復 16# milkie1013 的帖子

填充一3
前後都趨近正無限大

填充二3
只看取出情況,意即只看取到的號碼狀況,分成
4:C(7,1)=7
3+1:C(8,1)*C(9,1)=72
2+2:C(9,2)=36
2+1+1:C(9,1)*C(9,2)=324
1+1+1+1:C(10,4)=210
全部相加得到649

填充二6
\(\displaystyle a_n=\log_9 n=\frac{1}{2}\log_3 n \)
所以n要為3的指數,有1,3,9,27,81,243,729
總和為\(\displaystyle \frac{1}{2}(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{2} \)
作者: milkie1013    時間: 2011-6-1 21:41     標題: sorry~~我發現我是要問填充二.2

引用:
原帖由 老王 於 2011-6-1 02:53 PM 發表
填充一3
前後都趨近正無限大

我的想法是:上下同乘(x^2-x+1)^(1/2)+x
如此一來分子變成1-x
分母變成(x^2-x+1)^(1/2)+x
再上下同除x
那就變成-1/2
那A安捏??
...

作者: 老王    時間: 2011-6-1 22:38     標題: 回復 18# milkie1013 的帖子

填充一3如果用反有理化,問題出在同除以x的時候,
因為x是負值,所以拿到根號裡面時,外面要留一個負號,這樣分母就是0了。

填充二2
意思就是要解2^x+x^2=2011
分成x>0和x<0來看
在x>0,2^x和x^2都嚴格遞增,所以只有一解,然後就代數字
x=10,2^10+10^2<2011
x=11,2^11+11^2>2011
所以這邊的解的高斯值為10
當x<0,0<2^x<1,所以不大需要去管他
(-44)^2=1936,(-45)^2=2025
所以解介於-44,-45之間,所以高斯值為-45
作者: Ellipse    時間: 2011-6-1 22:39     標題: 回復 18# milkie1013 的帖子

填充二.2
2*x=2^x+x^2=2011
令f(x)=2^x+x^2-2011
因f(10)=2^10+10^2-2011<0且f(11)=2^11+11^2-2011>0
由勘根定理得在10~11間至少有一實根x使得f(x)=0
所以x=10. ...   ,[x]=10

又因f(-44)=2^(-44)+(-44)^2-2011<0且f(-45)=2^(-45)+(-45)^2-2011>0
由勘根定理得在-45~-44間至少有一實根x使得f(x)=0
所以x=-44. ...   ,[x]=-45
所求=10或-45

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-6-1 10:40 PM 編輯 ]
作者: milkie1013    時間: 2011-6-1 23:20     標題: 回復 19# 老王 和 Ellipse 的帖子

感謝兩位!!

[ 本帖最後由 milkie1013 於 2011-6-1 11:23 PM 編輯 ]
作者: maymay    時間: 2011-6-7 22:38     標題: 請教一.填充的4和5,謝謝


作者: t3712    時間: 2012-3-29 15:10

填充5

各項分子分母同除以n=>離曼和的形式

原式=積分從0到1 (2+x)^(-2) dx
作者: weiye    時間: 2012-3-29 19:10     標題: 回復 22# maymay 的帖子

第 4 題:



綠色區域面積=\(\triangle ABC\) 的面積=\(4\)

圖片附件: qq.png (2012-3-29 19:10, 19.71 KB) / 該附件被下載次數 2645
https://math.pro/db/attachment.php?aid=974&k=f2ce5d4bdc9eaa69d29e33da7dc41db2&t=1624237501


作者: t3712    時間: 2012-3-30 11:41

小弟想請問填充二.1.

我自已的想法是 n+2| 2011-n,得到 n+2|2013,但是要扣掉n+2=1與n+2=2013兩種

2013=3*11*61,所以n+2=3,11,33,61,183,671

所以有6種情況:2011=1+3*671=9+11*182=31+33*60=59+61*32=...=669+671*2

但是因為整個圖形對對角線對稱,每個數應出現兩次,所以2011總共出現12次。但是答案是:6種。

我自己想了一天,不知道某個地方沒想到,請老師們幫我看看,感謝^^。

[ 本帖最後由 t3712 於 2012-3-30 12:18 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2012-3-30 17:10     標題: 回復 25# t3712 的帖子

那六個數字沿對角線對稱之後~ 還是相同的那六個啦,本來就有算到,不需要再乘兩倍。


填充二的第 1 題:

第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元素是 \(2i+(j-1)\cdot(i+1)=(i+1)(j+1)-2\)

若 \((i+1)(j+1)-1=2011 \Rightarrow (i+1)(j+1)=2013=3\cdot11\cdot61\)

因此 \((i+1, j+1)\) 的非負整數解有 \((1+1)(1+1)(1+1)=8\) 組

但因為 \(i,j\) 皆為正整數,所以 \(i+1=1\) 與 \(j+1=1\) 都不合,

所以,共有 \(6\) 組 \((i,j)\) 的正整數解,會使得第 \(i\) 列第 \(j\) 行為 \(2011.\)
作者: t3712    時間: 2012-3-30 19:56     標題: 回復 26# weiye 的帖子

原來如此,是我多慮了

感謝瑋岳老師
作者: mandy    時間: 2012-4-1 20:44     標題: 回復 6# bugmens 的帖子

請問1999大陸競賽此題如何解?
作者: Ellipse    時間: 2012-4-1 21:25

引用:
原帖由 mandy 於 2012-4-1 08:44 PM 發表
請問1999大陸競賽此題如何解?
令a=5 ,b=4 ,c=3 ,e=c/a=3/5為離心率
假設L:x=-a^2/c為橢圓的左準線
依定義知(1/e)*BF=(5/3)BF=d(B,L)
假設BD垂直L,垂足為D點
當D,B,A為一直線時,(5/3)*BF+BA=DB+BA有最小值
此時B點的y坐標為2,代入x^2/25+y^2/16=1
解得x=-(5/2)*3^0.5
此時B(-(5/2)*3^0.5,2)
作者: bugmens    時間: 2012-4-8 05:26

感謝Ellipse幫忙解題,我補充書上的解答
給定\( A(-2,2) \),已知B是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上的切點,F是左焦點,當\( \displaystyle \overline{AB}+\frac{5}{3} \overline{BF} \)取最小值時,求B的坐標
(奧數教程 高二 第15講 二次曲線)

圖片附件: 奧數教程高二第15講二次曲線.gif (2012-4-8 05:26, 96.39 KB) / 該附件被下載次數 2219
https://math.pro/db/attachment.php?aid=985&k=59644211cd30d05f482808be285b975f&t=1624237501


作者: shingjay176    時間: 2012-4-27 16:46

一填充題,第二題要如何下筆勒,請各位老師指點
作者: Ellipse    時間: 2012-4-27 18:49

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-4-27 04:46 PM 發表
一填充題,第二題要如何下筆勒,請各位老師指點
Sigma{ n=1 to ∞} (-1)^n+1 /(4n-2)
=1/2 - 1/6 + 1/10 -1/14 +1/18-..........+..............
=(1/2)*(1- 1/3  + 1/5 -1/7 + 1/9 -........+...........)
=(1/2 )*π/4 =π/8


π/4 =1- 1/3  + 1/5 -1/7 + 1/9 -........+...........為萊布尼茲級數



作者: shingjay176    時間: 2012-4-27 18:55     標題: 回復 32# Ellipse 的帖子

感謝解答。
作者: bluemo    時間: 2012-5-16 21:11

想請教各位老師
填充二、8和11
作者: Ellipse    時間: 2012-5-16 21:29

引用:
原帖由 bluemo 於 2012-5-16 09:11 PM 發表
想請教各位老師
填充二、8和11
#8
(28,2009)=7
28/7=4
為正方形

#11
前面有回答過了
請爬文~
作者: 阿光    時間: 2012-6-9 07:23

想請教填充第2題的詳解,謝謝
作者: anyway13    時間: 2018-1-13 12:31     標題: 請教第八題

請問版上老師,第八題的答案為什麼不會是正28邊形呢?

爬文後老師的算式28/7=4然後得到正方形的結論

真的不懂,請賜教.
作者: tsusy    時間: 2018-1-13 12:53     標題: 回復 37# anyway13 的帖子

第8題,想不通的時候,可以把數字改小,改去容易計算可驗證的數據

從計算之中,自己就會發現原因

例: \( z^6 = 1 \) 的六個根分別為 \( t_k = \cos \frac{k\pi}{3} + i \sin \frac{k\pi}{3} \), \( k=1,2,3,4,5,6 \)

\( t_1^8 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \)
\( t_2^8 = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \)
\( t_3^8 = 1 \)
\( t_4^8 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \)
\( t_5^8 = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \)
\( t_6^8 = 1\)

發生了什麼事,還有原題怎麼做,就留給看的人自己想完、補完了
作者: anyway13    時間: 2018-1-13 15:30     標題: 回復 38# anyway13 的帖子

清楚明瞭,謝謝寸絲老師
作者: satsuki931000    時間: 2018-12-15 21:48

想請問第13題
作者: thepiano    時間: 2018-12-15 23:01     標題: 回復 40# satsuki931000 的帖子

第 13 題
bugmens 老師有提示
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1113&page=1#pid3271
作者: 王重鈞    時間: 2018-12-17 19:19     標題: # 第十三題

另解參考

圖片附件: BFC4EC0B-C23D-4B8A-B0E8-B3109A019508.jpeg (2018-12-17 19:19, 150.53 KB) / 該附件被下載次數 1376
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4760&k=747eb174fa38285584b9d0205bb2eae9&t=1624237501


作者: Lyndagm    時間: 2021-3-29 19:42     標題: 各位老師好~

想請教彰女的第22題
一直都不太會這種題型~
想問問各位老師還有沒有類似題能夠讓我一起練習的呢?
十分感謝
作者: satsuki931000    時間: 2021-3-30 08:19     標題: 回復 43# Lyndagm 的帖子

你的22是哪題
作者: Lyndagm    時間: 2021-3-30 21:44     標題: 回復 44# satsuki931000 的帖子

我後來有問到這題的解法了,是自己不小心卡關~
十分感謝您回覆我~




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