標題: 排列組合 [打印本頁]

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作者: rudin    時間: 2011-5-4 14:22     標題: 排列組合

AABBBCCCC排列，同字不相鄰的方法數

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作者: weiye    時間: 2011-5-4 14:57

ｎ（任兩C都不相鄰）－ｎ（任兩C都不相鄰且AA相鄰）
　　　　　　　　　－ｎ（任兩C都不相鄰且至少兩B相鄰）
　　　　　　　　　＋ｎ（任兩C都不相鄰且AA相鄰且至少兩B相鄰）

\(\displaystyle=\frac{5!}{2!3!}C^6_4-\frac{4!}{3!}C^5_4-\left(\frac{4!}{2!}C^5_4-\frac{3!}{2!}C^4_4\right)+3!C^4_4\)

\(=79\)


註：1. 以上算式如有疏漏，還請不吝告知。

　　2. 數字這麼小，感覺似乎可以直接列出 AABBB 的所有排列可能性（１０種），再一一討論C要如何插空隙，應該也很快。

　　　另解，先排 AABBB，再將 CCCC 插空隙，

　　　　　　AABBB　→　插入 4個C 的方法有 C(3,1) 種
　　　　　　ABABB　→　插入 4個C 的方法有 C(5,3) 種
　　　　　　ABBAB　→　插入 4個C 的方法有 C(5,3) 種
　　　　　　ABBBA　→　插入 4個C 的方法有 C(4,2) 種
　　　　　　BAABB　→　插入 4個C 的方法有 C(4,2) 種
　　　　　　BABAB　→　插入 4個C 的方法有 C(6,4) 種
　　　　　　BABBA　→　插入 4個C 的方法有 C(5,3) 種
　　　　　　BBAAB　→　插入 4個C 的方法有 C(4,2) 種
　　　　　　BBABA　→　插入 4個C 的方法有 C(5,3) 種
　　　　　　BBBAA　→　插入 4個C 的方法有 C(3,1) 種

　　　　　　共計有 79 種。

　　3.  有網友問 ｎ（任兩C都不相鄰且至少兩B相鄰）為何是 (4!/2!)*C(5,4) - (3!/2!)*C(4,4) 呢？

　　　　A,A,"BB",B ---> 四者排列 (4!/2!)

　　　　再將四個 C 分別插入五個空隙中 ---> (4!/2!)*C(5,4)

　　　　算完之後～會發現 A,A,"BBB" 的情況會多算

　　　　因為 "BB"+B 與 B+"BB" 都是 "BBB"

　　　　所以要扣掉

　　　　A,A,"BBB" ---> 三者排列 (3!/2!)

　　　　再將四個 C 分別插入四個空隙中 ---> (3!/2!)*C(4,4)

類題1：https://math.pro/db/thread-1610-1-1.html
類題2： 1. aaaabbbccd十個字母，全取排列，a與b不相鄰的排法有幾種？
　　　　2. aaaabbbccd十個字母，全取排列，同字不相鄰的排法有幾種？
　　　　https://math.pro/db/thread-3134-1-1.html

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作者: rudin    時間: 2011-5-4 16:23     標題: 回復 2# weiye 的帖子

謝謝weiye的回答

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