標題: 100台南二中 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2011-5-9 18:31     標題: 100台南二中

以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 82分
1名正式教師，取10名參加複試
92,87,86,84,84,84,84,82,82,82

其他，
80分     1人
70~79分 20人
60~69分 25人
50~59分 37人
40~49分 43人
30~39分 23人
20~29分 25人
10~19分  5人
  0~ 9分 14人
缺考     3人

共計 206 人

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=340&k=5143a179dff209f3b37af908aef9043b&t=1732274797

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作者: bugmens    時間: 2011-5-9 18:45

填充題
4.\( a、b、c、x、y、z \in R \)，且\( a^2+b^2+c^2=16 \)，\( x^2+y^2+z^2=25 \)，則\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 2 \cr    a & b & c \cr      x & y & z \cr} \right|\ \)之絕對值的最大值為？

若\( a^2+b^2+c^2=9 \)，\( x^2+y^2+z^2=14 \)，且\( a,b,c,x,y,z \)均為實數，則
(1)\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 3 \cr    a & b & c \cr      x & y & z \cr} \right|\ \)之Max？
(2)此時\( ax+by+cz \)之值為？
(96豐原高商，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24772)

若\( a^2+b^2+c^2=9 \)，\( x^2+y^2+z^2=14 \)且\( a,b,c,x,y,z \)皆為實數，則\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 3 \cr    a & b & c \cr      x & y & z \cr} \right|\ \)之最大值為？
(96斗南高中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=34927)

設\( x,y,a,b,p,q \)皆為實數且\( x^2+y^2=24 \)，\( a^2+b^2=15 \)，\( p^2+q^2=28 \)，試求行列式\( \left|\ \matrix{x & y & -5 \cr    a & 1 & b \cr      -6 & p & q \cr} \right|\ \)之最小值？
(97淡水商工，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=50017)



10.如右圖，△ABC中，\( ∠C=90^o \)，\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \)，\( ∠ACD=\alpha \)，\( ∠DCE=\beta \)，\( ∠ECB=\gamma \)，求\( \displaystyle \frac{sin \alpha \cdot sin \gamma}{sin \beta} \)？
(解答出自徐氏規劃2A　P2.5-8)
令\( \overline{AC}=b \)，\( \overline{BC}=a \)，\( \overline{CD}=x \)，\( \overline{CE}=y \)
\( \displaystyle \frac{1}{2}bx sin \alpha=\frac{1}{2}xy sin \beta=\frac{1}{2}ya sin \gamma=\frac{1}{3}△ABC=\frac{\frac{1}{2}ab}{3} \)
∴\( \displaystyle sin \alpha=\frac{2△}{3bx}=\frac{a}{3x} \)，\( \displaystyle sin \beta=\frac{2△}{3xy}=\frac{ab}{3xy} \)，\( \displaystyle sin \gamma=\frac{2△}{3ay}=\frac{b}{3y} \)

\( \displaystyle \frac{sin \alpha sin \gamma}{sin \beta}=\frac{\frac{a}{3x}\times \frac{b}{3y}}{\frac{ab}{3xy}}=\frac{1}{3} \)

這裡還有三題圖形類似的題目，請一併準備
面積法，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1112


證明題
1.
設非零實數\( x,y,z \)滿足\( \displaystyle x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \)，試證：\( x,y,z \)中至少有一個為1。

有三個正數它們的乘積為1，且此三數的和大於它們的倒數和。試證明：這三個正數中恰有一數大於1。
(建中通訊解題第5期)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-31 07:43 PM 編輯 ]

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作者: 老王    時間: 2011-5-9 20:13

計算二

\(\displaystyle \frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2} \)

\(\displaystyle tan \frac{A}{2} tan \frac{B}{2} + tan \frac{A}{2} tan \frac{C}{2}+ tan \frac{B}{2} tan \frac{C}{2}=1 \)

\(\displaystyle tan \frac{A}{2} tan \frac{B}{2} + tan \frac{B}{2} tan \frac{C}{2}=\frac{2}{3}=2 tan \frac{A}{2} tan \frac{C}{2} \)

\(\displaystyle cot \frac{C}{2}+cot \frac{A}{2}=2 cot \frac{B}{2} \)

\(\displaystyle \frac{s-c}{r}+\frac{s-a}{r}=2 \frac{s-b}{r} \)

\(\displaystyle a+c=2b \)

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作者: chu1976    時間: 2011-5-9 20:17     標題: 第10題另解

可利用面積與和角公式來解此題
\( \displaystyle \frac{a \Delta ACD}{a \Delta ACE}=\frac{1}{2}=\frac{\overline{CA}\overline{CD}sin \alpha}{\overline{CA}\overline{CE}sin(\alpha+\beta)} \)，\( \displaystyle \frac{a \Delta BCE}{a \Delta BCD}=\frac{1}{2}=\frac{\overline{CB}\overline{CE}sin \gamma}{\overline{CB}\overline{CD}sin(\gamma+\beta)} \)

\( \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}=\frac{sin \alpha sin \gamma}{sin(\alpha+\beta)sin(\gamma+\beta)}=\frac{sin \alpha sin \gamma}{cos \gamma cos \alpha} \)

\( sin \beta=cos(\alpha+\gamma)=cos \alpha cos \gamma-sin \alpha sin \gamma \)

∵\( \displaystyle \frac{sin \beta}{sin \alpha sin \gamma}=\frac{cos \alpha cos \gamma-sin \alpha sin \gamma}{sin \alpha sin \gamma}=\frac{cos \alpha cos \gamma}{sin \alpha sin \gamma}-1=4-1=3 \)

∴\( \displaystyle \frac{sin \alpha sin \gamma}{sin \beta}=\frac{1}{3} \)

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作者: milkie1013    時間: 2011-5-10 17:59     標題: 請教填充6.8的答案...

第6題  我算155  ??
第8題  我算(27+1)*111*45*2!=279720

請問這樣正確嗎? @@

沒有正確解答心慌慌...
麻煩各位高手指點...謝謝大家!!

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作者: waitpub    時間: 2011-5-11 09:30     標題: 來互對一下答案吧

第1題 0<=x<=2或x>=4
第2題 8/5
第3題 2x+y+2z=3或2x+y-2z=-1
第4題 60
第5題 3
第6題 155
第7題 2或(-12+2根號13i)/7或(-12-2根號13i)/7
第8題 99900
第9題 2+根號3
第10題 1/3
以上的答案根據美夢成真版thepiano老師的答案修正

[ 本帖最後由 waitpub 於 2011-5-11 01:10 PM 編輯 ]

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作者: hua77825    時間: 2011-5-11 10:25     標題: 回復 6# waitpub 的帖子

第6題 應該是155

請問一下W大

第8題我算是54945 不知道對不對@_@

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作者: milkie1013    時間: 2011-5-11 11:27     標題: 回復 6# waitpub 的帖子

第二題似乎是 8/5 ?
第七題複數根不需要寫嗎(題目沒說"實根"
第九題 2+根號3

請問第八題怎麼寫呢?

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作者: waitpub    時間: 2011-5-11 12:55

第8題
請參考這，版上老師跟我都算出99900
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2483

引用:

原帖由 hua77825 於 2011-5-11 10:25 AM 發表
第6題 應該是155

請問一下W大

第8題我算是54945 不知道對不對@_@

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作者: milkie1013    時間: 2011-5-11 13:56

感謝您~

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作者: waitpub    時間: 2011-5-11 19:05     標題: 回復 3# 老王 的帖子

請問這一步驟是怎麼來的?
\(\displaystyle cot \frac{C}{2}+cot \frac{A}{2}=2 cot \frac{B}{2} \)

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作者: 老王    時間: 2011-5-11 19:47

引用:

原帖由 waitpub 於 2011-5-11 07:05 PM 發表
請問這一步驟是怎麼來的?
\(\displaystyle cot \frac{C}{2}+cot \frac{A}{2}=2 cot \frac{B}{2} \)

就上一式同乘以
\(\displaystyle cot \frac{A}{2} cot \frac{B}{2} cot \frac{C}{2} \)

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作者: Jacob    時間: 2011-5-12 14:37     標題: 想請問填充第一題、證明題第一題，謝謝。

想請問填充第一題、證明題第一題，請大家幫幫忙，謝謝。

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作者: weiye    時間: 2011-5-12 15:18

填充第 1 題：若 \(f(x)=\left(x-3\right)^2-1\)，求 \(f(|x|)=|f(x)|\) 的實數 \(x\) 的解。

解答提示：

先畫 \(y=(x-3)^2-1\)

　　　

再畫 \(y=f(|x|)\)

　　　

最後畫 \(y=|f(x)|\)

　　　

這樣應該就可以看出當 \(x\) 為何的時候 \(f(|x|)=|f(x)|\) 了！

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作者: weiye    時間: 2011-5-12 15:25

證明題第 1 題：設非零實數 \(x,y,z\) 滿足 \(\displaystyle x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)，試証：\(x,y,z\) 中至少有一個為 \(1\)。


證明提示：

題目要証 \(x,y,z\) 至少有一個為 \(1\)，

也就是要證 \((x-1)(y-1)(z-1)=0\)

所以，就讓我們把 \((x-1)(y-1)(z-1)\) 乘開來看看，

就會發現～～～～

\(\displaystyle (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1=xyz\left[1-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right]+(x+y+z)-1=0\)

阿....好吧，把它倒著寫回來，重新描述一下，就是一個完整的証明了。＝＝

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作者: superlori    時間: 2011-5-12 15:54     標題: 回復 13# Jacob 的帖子

填充1.
weiye老師已經給了很好的方法，
我來用個純代數的解法好了
f(x)=(x-3)^2-1=(x-2)(x-4)
f(│x│)=(│x│-2)(│x│-4)以及│f(x)│=│(x-2)(x-4)│=│x-2││x-4│

題目所求即為(│x│-2)(│x│-4)=│x-2││x-4│
現在開始考慮其值的正負，因此我們x=0,2,4這三個點，分4個區間討論
(1)x>=4
(2)2=<x<4
(3)0=<x<2
(4)x<0
討論一下就可以得到答案了

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作者: ejo3vu84    時間: 2011-5-12 17:19

請教各位老師
第七題解x有比較快一點的方法嗎!?
我是硬解可以解出
但感覺真的超容易出錯~~
謝謝

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作者: weiye    時間: 2011-5-12 17:28     標題: 回復 17# ejo3vu84 的帖子

第 7 題可以參考 thepiano 老師的漂亮解法：http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2483#p5782

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作者: Jacob    時間: 2011-5-12 22:33     標題: 感謝

感謝瑋岳老師 以及 superlori 老師的解說，我想我該好好念點書了。

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作者: waitpub    時間: 2011-5-13 14:20     標題: 回復 15# weiye 的帖子

數學板上有老師利用根與係數來證，也很漂亮!

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作者: wbyeombd    時間: 2011-5-13 21:08     標題: 回復 6# waitpub 的帖子

請教一下大家，第五題該怎麼做呢？

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作者: weiye    時間: 2011-5-14 02:03     標題: 回復 21# wbyeombd 的帖子

第五題：設函數 \(f(x)=2x^3-3ax^2+6(a-1)x-4\) 的圖形與 \(x\) 軸正向相切，且在切點處 \(f(x)\) 有最小值，求 \(a\) 之值。

解答提示：

先由 \(f\ '( x) =0\) 找出 \(x=1\) or \(a-1\)

因為首項係數為正，所以圖形為


題目說與正向 x 軸相切的時候， \(f(x)\) 有最小值，所以


情況一： 若 \(a-1 <1\)，即 \(a<2\)，則

　　　　由 \(f(1) = 0\)，可解得 \(\displaystyle a=\frac{8}{3}\)，不合。

情況二： 若 \(1<a-1\)，即 \(a>2\)，則

　　　　由 \(f( a-1) = 0\)，可解得 \(a= 0\) or \(3\)


所以 \(a=3\)

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-7 21:15     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

填充第二題詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:21 PM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=452&k=cca9de3ce64842bfea2c60c99661fdc4&t=1732274797

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=677&k=d9557ea1c80b50fff296e9da47f55594&t=1732274797

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-8 01:38     標題: 回復 23# nanpolend 的帖子

填充第3題詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:22 PM 編輯 ]

附件: 南二中03.rar (2011-6-8 01:38, 10.69 KB) / 該附件被下載次數 7094
https://math.pro/db/attachment.php?aid=454&k=70fd3ca529e71e1df6cd80b2fe7219bf&t=1732274797

附件: 南二中03.pdf (2011-6-8 01:38, 310.5 KB) / 該附件被下載次數 7398
https://math.pro/db/attachment.php?aid=455&k=e265d5e057b8f34aa08eabb0cabb5718&t=1732274797

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=678&k=2f9d50b2491ac4745495efd42ea18c73&t=1732274797

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-8 08:20     標題: 回復 24# nanpolend 的帖子

填充第6題詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:23 PM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=456&k=ddda1a26450125358c337f5a8dd81875&t=1732274797

附件: 100南二中06.pdf (2011-6-8 08:20, 301.95 KB) / 該附件被下載次數 7283
https://math.pro/db/attachment.php?aid=457&k=423ae8993b3baaa9067b25f8a0b1261c&t=1732274797

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 12:23, 20.48 KB) / 該附件被下載次數 4915
https://math.pro/db/attachment.php?aid=679&k=500e318002fcd9159758cd6633de5de9&t=1732274797

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-8 09:18     標題: 回復 25# nanpolend 的帖子

填充第7題詳解
部份轉貼自美夢成真

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:24 PM 編輯 ]

附件: 100南二中07.rar (2011-6-8 09:18, 12.46 KB) / 該附件被下載次數 6859
https://math.pro/db/attachment.php?aid=458&k=ed2303358062b8929a6c91f0a3986c51&t=1732274797

附件: 100南二中07.pdf (2011-6-8 09:18, 238.79 KB) / 該附件被下載次數 6932
https://math.pro/db/attachment.php?aid=459&k=f73ef8ece52989eaa9aec8b1f2c22f3b&t=1732274797

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 12:24, 26.74 KB) / 該附件被下載次數 4733
https://math.pro/db/attachment.php?aid=680&k=635aef58d5c5324b2757d4630e4be68e&t=1732274797

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-8 09:39     標題: 回復 26# nanpolend 的帖子

填充第8題詳解
轉貼美夢成甄
由 thepiano 發表於 2011年 5月 9日, 21:29
更快的方法來了  ，感謝 Ellipse 兄提供
(法一)
可以先固定個位數是1,十位,百位數可放的數字有20個情形
(3,6,9配2,5,8以及4,7 共3*3*2!+2!=20)記得要排+471
所求=20*(1+2+3+.....+9)*(1+10+100)=99900(各種組合的和)
(法二)
還有小弟發現一件事,最小123,最大987,共有 (3*3*3+3)*3!=30*6=180組(記得要排+471)
所求=[(123+987)/2]*180=99900 (平均數*項數)

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-6-8 02:41 PM 編輯 ]

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作者: weiye    時間: 2011-6-8 09:54     標題: 回復 27# nanpolend 的帖子

填充第 8 題：https://math.pro/db/thread-1102-1-1.html

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-8 10:09     標題: 回復 27# nanpolend 的帖子

感謝weive老師題示
填充題第四題詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:25 PM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=460&k=3e445b4245d389f71c14624640d1a566&t=1732274797

附件: 南二中04.pdf (2011-6-8 10:09, 308.37 KB) / 該附件被下載次數 6709
https://math.pro/db/attachment.php?aid=461&k=e097faed8eff20ad442b8aacf99c81ce&t=1732274797

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 12:25, 46.51 KB) / 該附件被下載次數 4970
https://math.pro/db/attachment.php?aid=681&k=14093b8ddfb945c95cb9c8628174338a&t=1732274797

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-9 00:19     標題: 回復 29# nanpolend 的帖子

感謝weive老師題示
填充題第9題詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:27 PM 編輯 ]

附件: 100南二中09.rar (2011-6-9 00:19, 53.14 KB) / 該附件被下載次數 6615
https://math.pro/db/attachment.php?aid=463&k=6ef3c1e56cff16f81a9f6c1b98659e4d&t=1732274797

附件: 100南二中09.pdf (2011-6-9 00:19, 391.37 KB) / 該附件被下載次數 7568
https://math.pro/db/attachment.php?aid=464&k=6ea21164ddc10986a7134a7f7f3043e6&t=1732274797

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=682&k=53f5c477764fbd4dcd8b9006f4ad656b&t=1732274797

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-9 04:26     標題: 回復 15# weiye 的帖子

weive老師證明解法漂亮

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作者: chiang    時間: 2011-6-9 09:58

引用:

原帖由 老王 於 2011-5-9 08:13 PM 發表
計算二

\(\displaystyle \frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2} \)

\(\displaystyle tan \frac{A}{2} tan \frac{B}{2} + tan \frac{A}{2} tan \frac{C}{2}+ tan \frac{B}{2} tan \frac{C}{2}=1 \)

...

對不起
可以請教一下最後倒數第二個步驟是怎麼來的嗎?

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作者: weiye    時間: 2011-6-9 15:29

引用:

原帖由 chiang 於 2011-6-9 09:58 AM 發表


對不起
可以請教一下最後倒數第二個步驟是怎麼來的嗎?

\(\displaystyle\overline{AF}=\frac{b+c-a}{2}=s-a\)

\(\displaystyle\Rightarrow \cot\frac{A}{2}=\frac{\overline{AF}}{\overline{OF}}=\frac{s-a}{r}.\)

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-10 08:23     標題: 回復 3# 老王 的帖子

證明題第二題詳解
這張考卷大致都有詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:29 PM 編輯 ]

附件: 100南二中計算證明02.rar (2011-6-10 08:23, 37.97 KB) / 該附件被下載次數 7775
https://math.pro/db/attachment.php?aid=473&k=ced5647292d96be97a8f5f74094998bc&t=1732274797

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作者: t3712    時間: 2012-3-31 16:46

感謝以上老師的指導

尤其是計算第2題讓小弟苦思好久  冏

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作者: t3712    時間: 2012-3-31 18:03

填充6也可以這樣算  H(9,3)  - H(9,1) -H(9,0)               
也就是x_1+x_2+...+x_9=3的非負整數解，扣掉x_1>=2和x_2>=3的情況

計算1可以得到通解  k, -k, 1     (k為不等於0的實數)

[ 本帖最後由 t3712 於 2012-3-31 06:04 PM 編輯 ]

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