Math Pro 數學補給站

標題: 100師大附中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2011-5-8 17:53 標題: 100師大附中

附上題目和填充題答案

附件: 100師大附中.rar (2011-5-8 17:53, 66.88 KB) / 該附件被下載次數 14467
https://math.pro/db/attachment.php?aid=338&k=3fcb72123f94689975031b5423aa26f7&t=1732259938

作者: bugmens 時間: 2011-5-8 18:03

填充題
3.設△ABC為等邊三角形，D為△ABC內的點，已知\( \overline{DA}=13 \)，\( \overline{DB}=12 \)，\( \overline{DC}=5 \)，求△ABC的邊長？

設△ABC為正三角形，點P為其內部一點。若\( \overline{PA}=5 \)、\( \overline{PB}=12 \)、\( \overline{PC}=13 \)，則△ABC之面積為？
(97中和高中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364連結已失效)

若△ABC為一正三角形，且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \)，\( \overline{CP}=5 \)，試問此正三角形之邊長為何？
(2008TRML團體賽)

計算證明題
3.設x,y為實數，且\( z=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2} \)，求z的最小值

假設直角三角形的三個頂點分別為\( A=(0,0) \)，\( B=(1,0) \)和\( C=(0,4) \)，令\( Q=(x,y) \)為此三角形內部的一個點，試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即\( |\; Q−A |\; +|\; Q−B |\; +|\; Q−C |\; \) 的最小值)
(99屏北高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937)
費馬點

填充題
10.在坐標平面上，已知直線\( y=mx \)將區域\( \displaystyle \Bigg\{\; (x,y) |\; \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\le 1,x \ge 0,y \ge 0 \Bigg\}\; \)的面積二等分，則m=？
[解答]
從圓水平伸縮\( \displaystyle \frac{3}{2} \)倍變成橢圓
原本將圓平分的直線\( y=x \)則變成\( \displaystyle y=\frac{2}{3}x \)

相同概念的題目
通過橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上兩點\( (0,-4) \)，\( \displaystyle (\frac{5 \sqrt{3}}{2},2) \)的直線L，將橢圓內部分割成兩個區域，試問較小區域的面積為？
(1)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3} \)　(2)\( \displaystyle \frac{25 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \)　(3)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \)　(4)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-5 \sqrt{3} \)
(98桃園縣國中聯招，https://math.pro/db/thread-826-1-1.html)

圖片附件: 第10題.gif (2011-5-8 19:44, 26.25 KB) / 該附件被下載次數 10483
https://math.pro/db/attachment.php?aid=339&k=6386d5b802918e7e220510342b95d4e6&t=1732259938

作者: waitpub 時間: 2011-5-9 12:42

請問填充第4題：我將它分五部份來算
            4R：2*16=32
            3R：20*32=640
            2R：21*64=1344
            1R：8*128=1024
            無R：256
與答案不合，請問正確的作法是如何?

填充第5題我將圖座標化去算兩歪斜線距離，結果非常慢。請問有沒有更好的方法?

另外填充第8和第9題我完全沒頭緒??可否請老師們指點一下!

這份考題感覺我很多不會，挫折感很重!

作者: weiye 時間: 2011-5-9 14:29 標題: 回復 3# waitpub 的帖子

你的方法沒有錯，只是計算上的錯誤而已。^__^

第 4 題：籃中有大小相同的紅、黃、白球若干個，欲從中拿出 \(8\) 個球排成一列且此列中紅球不能相鄰，則有_____種不同的排法。

解答：

若紅球有 \(0\) 個，則黃、白色球共有 \(8\) 個，排成一直線有 \(2^8\) 種。

若紅球有 \(1\) 個，則黃、白色球共有 \(7\) 個，排成一直線有 \(2^7\) 種，

　　　　　　　　　　再將紅球插空隙，共有 \(2^7C_1^8\) 種。

若紅球有 \(2\) 個，則黃、白色球共有 \(6\) 個，排成一直線有 \(2^6\) 種，

　　　　　　　　　　再將紅球插空隙，共有 \(2^6C_2^7\) 種。

若紅球有 \(3\) 個，則黃、白色球共有 \(5\) 個，排成一直線有 \(2^5\) 種，

　　　　　　　　　　再將紅球插空隙，共有 \(2^5C_3^6\) 種。

若紅球有 \(4\) 個，則黃、白色球共有 \(4\) 個，排成一直線有 \(2^4\) 種，

　　　　　　　　　　再將紅球插空隙，共有 \(2^4C_4^5\) 種。

（如果紅球有五顆以上～則黃白球的空隙就會不夠多了～）

所以，所求共有 \(2^8+2^7C_1^8+2^6C_2^7+2^5C_3^6+2^4C_4^5=3344\) 。

作者: superlori 時間: 2011-5-9 14:44 標題: 回復 3# waitpub 的帖子

填充五我也是坐標化，但其實還蠻快的
我想會不會是你解歪斜線距離的方法不夠快?
先找一個平面E包住BH直線且平行FG直線，再算d(F,E)
這樣算還蠻快的

作者: weiye 時間: 2011-5-9 15:27

第 8 題～小弟目前想到的是比較暴力的作法～

第 8 題：求級數 \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}\) 的和為__________。

解答：

當 \(\left|x\right|<1\) 時，

　\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots\) ‧‧‧‧‧‧（第一式）

將上式對 \(x\) 微分，可得

　\(\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots\)

將上式左右同乘上 \(x\) ，可得

　\(\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2}=x+2x^2+3x^3+\cdots\)‧‧‧‧‧‧（第二式）

將上式對 \(x\) 微分，可得

　\(\displaystyle \frac{1+x}{(1-x)^3}=1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+\cdots\)

將上式左右同乘上 \(x\) ，可得

　\(\displaystyle \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}=x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+\cdots\)‧‧‧‧‧‧（第三式）

由「（第三式）－（第二式）＋（第一式）」，再將 \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) 帶入，可得

所求＝ \(\displaystyle \frac{22}{27}\)。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

再補一個另解，原理是把 (n^2-n+1) 利用多項式的階差~~~ 二次式階差會降成一次式，一次式再用一次階差會降成常數。

圖片附件: IMG_20170613_174908.jpg (2017-6-13 17:54, 619.61 KB) / 該附件被下載次數 10504
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4153&k=6a99a7ea8e7ad8f6fd0f6e77ac0842ee&t=1732259938

作者: RainIced 時間: 2011-5-9 15:40

填充三的連結壞了，想請問這一題怎麼寫，謝謝。

作者: superlori 時間: 2011-5-9 15:58 標題: 回復 7# RainIced 的帖子

以A為原點，將三角形ABD轉60度(此時AB和AC重合，形成一三角形ACD)
此時，三角形ADD'為正三角形
CD=13,CD'=12,DD'=5為一直角三角形
所以角ADC=150度，利用餘弦就可以解出邊長了

作者: RainIced 時間: 2011-5-9 16:08

另外，想請問填充第七題，謝謝。

作者: superlori 時間: 2011-5-9 16:13 標題: 回復 9# RainIced 的帖子

先坐標化
令C(0,0),B(2a,0),A(0,2b),M(a,0)
接著利用旋轉可以得出G(-√3 b,b),F(a+√3 b,√3 a+b)
利用MG=7以及MF=11即可解出a=6
BC=2a=12

作者: weiye 時間: 2011-5-9 16:25

以下解法其實跟 superlori 的解法原理一樣。^__^

第 3 題：設 \(\triangle ABC\) 為等邊三角形， \(D\) 為 \(\triangle ABC\) 內的點。已知 \(\overline{DA}=13\)，\(\overline{DB}=12\)，\(\overline{DC}=5\)，求 \(\triangle ABC\)的邊長為_________。

解答：

設正三角形 \(\triangle ABC\) 的邊長為 \(a\)，

將 \(\triangle DAB\)、\(\triangle DBC\)、\(\triangle DCA\) 分別以 \(A\)、\(B\)、\(C\) 為中心，

逆時針旋轉 \(60^\circ\)，可得如下圖，

此六邊形面積為原來正三角形面積的兩倍，

而且也是由六個小三角形所構成，

這六個小三角形分別是〝邊長為 5 的正三角形〞
　　　　　　　　　　〝邊長為 12 的正三角形〞
　　　　　　　　　　〝邊長為 13 的正三角形〞
　　　　　　　　　　　以及三個〝邊長為 5,12,13 的直角三角形〞
因此，

\(\displaystyle 2\cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4}{a^2} \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {5^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {12^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {13^2}+3\cdot \left( \frac{5\times 12}{2} \right)\Rightarrow a=\sqrt{169+60\sqrt{3}}\)

作者: ejo3vu84 時間: 2011-5-9 16:51

請教瑋岳老師
第八題的方法是如何觀察的
是經驗嗎!?
謝謝!!

作者: weiye 時間: 2011-5-9 16:59 標題: 回復 12# ejo3vu84 的帖子

觀察 \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty \left(n^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n-n\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n+\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)\)

然後聯想到幾何級數（等比級數） \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\mbox{首項}}{1-\mbox{公比}}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}\)

再想到 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\) （其中當 \(|x|<1\) 時，級數會收歛）

然後開始想～要如何拼出 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty n\cdot x^n\) 與 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty n^2\cdot x^n\)，

因為聯想到 https://math.pro/db/thread-62-1-4.html 這個例子中的另解的情況～^__^

所以想到用「先微分，再乘 \(x\) 」的方法～ ^__^

註：剛剛發現～～ thepiano 老師寫的 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2484 來自 PTT 網友 a016258 的解法也很棒！！

作者: ejo3vu84 時間: 2011-5-9 17:17

謝謝瑋岳老師~~很清楚
又學到了一個厲害的技巧 ^__^

作者: weiye 時間: 2011-5-9 19:37

計算證明題第 4 題是數論會學到的 Wilson 定理～ ^_____^

敘述與證明詳見：1. http://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem
　　　　　　　或 2. http://primes.utm.edu/notes/proofs/Wilsons.html
　　　　　　　或 3. http://math.ntnu.edu.tw/~li/ent-html/node18.html

作者: waitpub 時間: 2011-5-9 20:59 標題: 回復 5# superlori 的帖子

確實是我算歪斜線的距離方法錯了，謝謝你!

作者: 老王 時間: 2011-5-9 21:20

填充7

一開始是用餘弦去做，想了幾次也還是看不出什麼特別的感覺，底下用中線定理來寫:

由費馬點結論知道，BG=CF
那麼三角形BCF有:
\(\displaystyle BF^2+CF^2=2(FM^2+BM^2) \)
三角形BCG有
\(\displaystyle BG^2+CG^2=2(GM^2+BM^2) \)
兩式相減即得

作者: iamcfg 時間: 2011-5-9 21:38 標題: 回復 3# waitpub 的帖子

第九題

ACA +BCB-ACB-BCA=I
整理

\((A-B)^2C=I\)

作者: weiye 時間: 2011-5-9 21:52 標題: 回復 18# iamcfg 的帖子

寫成 \((A - B) C (A - B)= I\) 會比較好，

因為矩陣乘法沒有交換律～

然後 \(C = (A - B)^{-1} I (A - B)^{-1} = \left[(A - B)^{-1}\right]^2\)

註：這裡也有 thepiano 老師的寫法，兩位老師都一樣讚，感謝提供這麼棒的解法。^__^

作者: rdrank 時間: 2011-5-10 14:30

請問老師填充第2,6該怎麼做?
謝謝!

作者: hua77825 時間: 2011-5-10 15:03 標題: 回復 20# rdrank 的帖子

填充六:

先由孟式定理求出  CF :  FD = 2 : 1

所以 AF = 1/3  AC + 2/3  AD

又 AD向量為 1/2 (BD + AC)

整理一下為 AF = 1/3 AC +  1/3 BD +1/3 AC

                           =  2/3 AC  +1/3 BD

                           =  2/3 r + 1/3 s

第二題的話我是假設點P為  (  a  ,  2/3 (45-a^2) ^1/2)

然後用P跟兩個焦點(5.0)  (-5.0)去做內積

因為要為鈍角  所以cosine 要小於0  不知道正不正確=o=

作者: ejo3vu84 時間: 2011-5-10 16:11 標題: 回復 21# hua77825 的帖子

第二題我也是用內積做
不過我的P點是用極座標
會比較好做~~

作者: ejo3vu84 時間: 2011-5-10 16:42

請教計算1如何做

我是用暴力法也不知道答案對不對
有比較漂亮的方法嗎!?

作者: 老王 時間: 2011-5-10 17:40

填充2
與(5,0),(-5,0)成直角的點在以這兩點為直徑的圓上，
內部的點就與這兩點成鈍角

計算1
\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^9 (-1)^k \cos \frac{k\pi}{19}=\Sigma_{k=1}^9 \cos \frac{2k\pi}{19} \)

而\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^{19} \cos \frac{2k\pi}{19}=0 \)......(*)

且\(\displaystyle \cos \frac{2k\pi}{19}=\cos \frac{(38-2k)\pi}{19} \)

所以從(*)式可以變成
\(\displaystyle 1+2\Sigma_{k=1}^9 \cos \frac{2k\pi}{19}=0 \)

故\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^9 (-1)^k \cos \frac{k\pi}{19}=-\frac{1}{2} \)

作者: waitpub 時間: 2011-5-10 18:50

可以解釋一下為什麼角ADC=150度嗎?

引用:

原帖由 superlori 於 2011-5-9 03:58 PM 發表
以A為原點，將三角形ABD轉60度(此時AB和AC重合，形成一三角形ACD)
此時，三角形ADD'為正三角形
CD=13,CD'=12,DD'=5為一直角三角形
所以角ADC=150度，利用餘弦就可以解出邊長了 ...

作者: dream10 時間: 2011-5-10 20:25

引用:

原帖由 waitpub 於 2011-5-10 06:50 PM 發表
可以解釋一下為什麼角ADC=150度嗎?

你可以看一下第二頁最上面那個圖呀
顏色都分個很清楚~~~綠色的就是60度~~下面是90度
相加就是150度了

作者: rdrank 時間: 2011-5-10 21:48

請問老師填充第十題的原理為何?
為何伸縮以後仍然可以保持面積二等分?
謝謝!

作者: weiye 時間: 2011-5-10 23:56

計算第 1 題（暴力解ＸＤ）

所求 \(\displaystyle=\left(\cos\frac{2\pi}{19}+\cos\frac{4\pi}{19}+\cos\frac{6\pi}{19}+\cos\frac{8\pi}{19}\right)-\left(\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\cos\frac{5\pi}{19}+\cos\frac{7\pi}{19}+\cos\frac{9\pi}{19}\right)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\Bigg[\left(2\cos\frac{2\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{4\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{6\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{8\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}\right)\)

　　　　　　　\(\displaystyle-\left(2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{5\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{7\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{9\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}\right)\Bigg]\)

（再用積化和差）

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\left[\left((\sin\frac{3\pi}{19}-\sin\frac{\pi}{19})+\cdots+(\sin\frac{9\pi}{19}-\sin\frac{7\pi}{19})\right)-\left((\sin\frac{2\pi}{19}-\sin 0)+\cdots+(\sin\frac{10\pi}{19}-\sin\frac{8\pi}{19})\right)\right]\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\left[\left(\sin\frac{9\pi}{19}-\sin\frac{\pi}{19}\right)-\left(\sin\frac{10\pi}{19}-\sin 0\right)\right]\)

\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\)

作者: AHSHYAN 時間: 2011-5-11 08:02 標題: 回復 28# weiye 的帖子

原式=cos2PI/19 +....+cos18PI/19
=cos36PI/19 +....+cos20PI/19

又 cos0+cos2PI/19+......+cos36PI/19=0

所以原式=-1/2

作者: hua77825 時間: 2011-5-11 11:15 標題: 回復 17# 老王的帖子

請問一下老王老師

相減完應該是

BF^2 - CG^2 = 2(FM^2 -GM^2)
= 2 * 18 * 4

接下來該怎麼繼續做呢，感謝。

作者: 老王 時間: 2011-5-11 17:17

引用:

原帖由 hua77825 於 2011-5-11 11:15 AM 發表
請問一下老王老師

相減完應該是

BF^2 - CG^2 = 2(FM^2 -GM^2)
= 2 * 18 * 4

接下來該怎麼繼續做呢，感謝。

BF=BA，CG=CA
所以BF^2-CG^2=BA^2-CA^2=BC^2
接著開根號就可以了

作者: waitpub 時間: 2011-5-11 20:17

再請教一下王老師，對費馬點我查了一下google還是不太懂。
可否指點一下紅色那部份是怎麼來的?
謝謝!

引用:

原帖由老王於 2011-5-9 09:20 PM 發表
填充7

一開始是用餘弦去做，想了幾次也還是看不出什麼特別的感覺，底下用中線定理來寫:

由費馬點結論知道，BG=CF
那麼三角形BCF有:
\(\displaystyle BF^2+CF^2=2(FM^2+BM^2) \)
三角形BCG有...

作者: 老王 時間: 2011-5-11 20:51

引用:

原帖由 waitpub 於 2011-5-11 08:17 PM 發表
再請教一下王老師，對費馬點我查了一下google還是不太懂。
可否指點一下紅色那部份是怎麼來的?
謝謝!

解釋BG=CF
看圖吧

圖片附件: 費馬點初步結論.jpg (2011-5-11 20:51, 24.79 KB) / 該附件被下載次數 7832
https://math.pro/db/attachment.php?aid=344&k=0732d80d177910963941bfefd3724381&t=1732259938

作者: waitpub 時間: 2011-5-11 21:22 標題: 回復 33# 老王的帖子

一個圖就讓我豁然開朗了，謝謝老師。常常看到老師們利用費馬點旋轉三角形，
只是不知道自己算數學的時候能不能跟著會運用!

作者: mandy 時間: 2011-5-11 23:04

請問老王: 計算第1: (-1)^k*cos[(k*pi/19]如何等於cos[2k*pi/19] ?
sigma {cos[2k*pi/19]} 為何等於0 ?

作者: bugmens 時間: 2011-5-12 06:59

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=5807#p5807
其實費馬點到三頂點的距離和是有公式的,既然ellipse已經將公式寫出來,那我就補充證明

△ABC三邊長為\( a,b,c \)，F為△ABC的費馬點，則\( \displaystyle \overline{FA}+\overline{FB}+\overline{FC}=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+2 \sqrt{3}S} \)
S為△ABC的面積

圖片附件: 費馬點到三頂點的距離和.gif (2011-5-12 06:59, 13.44 KB) / 該附件被下載次數 7724
https://math.pro/db/attachment.php?aid=345&k=e31c14402e3cb87ffe5e41dc7c46d930&t=1732259938

作者: 老王 時間: 2011-5-13 17:09

引用:

原帖由 mandy 於 2011-5-11 11:04 PM 發表
請問老王: 計算第1: (-1)^k*cos[(k*pi/19]如何等於cos[2k*pi/19] ?
sigma {cos[2k*pi/19]} 為何等於0 ?

由\(\displaystyle \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta \)
\(\displaystyle -\cos \frac{\pi}{19}=\cos \frac{18\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{3\pi}{19}=\cos \frac{16\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{5\pi}{19}=\cos \frac{14\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{7\pi}{19}=\cos \frac{12\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{9\pi}{19}=\cos \frac{10\pi}{19} \)

另外
考慮\(\displaystyle z^{19}=1 \)的19個根，
由根與係數關係知道這19個根之和為0，
那麼實部之和也是0

作者: mandy 時間: 2011-5-14 00:04

請問計算第二如何求?

作者: weiye 時間: 2011-5-14 11:52 標題: 回復 38# mandy 的帖子

先解出 P 點坐標 \(\displaystyle (\sqrt{\frac{1}{1-a}}, \frac{a}{1-a})\)，

然後求出 \(OP\) 直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\)，

再來算出體積為 \(\displaystyle \int_0^{\sqrt{\frac{1}{1-a}}} \pi\left[\left(\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\right)^2-\left(ax^2\right)^2\right]dx\)

　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{2\pi a^2}{15\left(1-a\right)^{\frac{5}{2}}}\)

（再來是有點醜陋的暴力解，不知道有沒有人可以提供其他作法，感謝！！）

將 \(\displaystyle \frac{2\pi a^2}{15\left(1-a\right)^{\frac{5}{2}}}\) 對 \(a\) 微分可得 \(\displaystyle \frac{\pi a\left(a+4\right)}{15\left(1-a\right)^{\frac{7}{2}}}\)，

解 \(\displaystyle \frac{\pi a\left(a+4\right)}{15\left(1-a\right)^{\frac{7}{2}}}=0\)，得 \(a=0\) 或 \(a=-4\)，

再稍微討論一下，可得當 \(a=-4\) 時，

所求體積有最大值為 \(\displaystyle \frac{32\pi}{375\sqrt{5}}\)。

作者: superlori 時間: 2011-5-15 18:08 標題: 回復 39# weiye 的帖子

跟瑋岳大的做法相同!!!
也想知道有沒有別的作法?
這題這樣做計算過程真的挺繁雜的

作者: Ellipse 時間: 2011-5-15 18:33

引用:

原帖由 superlori 於 2011-5-15 06:08 PM 發表
跟瑋岳大的做法相同!!!
也想知道有沒有別的作法?
這題這樣做計算過程真的挺繁雜的

還好啦!剛剛有算一遍

細心一點算,應該不會很難

作者: nanpolend 時間: 2011-6-5 15:11 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

填充題第一題詳解

附件: 100師大附中01.rar (2011-6-5 22:09, 20.48 KB) / 該附件被下載次數 12273
https://math.pro/db/attachment.php?aid=433&k=74296bd553ed18c693de59ab4a922bbf&t=1732259938

附件: 100師大附中01.pdf (2011-6-5 22:09, 392.69 KB) / 該附件被下載次數 12203
https://math.pro/db/attachment.php?aid=434&k=8eb2077ab0592cc74d20729ccd6518c8&t=1732259938

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 13:20, 54.48 KB) / 該附件被下載次數 6887
https://math.pro/db/attachment.php?aid=707&k=a1202b15e79c023caac3f427dc47331f&t=1732259938

作者: nanpolend 時間: 2011-6-5 22:04 標題: 回復 42# nanpolend 的帖子

填充題第2題詳解

附件: 100師大附中02.rar (2011-6-5 22:04, 66.73 KB) / 該附件被下載次數 11413
https://math.pro/db/attachment.php?aid=435&k=d6c186450f2b97b3995f1a5efda1799a&t=1732259938

附件: 100師大附中02.pdf (2011-6-5 22:04, 330.66 KB) / 該附件被下載次數 14379
https://math.pro/db/attachment.php?aid=436&k=86f5b40f7a41af5846cd9e447a029ade&t=1732259938

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 13:21, 60.02 KB) / 該附件被下載次數 6905
https://math.pro/db/attachment.php?aid=708&k=ed046ea29cd4818be4eff0eccd5e4feb&t=1732259938

作者: nanpolend 時間: 2011-6-7 00:57 標題: 回復 43# nanpolend 的帖子

填充題第5題詳解

附件: 100師大附中05.rar (2011-6-7 00:57, 11 KB) / 該附件被下載次數 11578
https://math.pro/db/attachment.php?aid=437&k=0de6b032d693c4b8a28cb4fca008a0d6&t=1732259938

附件: 100師大附中05.pdf (2011-6-7 00:57, 315.69 KB) / 該附件被下載次數 12109
https://math.pro/db/attachment.php?aid=438&k=4378ec392b633b5b9533b090b09f6b4b&t=1732259938

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 13:23, 39.45 KB) / 該附件被下載次數 6575
https://math.pro/db/attachment.php?aid=709&k=0d74ca0f80b2073683d14cdf8c84da31&t=1732259938

作者: nanpolend 時間: 2011-6-7 02:16 標題: 回復 44# nanpolend 的帖子

填充題第7題詳解
整理老王的回復

附件: 100師大附中07.rar (2011-6-7 02:16, 31.6 KB) / 該附件被下載次數 13511
https://math.pro/db/attachment.php?aid=439&k=e7be9eabd7f3379644f99ee9a46f1a6d&t=1732259938

附件: 100師大附中07.pdf (2011-6-7 02:16, 326.13 KB) / 該附件被下載次數 16063
https://math.pro/db/attachment.php?aid=440&k=7551d1e868a100779c51a33c78c9442b&t=1732259938

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 13:24, 84.85 KB) / 該附件被下載次數 7278
https://math.pro/db/attachment.php?aid=710&k=b18ebbed723e5c6635913a538114de0d&t=1732259938

作者: nanpolend 時間: 2011-6-7 02:32 標題: 回復 45# nanpolend 的帖子

填充題第8題詳解+計算題第二題
轉貼自美夢成甄

附件: 師大附中08計算02.rar (2011-6-7 02:32, 14.21 KB) / 該附件被下載次數 11969
https://math.pro/db/attachment.php?aid=441&k=5c1ca947681e119f146c82980fb6cfd8&t=1732259938

附件: 師大附中08計算02.pdf (2011-6-7 02:32, 36.89 KB) / 該附件被下載次數 11823
https://math.pro/db/attachment.php?aid=442&k=2469519397f879446b89a0b73c17a90f&t=1732259938

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 13:25, 34.94 KB) / 該附件被下載次數 6367
https://math.pro/db/attachment.php?aid=711&k=3b44e7cad52ae229bf321716ddc48c65&t=1732259938

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 13:26, 18.91 KB) / 該附件被下載次數 6477
https://math.pro/db/attachment.php?aid=712&k=5f117cec9192b8693ec6ab30c32a5675&t=1732259938

作者: nanpolend 時間: 2011-6-7 04:11 標題: 回復 19# weiye 的帖子

填充題第9題詳解
附上三階反矩陣求法
==考試看到先閃會做死人

附件: 100師大附中09.rar (2011-6-7 04:11, 13.6 KB) / 該附件被下載次數 11536
https://math.pro/db/attachment.php?aid=443&k=604d95147638cf2204483f69265347fe&t=1732259938

附件: 100師大附中09.pdf (2011-6-7 04:11, 321.84 KB) / 該附件被下載次數 14172
https://math.pro/db/attachment.php?aid=444&k=f1c5d3bcec08a71ed1141c482314062a&t=1732259938

附件: chapter6-1-all-4-2B.pdf (2011-6-7 04:11, 144.69 KB) / 該附件被下載次數 13909
https://math.pro/db/attachment.php?aid=445&k=0b84ed98a2f654a8dc645d63dd8b49d3&t=1732259938

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 13:28, 44.2 KB) / 該附件被下載次數 6493
https://math.pro/db/attachment.php?aid=713&k=6d532e76a52cc5033bd26209d5c8a03c&t=1732259938

作者: nanpolend 時間: 2011-6-7 10:02 標題: 回復 37# 老王的帖子

整理老王的回復
計算第一題詳解
==不好寫修正多次反正都會重複
想成單位圓上的19邊形

附件: 100師大附中計算01.rar (2011-6-7 12:44, 11.47 KB) / 該附件被下載次數 10871
https://math.pro/db/attachment.php?aid=446&k=250eb30377e9eab9cfd4042dcfac6c1b&t=1732259938

附件: 100師大附中計算01.pdf (2011-6-7 12:44, 314.83 KB) / 該附件被下載次數 12137
https://math.pro/db/attachment.php?aid=447&k=c560609d2a632810a592a4d6400e5c0b&t=1732259938

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 13:29, 36.54 KB) / 該附件被下載次數 6344
https://math.pro/db/attachment.php?aid=714&k=a12216ddc10e623f9c65fb7d120818df&t=1732259938

作者: nanpolend 時間: 2011-6-7 14:00 標題: 回復 48# nanpolend 的帖子

整理上文的回復和美夢成甄網站
計算第三題詳解
想知道費馬點的證明上文有證法

附件: 100師大附中計算03.rar (2011-6-7 14:00, 10.12 KB) / 該附件被下載次數 14132
https://math.pro/db/attachment.php?aid=448&k=f00bb07a1490921334fb890d9ebe9878&t=1732259938

附件: 100師大附中計算03.pdf (2011-6-7 14:00, 307.89 KB) / 該附件被下載次數 11711
https://math.pro/db/attachment.php?aid=449&k=6180d15172fdd26e337c0e06ca5dc6e6&t=1732259938

圖片附件: 无命名.png (2011-7-8 13:30, 35.27 KB) / 該附件被下載次數 6391
https://math.pro/db/attachment.php?aid=715&k=b3a6c177f8a1644dfccfb8871d8be979&t=1732259938

作者: 老王 時間: 2011-11-18 16:37

引用:

原帖由 weiye 於 2011-5-14 11:52 AM 發表
先解出 P 點坐標 \(\displaystyle (\sqrt{\frac{1}{1-a}}, \frac{a}{1-a})\)，

然後求出 \(OP\) 直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\)，

再來算出體積為 ...

因為之前寫的東西沒有留下來，所以又重做一遍......
前面部分跟瑋岳老師相同，不同的是
令P點坐標為 \( (p,q) \)
有 \(\displaystyle p^2=\frac{1}{1-a} \)，且\(\displaystyle 0<p^2<1 \)

也就是\(\displaystyle a=\frac{p^2-1}{p^2} \)

積分出來的式子為 \(\displaystyle \frac{2\pi}{15}p(p^2-1)^2 \)

因為\(\displaystyle (1-p^2)+p^2=1 \)
所以
\(\displaystyle \frac{1-p^2}{4}+\frac{1-p^2}{4}+\frac{1-p^2}{4}+\frac{1-p^2}{4}+p^2 \ge 5\sqrt[5]{\frac{1}{256}p^2(1-p^2)^4} \)

\(\displaystyle p^2(1-p^2)^4 \le \frac{256}{3125} \)

\(\displaystyle p(1-p^2)^2 \le \frac{16}{25\sqrt{5}} \)

另外，填充第5題，
注意到平面BEHC包函BH且與FG平行，
所以只要求G到CH的距離就是答案。

作者: shingjay176 時間: 2012-4-20 12:50 標題: 回復 36# bugmens 的帖子

費馬點這觀念，的確是不好想，這個解題技巧真的很讚，謝謝bugmens老師貼出來的證明。有幾個疑問希望幫忙解惑。為何一個內角大於120度，所求的點不存在。最小值是發生在F跟A,B,C三點的夾角都是120度的時候，這結論怎麼證明。我算師大附中100年，計算題第三題。直接套用此三角度是120度，才可以算出結果。120度是要當結論背起來，直接套用至計算中嗎。。。

作者: shingjay176 時間: 2012-4-20 16:31 標題: 回復 51# shingjay176 的帖子

我來自問自答，在google搜索【費馬點】，我已經疑惑解除了。
http://zh.wikipedia.org/zh-hant/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E9%BB%9E
至於為何三角形內任一角大於120度，就找不到。。。。

作者: weiye 時間: 2012-4-20 18:23 標題: 回復 52# shingjay176 的帖子

不失一般性，設 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle BAC\geq 120^\circ\)，

\(E\) 為 \(\triangle ABC\) 內部異於 \(A\) 之點，

如下圖，可做 \(\triangle ABD, \triangle AEF\) 為正三角形，

可知 \(\triangle ABE\sim \triangle ADF\)，

因此 \(\overline{EA}+\overline{EB}+\overline{EC}=\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\)

連接 \(\overline{DE}, \overline{DC}\)

可知 \(\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\geq \overline{DE}+\overline{EC}\)

因為 \(\angle DAB+\angle BAC\geq 60^\circ+120^\circ=180^\circ\)

所以 \(A,E\) 皆在直線 \(CD\) 的同側，且 \(A\) 為 \(\triangle CDE\) 內部之點，

可知 \(\overline{DE}+\overline{EC}\geq\overline{DA}+\overline{AC}\)

故，

\(\triangle ABC\mbox{內部一點} E \mbox{到} A,B,C \mbox{三點頂的距離}=\overline{EA}+\overline{EB}+\overline{EC}\)

　　\(=\overline{DF}+\overline{FE}+\overline{EC}\)

　　\(\geq \overline{DE}+\overline{EC}\)

　　\(\geq\overline{DA}+\overline{AC}\)

　　\(\geq\overline{BA}+\overline{AC}\)

　　\(=E \mbox{到} A,B,C \mbox{三點頂的距離}\)

圖片附件: qq1.png (2012-4-20 18:23, 11.24 KB) / 該附件被下載次數 15936
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1005&k=ce659393827447bd6aa094afde1395c2&t=1732259938

圖片附件: qq2.png (2012-4-20 18:23, 14.91 KB) / 該附件被下載次數 14477
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1006&k=3ca52d561965d50d5686857afec52085&t=1732259938

作者: wooden 時間: 2013-5-1 14:46

引用:

原帖由 weiye 於 2011-5-14 11:52 AM 發表
先解出 P 點坐標 \(\displaystyle (\sqrt{\frac{1}{1-a}}, \frac{a}{1-a})\)，

然後求出 \(OP\) 直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\)，

再來算出體積為 ...

我先使用同瑋岳老師的方法，並設u=1-a,結果是一樣的，當a=-4時有極值
但改用薄殼法來求，因為次方不同，微分後求極值點卻得到a= -1，T=pi/24，同寸絲老師，
這也是我的疑問所在，比較後，反而是法一的值較小

作者: tsusy 時間: 2013-5-1 20:36 標題: 回復 54# wooden 的帖子

看了一下之前的算式，應該是轉錯軸，不小心看成轉 \(y\) 軸了

所以，weiye 老師的解是對的，感謝又幫我找到一個錯誤

作者: tsusy 時間: 2014-4-26 18:20 標題: 回復 39# weiye 的帖子

計算 2. 延續 weiye 老師的體積結果 \( V = \displaystyle \frac{2\pi a^{2}}{15(1-a)^{\frac52}} \)

令 \( a = -\tan^2 \theta \)，則 \( V = \frac{2\pi}{15}\sin^4\theta\cos\theta \)

由算幾不等式有 \(\displaystyle 1=\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{4}+\cos^{2}\theta\geq5\sqrt[5]{\frac{\sin^{8}\theta\cos^2\theta}{256}} \)，
(感謝眼尖的 wooden 挑出筆誤，已修正上行)

且當 \( \tan^{2}\theta=4 \) 時，等式成立，故 \( a=-4 \) 時有最大值 \(\displaystyle \frac{32\pi}{375\sqrt{5}} \)。

作者: wooden 時間: 2014-4-30 23:28 標題: 回復 56# tsusy 的帖子

寸絲兄
根號內的cos是平方喔!

作者: anyway13 時間: 2018-7-12 15:48 標題: 請問計算四

版上老師好,請問計算四的證明逆敘述要怎麼證阿

若n是質數,則(n-1)!除以n的餘數是n-1

作者: thepiano 時間: 2018-7-12 19:25 標題: 回復 58# anyway13 的帖子

Wilson’s Theorem

作者: anyway13 時間: 2018-7-12 21:34 標題: 回復 59# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師指點!

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0