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標題: 圓錐曲線證明題，給定雙曲線，求焦弦三角形最小面積 [打印本頁]
作者: rudin    時間: 2011-4-7 11:33     標題: 圓錐曲線證明題，給定雙曲線，求焦弦三角形最小面積

圓錐曲線題：給一雙曲線，過其中一個焦點的焦弦與雙曲線交於A,B兩點，求A,B兩點與另一焦點所成的三角形面積最小值，給的答案為A,B為正焦弦時即為所求，要如何證明？苦思好幾天了！
作者: Ellipse    時間: 2011-4-8 23:27

引用:
原帖由 rudin 於 2011-4-7 11:33 AM 發表
圓錐曲線題：給一雙曲線，過其中一個焦點的焦弦與雙曲線交於A,B兩點，求A,B兩點與另一焦點所成的三角形面積最小值，給的答案為A,B為正焦弦時即為所求，要如何證明？苦思好幾天了！ ...
設雙曲線方程式為T:x^2/a^2-y^2/b^2=1,-------------------(*1)
焦點F1(c,0),F2(-c,0) ,其中c^2=a^2+b^2
又設過F1(c,0)的直線方程式為L:y=m(x-c),即x=y/m +c ---------------(*2)
且L與T的交點為A(x1,y1),B(x2,y2)
將(*2)代入(*1) 整理得 (b^2-a^2*m^2)y^2+2mb^2*cy+b^2*c^2*m^2-a^2*b^2*m^2=0-----------(*3)
則y1,y2滿足(*3)的解,且
y1+y2=-2mb^2*c/(b^2-a^2*m^2)---------------------(*4)
y1*y2=(b^2*c^2*m^2-a^2*b^2*m^2)/(b^2-a^2*m^2)
=m^2*b^2(c^2-a^2)/(b^2-a^2*m^2)=m^2*b^4/(b^2-a^2*m^2)-------------------(*5)

又三角形ABF2面積=(1/2)*2c|y1-y2|----------------------(*6)

先算|y1-y2|^2=(y1+y2)^2-4y1y2=[2mb^2*c/(b^2-a^2*m^2)]^2-4m^2*b^4/(b^2-a^2*m^2) (將(*4)(*5)代入)
=[4m^2*b^4*c^2-4m^2*b^4(b^2-a^2*m^2)]/(b^2-a^2*m^2)^2
=4m^2*b^4[c^2-b^2+a^2*m^2])/(b^2-a^2*m^2)^2
=4m^2*b^4[a^2+a^2*m^2])/(b^2-a^2*m^2)^2
=4m^2*b^4*a^2(1+m^2)]/(b^2-a^2*m^2)^2

則|y1-y2|=|2mb^2*a(1+m^2)^0.5/(b^2-a^2*m^2)|
=| 2ab^2(1+m^2)^0.5/(a^2-b^2/m^2) |
>=| 2ab^2(1+m^2)^0.5/a^2|
>=| 2ab^2/a^2|=2b^2/a=正焦弦長-------------(*7)
(當m-> +或-無窮時,即直線L垂直x軸時,
|y1-y2|->2b^2/a )

由(*6)&(*7)得三角形ABF2面積
=(1/2)*2c|y1-y2|>=c*2b^2/a

可知,所求三角形ABF2的面積有最小值時，AB必為正焦弦




[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-4-9 10:24 AM 編輯 ]
作者: 老王    時間: 2011-4-11 21:16

引用:
原帖由 Ellipse 於 2011-4-8 11:27 PM 發表


則|y1-y2|=|2mb^2*a(1+m^2)^0.5/(b^2-a^2*m^2)|
=| 2ab^2(1+m^2)^0.5/(a^2-b^2/m^2) |
>=| 2ab^2(1+m^2)^0.5/a^2|
>=| 2ab^2/a^2|=2b^2/a=正焦弦長-------------(*7)
最後這邊有點問題，(*7)式上面一行，根號裡面應該是(1+1/m^2)
如此就可以知道當m^2趨近無限大時，極限值為2b^2/a
但此極限是否為最小值仍應進一步說明。

回到\(\displaystyle (y_1-y_2)^2 \)的部分
\(\displaystyle (y_1-y_2)^2=\frac{4a^2b^4(m^4+m^2)}{a^4m^4-2a^2b^2m^2+b^4} \)
題意應該有A、B在同一支上，所以要有條件
\(\displaystyle  m > \frac{b}{a} \)

那麼\(\displaystyle  a^2m^2 > b^2 \)
分母部分\(\displaystyle  a^4m^4-2a^2b^2m^2+b^4 < a^4m^4 \)
所以才有
\(\displaystyle  \frac{4a^2b^4(m^4+m^2)}{a^4m^4-2a^2b^2m^2+b^4} > \frac{4a^2b^4m^4}{a^4m^4}=\frac{4b^4}{a^2} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2011-4-11 09:20 PM 編輯 ]
作者: 老王    時間: 2011-4-12 19:00

這倒挺有趣的~~~

假設兩焦點為\(\displaystyle F_1,F_2 \)
並且\(\displaystyle  A-F_1-B \)
那麼由定義會有
\(\displaystyle AF_2-AF_1=BF_2-BF_1=2a \)
再令\(\displaystyle AF_1=p,BF_1=q \)
會有\(\displaystyle s=2a+p+q \)
\(\displaystyle s-AB=2a,s-AF_2=q,s-BF_2=p \)
由海龍公式
\(\displaystyle \sqrt{s(s-AB)(s-AF_2)(s-BF_2)}=\sqrt{2apq(2a+p+q)} \)
所以只要知道p,q的關係即可求極值

參考h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=1967&next=1940&l=f&fid=17　連結已失效
作者: Ellipse    時間: 2011-4-12 19:43

引用:
原帖由 老王 於 2011-4-12 07:00 PM 發表
這倒挺有趣的~~~

假設兩焦點為\(\displaystyle F_1,F_2 \)
並且\(\displaystyle  A-F_1-B \)
那麼由定義會有
\(\displaystyle AF_2-AF_1=BF_2-BF_1=2a \)
再令\(\displaystyle AF_1=p,BF_1=q \)
會有 ...
感謝老王的指導
小弟在這請教一下
這題是否可用幾何的方式就證出來?



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