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標題: 100師大附中 [打印本頁]

作者: bugmens    時間: 2011-5-8 17:53     標題: 100師大附中

附上題目和填充題答案

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=338&k=3f3dc3071249a5d186bc201cf8d8c374&t=1537571663
作者: bugmens    時間: 2011-5-8 18:03

填充題
3.設△ABC為等邊三角形,D為△ABC內的點,已知\( \overline{DA}=13 \),\( \overline{DB}=12 \),\( \overline{DC}=5 \),求△ABC的邊長?

設△ABC為正三角形,點P為其內部一點。若\( \overline{PA}=5 \)、\( \overline{PB}=12 \)、\( \overline{PC}=13 \),則△ABC之面積為?
(97中和高中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364)

若△ABC為一正三角形,且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \),\( \overline{BP}=4 \),\( \overline{CP}=5 \),試問此正三角形之邊長為何?
(2008TRML團體賽)


計算證明題
3.設x,y為實數,且\( z=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2} \),求z的最小值

假設直角三角形的三個頂點分別為\( A=(0,0) \),\( B=(1,0) \)和\( C=(0,4) \),令\( Q=(x,y) \)為此三角形內部的一個點,試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即\( |\; Q−A |\; +|\; Q−B |\; +|\; Q−C |\; \) 的最小值)
(99屏北高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937)
費馬點


填充題
10.在坐標平面上,已知直線\( y=mx \)將區域\( \displaystyle \Bigg\{\; (x,y) |\; \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\le 1,x \ge 0,y \ge 0 \Bigg\}\; \)的面積二等分,則m=?
[解答]
從圓水平伸縮\( \displaystyle \frac{3}{2} \)倍變成橢圓
原本將圓平分的直線\( y=x \)則變成\( \displaystyle y=\frac{2}{3}x \)

相同概念的題目
通過橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上兩點\( (0,-4) \),\( \displaystyle (\frac{5 \sqrt{3}}{2},2) \)的直線L,將橢圓內部分割成兩個區域,試問較小區域的面積為?
(1)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3} \) (2)\( \displaystyle \frac{25 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \) (3)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \) (4)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-5 \sqrt{3} \)
(98桃園縣國中聯招,https://math.pro/db/thread-826-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-8 07:49 PM 編輯 ]

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作者: waitpub    時間: 2011-5-9 12:42

請問填充第4題:我將它分五部份來算
                4R:2*16=32
                3R:20*32=640
                2R:21*64=1344
                1R:8*128=1024
                無R:256
與答案不合,請問正確的作法是如何?

填充第5題我將圖座標化去算兩歪斜線距離,結果非常慢。請問有沒有更好的方法?

另外填充第8和第9題我完全沒頭緒??可否請老師們指點一下!

這份考題感覺我很多不會,挫折感很重!
作者: weiye    時間: 2011-5-9 14:29     標題: 回復 3# waitpub 的帖子

你的方法沒有錯,只是計算上的錯誤而已。^__^


第 4 題:籃中有大小相同的紅、黃、白球若干個,欲從中拿出 \(8\) 個球排成一列且此列中紅球不能相鄰,則有_____種不同的排法。

解答:

若紅球有 \(0\) 個,則黃、白色球共有 \(8\) 個,排成一直線有 \(2^8\) 種。

若紅球有 \(1\) 個,則黃、白色球共有 \(7\) 個,排成一直線有 \(2^7\) 種,

           再將紅球插空隙,共有 \(2^7C_1^8\) 種。

若紅球有 \(2\) 個,則黃、白色球共有 \(6\) 個,排成一直線有 \(2^6\) 種,

           再將紅球插空隙,共有 \(2^6C_2^7\) 種。

若紅球有 \(3\) 個,則黃、白色球共有 \(5\) 個,排成一直線有 \(2^5\) 種,

           再將紅球插空隙,共有 \(2^5C_3^6\) 種。

若紅球有 \(4\) 個,則黃、白色球共有 \(4\) 個,排成一直線有 \(2^4\) 種,

           再將紅球插空隙,共有 \(2^4C_4^5\) 種。

(如果紅球有五顆以上~則黃白球的空隙就會不夠多了~)

所以,所求共有 \(2^8+2^7C_1^8+2^6C_2^7+2^5C_3^6+2^4C_4^5=3344\) 。
作者: superlori    時間: 2011-5-9 14:44     標題: 回復 3# waitpub 的帖子

填充五我也是坐標化,但其實還蠻快的
我想會不會是你解歪斜線距離的方法不夠快?
先找一個平面E包住BH直線且平行FG直線,再算d(F,E)
這樣算還蠻快的
作者: weiye    時間: 2011-5-9 15:27

第 8 題~小弟目前想到的是比較暴力的作法~


第 8 題:求級數 \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}\) 的和為__________。

解答:

當 \(\left|x\right|<1\) 時,

 \(\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots\) ‧‧‧‧‧‧(第一式)

將上式對 \(x\) 微分,可得

 \(\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots\)

將上式左右同乘上 \(x\) ,可得

 \(\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2}=x+2x^2+3x^3+\cdots\)‧‧‧‧‧‧(第二式)

將上式對 \(x\) 微分,可得

 \(\displaystyle \frac{1+x}{(1-x)^3}=1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+\cdots\)

將上式左右同乘上 \(x\) ,可得

 \(\displaystyle \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}=x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+\cdots\)‧‧‧‧‧‧(第三式)

由「(第三式)-(第二式)+(第一式)」,再將 \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) 帶入,可得

所求= \(\displaystyle \frac{22}{27}\)。


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

再補一個另解,原理是把 (n^2-n+1) 利用多項式的階差~~~ 二次式階差會降成一次式,一次式再用一次階差會降成常數。



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作者: RainIced    時間: 2011-5-9 15:40

填充三的連結壞了,想請問這一題怎麼寫,謝謝。
作者: superlori    時間: 2011-5-9 15:58     標題: 回復 7# RainIced 的帖子

以A為原點,將三角形ABD轉60度(此時AB和AC重合,形成一三角形ACD)
此時,三角形ADD'為正三角形
CD=13,CD'=12,DD'=5為一直角三角形
所以角ADC=150度,利用餘弦就可以解出邊長了
作者: RainIced    時間: 2011-5-9 16:08

另外,想請問填充第七題,謝謝。
作者: superlori    時間: 2011-5-9 16:13     標題: 回復 9# RainIced 的帖子

先坐標化
令C(0,0),B(2a,0),A(0,2b),M(a,0)
接著利用旋轉可以得出G(-√3 b,b),F(a+√3 b,√3 a+b)
利用MG=7以及MF=11即可解出a=6
BC=2a=12
作者: weiye    時間: 2011-5-9 16:25

以下解法其實跟 superlori 的解法原理一樣。^__^


第 3 題:設 \(\triangle ABC\) 為等邊三角形, \(D\) 為 \(\triangle ABC\) 內的點。已知 \(\overline{DA}=13\),\(\overline{DB}=12\),\(\overline{DC}=5\),求 \(\triangle ABC\)的邊長為_________。


解答:

設正三角形 \(\triangle ABC\) 的邊長為 \(a\),

將 \(\triangle DAB\)、\(\triangle DBC\)、\(\triangle DCA\) 分別以 \(A\)、\(B\)、\(C\) 為中心,

逆時針旋轉 \(60^\circ\),可得如下圖,



此六邊形面積為原來正三角形面積的兩倍,

而且也是由六個小三角形所構成,

這六個小三角形分別是〝邊長為 5 的正三角形〞
          〝邊長為 12 的正三角形〞
          〝邊長為 13 的正三角形〞
           以及三個〝邊長為 5,12,13 的直角三角形〞
因此,

\(\displaystyle 2\cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4}{a^2} \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {5^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {12^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {13^2}+3\cdot \left( \frac{5\times 12}{2} \right)\Rightarrow a=\sqrt{169+60\sqrt{3}}\)
作者: ejo3vu84    時間: 2011-5-9 16:51

請教瑋岳老師
第八題的方法是如何觀察的
是經驗嗎!?
謝謝!!
作者: weiye    時間: 2011-5-9 16:59     標題: 回復 12# ejo3vu84 的帖子

觀察 \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty \left(n^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n-n\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n+\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)\)

然後聯想到幾何級數(等比級數) \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\mbox{首項}}{1-\mbox{公比}}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}\)

再想到 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\) (其中當 \(|x|<1\) 時,級數會收歛)

然後開始想~要如何拼出 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty n\cdot x^n\) 與 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty n^2\cdot x^n\),

因為聯想到 https://math.pro/db/thread-62-1-4.html 這個例子中的另解的情況~^__^

所以想到用「先微分,再乘 \(x\) 」的方法~ ^__^



註:剛剛發現~~ thepiano 老師寫的 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2484 來自 PTT 網友 a016258 的解法也很棒!!
作者: ejo3vu84    時間: 2011-5-9 17:17

謝謝瑋岳老師~~很清楚
又學到了一個厲害的技巧 ^__^
作者: weiye    時間: 2011-5-9 19:37

計算證明題第 4 題是數論會學到的 Wilson 定理~ ^_____^

敘述與證明詳見:1. http://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem
        或 2. http://primes.utm.edu/notes/proofs/Wilsons.html
       或 3. http://math.ntnu.edu.tw/~li/ent-html/node18.html
作者: waitpub    時間: 2011-5-9 20:59     標題: 回復 5# superlori 的帖子

確實是我算歪斜線的距離方法錯了,謝謝你!
作者: 老王    時間: 2011-5-9 21:20

填充7

一開始是用餘弦去做,想了幾次也還是看不出什麼特別的感覺,底下用中線定理來寫:

由費馬點結論知道,BG=CF
那麼三角形BCF有:
\(\displaystyle BF^2+CF^2=2(FM^2+BM^2) \)
三角形BCG有
\(\displaystyle BG^2+CG^2=2(GM^2+BM^2) \)
兩式相減即得
作者: iamcfg    時間: 2011-5-9 21:38     標題: 回復 3# waitpub 的帖子

第九題

ACA +BCB-ACB-BCA=I
整理

\((A-B)^2C=I\)
作者: weiye    時間: 2011-5-9 21:52     標題: 回復 18# iamcfg 的帖子

寫成 \((A - B) C (A - B)= I\) 會比較好,

因為矩陣乘法沒有交換律~

然後 \(C = (A - B)^{-1}  I  (A - B)^{-1} = \left[(A - B)^{-1}\right]^2\)





註:這裡 也有 thepiano 老師的寫法,兩位老師都一樣讚,感謝提供這麼棒的解法。^__^
作者: rdrank    時間: 2011-5-10 14:30

請問老師填充第2,6該怎麼做?
謝謝!
作者: hua77825    時間: 2011-5-10 15:03     標題: 回復 20# rdrank 的帖子

填充六:

先由孟式定理求出  CF :  FD = 2 : 1

所以 AF = 1/3  AC + 2/3  AD

又 AD向量為 1/2 (BD + AC)

整理一下為   AF = 1/3 AC +  1/3 BD +1/3 AC

                             =  2/3 AC  +1/3 BD

                             =  2/3 r + 1/3 s

第二題的話我是假設點P為  (  a  ,  2/3 (45-a^2) ^1/2)

然後用P跟兩個焦點(5.0)  (-5.0)去做內積

因為要為鈍角  所以cosine 要小於0  不知道正不正確=o=

[ 本帖最後由 hua77825 於 2011-5-10 03:06 PM 編輯 ]
作者: ejo3vu84    時間: 2011-5-10 16:11     標題: 回復 21# hua77825 的帖子

第二題我也是用內積做
不過我的P點是用極座標
會比較好做~~
作者: ejo3vu84    時間: 2011-5-10 16:42

請教計算1如何做

我是用暴力法  也不知道答案對不對
有比較漂亮的方法嗎!?
作者: 老王    時間: 2011-5-10 17:40

填充2
與(5,0),(-5,0)成直角的點在以這兩點為直徑的圓上,
內部的點就與這兩點成鈍角


計算1
\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^9 (-1)^k \cos \frac{k\pi}{19}=\Sigma_{k=1}^9 \cos \frac{2k\pi}{19} \)

而\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^{19} \cos \frac{2k\pi}{19}=0 \)......(*)

且\(\displaystyle \cos \frac{2k\pi}{19}=\cos \frac{(38-2k)\pi}{19} \)

所以從(*)式可以變成
\(\displaystyle 1+2\Sigma_{k=1}^9 \cos \frac{2k\pi}{19}=0 \)

故\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^9 (-1)^k \cos \frac{k\pi}{19}=-\frac{1}{2} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2011-5-10 05:44 PM 編輯 ]
作者: waitpub    時間: 2011-5-10 18:50

可以解釋一下為什麼角ADC=150度嗎?
引用:
原帖由 superlori 於 2011-5-9 03:58 PM 發表
以A為原點,將三角形ABD轉60度(此時AB和AC重合,形成一三角形ACD)
此時,三角形ADD'為正三角形
CD=13,CD'=12,DD'=5為一直角三角形
所以角ADC=150度,利用餘弦就可以解出邊長了 ...

作者: dream10    時間: 2011-5-10 20:25

引用:
原帖由 waitpub 於 2011-5-10 06:50 PM 發表
可以解釋一下為什麼角ADC=150度嗎?
你可以看一下第二頁最上面那個圖呀
顏色都分個很清楚~~~綠色的就是60度~~下面是90度
相加就是150度了
作者: rdrank    時間: 2011-5-10 21:48

請問老師填充第十題的原理為何?
為何伸縮以後仍然可以保持面積二等分?
謝謝!
作者: weiye    時間: 2011-5-10 23:56

計算第 1 題(暴力解XD)



所求 \(\displaystyle=\left(\cos\frac{2\pi}{19}+\cos\frac{4\pi}{19}+\cos\frac{6\pi}{19}+\cos\frac{8\pi}{19}\right)-\left(\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\cos\frac{5\pi}{19}+\cos\frac{7\pi}{19}+\cos\frac{9\pi}{19}\right)\)


\(\displaystyle = \frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\Bigg[\left(2\cos\frac{2\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{4\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{6\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{8\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}\right)\)

       \(\displaystyle-\left(2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{5\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{7\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{9\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}\right)\Bigg]\)


(再用積化和差)


\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\left[\left((\sin\frac{3\pi}{19}-\sin\frac{\pi}{19})+\cdots+(\sin\frac{9\pi}{19}-\sin\frac{7\pi}{19})\right)-\left((\sin\frac{2\pi}{19}-\sin 0)+\cdots+(\sin\frac{10\pi}{19}-\sin\frac{8\pi}{19})\right)\right]\)


\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\left[\left(\sin\frac{9\pi}{19}-\sin\frac{\pi}{19}\right)-\left(\sin\frac{10\pi}{19}-\sin 0\right)\right]\)


\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\)
作者: AHSHYAN    時間: 2011-5-11 08:02     標題: 回復 28# weiye 的帖子

原式=cos2PI/19 +....+cos18PI/19
       =cos36PI/19 +....+cos20PI/19

又 cos0+cos2PI/19+......+cos36PI/19=0

所以 原式=-1/2
作者: hua77825    時間: 2011-5-11 11:15     標題: 回復 17# 老王 的帖子

請問一下老王老師

相減完應該是

BF^2 -  CG^2  = 2(FM^2 -GM^2)
                         =  2 * 18 * 4

接下來該怎麼繼續做呢,感謝。
作者: 老王    時間: 2011-5-11 17:17

引用:
原帖由 hua77825 於 2011-5-11 11:15 AM 發表
請問一下老王老師

相減完應該是

BF^2 -  CG^2  = 2(FM^2 -GM^2)
                         =  2 * 18 * 4

接下來該怎麼繼續做呢,感謝。
BF=BA,CG=CA
所以BF^2-CG^2=BA^2-CA^2=BC^2
接著開根號就可以了
作者: waitpub    時間: 2011-5-11 20:17

再請教一下王老師,對費馬點我查了一下google還是不太懂。
可否指點一下紅色那部份是怎麼來的?
謝謝!
引用:
原帖由 老王 於 2011-5-9 09:20 PM 發表
填充7

一開始是用餘弦去做,想了幾次也還是看不出什麼特別的感覺,底下用中線定理來寫:

由費馬點結論知道,BG=CF
那麼三角形BCF有:
\(\displaystyle BF^2+CF^2=2(FM^2+BM^2) \)
三角形BCG有...

作者: 老王    時間: 2011-5-11 20:51

引用:
原帖由 waitpub 於 2011-5-11 08:17 PM 發表
再請教一下王老師,對費馬點我查了一下google還是不太懂。
可否指點一下紅色那部份是怎麼來的?
謝謝!

解釋BG=CF
看圖吧

圖片附件: 費馬點初步結論.jpg (2011-5-11 20:51, 24.79 KB) / 該附件被下載次數 1213
https://math.pro/db/attachment.php?aid=344&k=555a022129e831c03c13f9cc238c2734&t=1537571663


作者: waitpub    時間: 2011-5-11 21:22     標題: 回復 33# 老王 的帖子

一個圖就讓我豁然開朗了,謝謝老師。常常看到老師們利用費馬點旋轉三角形,
只是不知道自己算數學的時候能不能跟著會運用!
作者: mandy    時間: 2011-5-11 23:04

請問老王: 計算第1: (-1)^k*cos[(k*pi/19]如何等於cos[2k*pi/19] ?
                              sigma {cos[2k*pi/19]} 為何等於0 ?
作者: bugmens    時間: 2011-5-12 06:59

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=5807#p5807
其實費馬點到三頂點的距離和是有公式的,既然ellipse已經將公式寫出來,那我就補充證明

△ABC三邊長為\( a,b,c \),F為△ABC的費馬點,則\( \displaystyle \overline{FA}+\overline{FB}+\overline{FC}=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+2 \sqrt{3}S} \)
S為△ABC的面積

圖片附件: 費馬點到三頂點的距離和.gif (2011-5-12 06:59, 13.44 KB) / 該附件被下載次數 1225
https://math.pro/db/attachment.php?aid=345&k=4bea8e25f8e98d5a0d27a856480bd587&t=1537571663


作者: 老王    時間: 2011-5-13 17:09

引用:
原帖由 mandy 於 2011-5-11 11:04 PM 發表
請問老王: 計算第1: (-1)^k*cos[(k*pi/19]如何等於cos[2k*pi/19] ?
                              sigma {cos[2k*pi/19]} 為何等於0 ?
由\(\displaystyle \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta \)
\(\displaystyle -\cos \frac{\pi}{19}=\cos \frac{18\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{3\pi}{19}=\cos \frac{16\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{5\pi}{19}=\cos \frac{14\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{7\pi}{19}=\cos \frac{12\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{9\pi}{19}=\cos \frac{10\pi}{19} \)

另外
考慮\(\displaystyle z^{19}=1 \)的19個根,
由根與係數關係知道這19個根之和為0,
那麼實部之和也是0

[ 本帖最後由 老王 於 2011-5-13 05:13 PM 編輯 ]
作者: mandy    時間: 2011-5-14 00:04

請問計算第二如何求?
作者: weiye    時間: 2011-5-14 11:52     標題: 回復 38# mandy 的帖子

先解出 P 點坐標 \(\displaystyle (\sqrt{\frac{1}{1-a}}, \frac{a}{1-a})\),

然後求出 \(OP\) 直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\),

再來算出體積為 \(\displaystyle \int_0^{\sqrt{\frac{1}{1-a}}} \pi\left[\left(\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\right)^2-\left(ax^2\right)^2\right]dx\)

       \(\displaystyle =\frac{2\pi a^2}{15\left(1-a\right)^{\frac{5}{2}}}\)


(再來是有點醜陋的暴力解,不知道有沒有人可以提供其他作法,感謝!!)


將 \(\displaystyle \frac{2\pi a^2}{15\left(1-a\right)^{\frac{5}{2}}}\) 對 \(a\) 微分可得 \(\displaystyle \frac{\pi a\left(a+4\right)}{15\left(1-a\right)^{\frac{7}{2}}}\),

解 \(\displaystyle \frac{\pi a\left(a+4\right)}{15\left(1-a\right)^{\frac{7}{2}}}=0\),得 \(a=0\) 或 \(a=-4\),

再稍微討論一下,可得當 \(a=-4\) 時,

所求體積有最大值為  \(\displaystyle \frac{32\pi}{375\sqrt{5}}\)。
作者: superlori    時間: 2011-5-15 18:08     標題: 回復 39# weiye 的帖子

跟瑋岳大的做法相同!!!
也想知道有沒有別的作法?
這題這樣做計算過程真的挺繁雜的
作者: Ellipse    時間: 2011-5-15 18:33

引用:
原帖由 superlori 於 2011-5-15 06:08 PM 發表
跟瑋岳大的做法相同!!!
也想知道有沒有別的作法?
這題這樣做計算過程真的挺繁雜的
還好啦!剛剛有算一遍

細心一點算,應該不會很難
作者: nanpolend    時間: 2011-6-5 15:11     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

填充題第一題詳解

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-5 22:04     標題: 回復 42# nanpolend 的帖子

填充題第2題詳解

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-7 00:57     標題: 回復 43# nanpolend 的帖子

填充題第5題詳解

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-7 02:16     標題: 回復 44# nanpolend 的帖子

填充題第7題詳解
整理老王的回復

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-7 02:32     標題: 回復 45# nanpolend 的帖子

填充題第8題詳解+計算題第二題
轉貼自美夢成甄

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-7 04:11     標題: 回復 19# weiye 的帖子

填充題第9題詳解
附上三階反矩陣求法
==考試看到先閃會做死人

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 01:28 PM 編輯 ]

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-7 10:02     標題: 回復 37# 老王 的帖子

整理老王的回復
計算第一題詳解
==不好寫修正多次反正都會重複
想成單位圓上的19邊形

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 01:29 PM 編輯 ]

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-7 14:00     標題: 回復 48# nanpolend 的帖子

整理上文的回復和美夢成甄網站
計算第三題詳解
想知道費馬點的證明上文有證法

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 01:30 PM 編輯 ]

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作者: 老王    時間: 2011-11-18 16:37

引用:
原帖由 weiye 於 2011-5-14 11:52 AM 發表
先解出 P 點坐標 \(\displaystyle (\sqrt{\frac{1}{1-a}}, \frac{a}{1-a})\),

然後求出 \(OP\) 直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\),

再來算出體積為 ...
因為之前寫的東西沒有留下來,所以又重做一遍......
前面部分跟瑋岳老師相同,不同的是
令P點坐標為 \( (p,q) \)
有 \(\displaystyle p^2=\frac{1}{1-a} \),且\(\displaystyle 0<p^2<1 \)

也就是\(\displaystyle a=\frac{p^2-1}{p^2} \)

積分出來的式子為 \(\displaystyle \frac{2\pi}{15}p(p^2-1)^2 \)

因為\(\displaystyle (1-p^2)+p^2=1 \)
所以
\(\displaystyle \frac{1-p^2}{4}+\frac{1-p^2}{4}+\frac{1-p^2}{4}+\frac{1-p^2}{4}+p^2 \ge 5\sqrt[5]{\frac{1}{256}p^2(1-p^2)^4} \)

\(\displaystyle p^2(1-p^2)^4 \le \frac{256}{3125} \)

\(\displaystyle p(1-p^2)^2 \le \frac{16}{25\sqrt{5}} \)



另外,填充第5題,
注意到平面BEHC包函BH且與FG平行,
所以只要求G到CH的距離就是答案。
作者: shingjay176    時間: 2012-4-20 12:50     標題: 回復 36# bugmens 的帖子

費馬點這觀念,的確是不好想,這個解題技巧真的很讚,謝謝bugmens老師貼出來的證明。有幾個疑問希望幫忙解惑。為何一個內角大於120度,所求的點不存在。最小值是發生在F跟A,B,C三點的夾角都是120度的時候,這結論怎麼證明。我算師大附中100年,計算題第三題。直接套用此三角度是120度,才可以算出結果。120度是要當結論背起來,直接套用至計算中嗎。。。
作者: shingjay176    時間: 2012-4-20 16:31     標題: 回復 51# shingjay176 的帖子

我來自問自答,在google搜索【費馬點】,我已經疑惑解除了。
http://zh.wikipedia.org/zh-hant/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E9%BB%9E
至於為何三角形內任一角大於120度,就找不到。。。。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-4-20 04:33 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2012-4-20 18:23     標題: 回復 52# shingjay176 的帖子

不失一般性,設 \(\triangle ABC\) 中,\(\angle BAC\geq 120^\circ\),

\(E\) 為 \(\triangle ABC\) 內部異於 \(A\) 之點,

如下圖,可做 \(\triangle ABD, \triangle AEF\) 為正三角形,



可知 \(\triangle ABE\sim \triangle ADF\),

因此 \(\overline{EA}+\overline{EB}+\overline{EC}=\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\)

連接 \(\overline{DE}, \overline{DC}\)



可知 \(\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\geq \overline{DE}+\overline{EC}\)

因為 \(\angle DAB+\angle BAC\geq 60^\circ+120^\circ=180^\circ\)

所以 \(A,E\) 皆在直線 \(CD\) 的同側,且 \(A\) 為 \(\triangle CDE\) 內部之點,

可知 \(\overline{DE}+\overline{EC}\geq\overline{DA}+\overline{AC}\)

故,

\(\triangle ABC\mbox{內部一點} E \mbox{到} A,B,C \mbox{三點頂的距離}=\overline{EA}+\overline{EB}+\overline{EC}\)

  \(=\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\)

  \(\geq \overline{DE}+\overline{EC}\)

  \(\geq\overline{DA}+\overline{AC}\)

  \(\geq\overline{BA}+\overline{AC}\)

  \(=E \mbox{到} A,B,C \mbox{三點頂的距離}\)

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作者: wooden    時間: 2013-5-1 14:46

引用:
原帖由 weiye 於 2011-5-14 11:52 AM 發表
先解出 P 點坐標 \(\displaystyle (\sqrt{\frac{1}{1-a}}, \frac{a}{1-a})\),

然後求出 \(OP\) 直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\),

再來算出體積為  ...
我先使用同瑋岳老師的方法,並設u=1-a,結果是一樣的,當a=-4時有極值
但改用薄殼法來求,因為次方不同,微分後求極值點卻得到a= -1,T=pi/24,同寸絲老師,
這也是我的疑問所在,比較後,反而是法一的值較小
作者: tsusy    時間: 2013-5-1 20:36     標題: 回復 54# wooden 的帖子

看了一下之前的算式,應該是轉錯軸,不小心看成轉 \(y\) 軸了

所以,weiye 老師的解是對的,感謝又幫我找到一個錯誤
作者: tsusy    時間: 2014-4-26 18:20     標題: 回復 39# weiye 的帖子

計算 2. 延續  weiye 老師的體積結果 \( V = \displaystyle \frac{2\pi a^{2}}{15(1-a)^{\frac52}} \)

令 \( a = -\tan^2 \theta \),則 \( V = \frac{2\pi}{15}\sin^4\theta\cos\theta \)

由算幾不等式有 \( 1=\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\cos^{2}\theta\geq5\sqrt[5]{\frac{\sin^{8}\theta\cos^2\theta}{256}} \),
(感謝眼尖的 wooden 挑出筆誤,已修正上行)

且當 \( \tan^{2}\theta=4 \) 時,等式成立,故 \( a=-4 \) 時有最大值 \( \frac{32\pi}{375\sqrt{5}} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-7 12:10 AM 編輯 ]
作者: wooden    時間: 2014-4-30 23:28     標題: 回復 56# tsusy 的帖子

寸絲兄
根號內的cos是平方喔!
作者: anyway13    時間: 2018-7-12 15:48     標題: 請問計算四

版上老師好,請問計算四的證明逆敘述要怎麼證阿

若n是質數,則(n-1)!除以n的餘數是n-1
作者: thepiano    時間: 2018-7-12 19:25     標題: 回復 58# anyway13 的帖子

Wilson’s Theorem
作者: anyway13    時間: 2018-7-12 21:34     標題: 回復 59# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師指點!




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