標題: 已知x≧0,y≧0,x^2+y^2>0，求 (3x+4y)/(x+2y) 的最大、最小值 [打印本頁]

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作者: weiye    時間: 2011-3-20 21:28     標題: 已知x≧0,y≧0,x^2+y^2>0，求 (3x+4y)/(x+2y) 的最大、最小值

有朋友問過的題目，解完就ＰＯ上來紀錄一下。

臺灣師大數學系大學部申請入學歷屆考題（http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=6）
98筆試一

第一題：設 \(x\ge 0\)，\(y\ge 0\) 且 \(x^2+y^2>0\)。

(1) 試求 \(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最大值。並說明 \(x\) 與 \(y\) 分別為何值時會發生最大值？

(2) 試求 \(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最小值。並說明 \(x\) 與 \(y\) 分別為何值時會發生最小值？




解答：

因為 \(x^2+y^2>0\)，所以 \(x,y\) 不能同時為 \(0\)，

令 \(\displaystyle k=\frac{3x+4y}{x+2y}\Rightarrow (3-k)x=(2k-4)y\)

　因為 \(x\) 與 \(y\) 為非異號的實數，所以 \((3-k)(2k-4)\ge 0\Rightarrow 2\leq k\leq3\)

　其中，

　當 \(k=2\) 時，帶入 \((3-k)x=(2k-4)y\)，可得 \(x=0,y>0\)（因為 \(x,y\) 不能同時為零）

　當 \(k=3\) 時，帶入 \((3-k)x=(2k-4)y\)，可得 \(y=0,x>0\)（因為 \(x,y\) 不能同時為零）

　所以，\(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最大值為 \(3\)，且此時 \(y=0,x>0\)。

　　　　\(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最小值為 \(2\)，且此時 \(x=0,y>0\)。

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