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標題: 2010TRML [打印本頁]

作者: YAG 時間: 2011-2-26 18:36 標題: 2010TRML

a  b c  d  成等差數列  x y z w 為實數
a+b+c+d=50
x+y+z+w=10
ax+by+cz+dw=100

求  aw+bz+cy+dw=?

解:
我錯在哪

a+d=b+c=25    a=25-d b=25-c

aw+bz+cy+dw=(25-d)w+(25-c)z+(25-b)y+(25-a)x
=100-(ax+by+cz+dw)=0

那正確解是多少?如何解

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[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-2-26 08:58 PM 編輯 ]

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作者: bugmens 時間: 2011-2-26 21:14

若\( a,b,c,d \)為等差數列，且實數\( x,y,z,w \)滿足\( \cases{a+b+c+d=50 \cr x+y+z+w=10 \cr ax+by+cz+dw=100} \)，則\( aw+bz+cy+dx= \)？(2010TRML團體賽)
[解答]
假設\( a_1 \)為首項，\( t \)為公差，\( a=a_1-3t \)，\( b=a_1-t \)，\( c=a_1+t \)，\( d=a_1+3t \)

\( a+b+c+d=50 \)，\( (a_1-3t)+(a_1-t)+(a_1+t)+(a_1+3t)=50 \)，\( \displaystyle a_1=\frac{25}{2} \)

\( ax+by+cz+dw=100 \)，\( (a_1-3t)x+(a_1-t)y+(a_1+t)z+(a_1+3t)w=100 \)，
\( a_1(x+y+z+w)+(-3tx-ty+tz+3tw)=100 \)　，　\( \displaystyle a_1=\frac{25}{2} \)代入得\( 3tx+ty-tz-3tw=25 \)

\( aw+bz+cy+dx=(a_1-3t)w+(a_1-t)z+(a_1+t)y+(a_1+3t)x=(3tx+ty-tz-3tw)+a_1(w+z+y+x)=150 \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-2-26 09:16 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2011-2-26 23:00

引用:

原帖由 YAG 於 2011-2-26 06:36 PM 發表
a  b c  d  成等差數列  x y z w 為實數
a+b+c+d=50
x+y+z+w=10
ax+by+cz+dw=100

求  aw+bz+cy+dw=?

解:
我錯在哪

a+d=b+c=25    a=25-d b=25-c

aw+bz+cy+dw=(25-d)w+(25-c)z+(25-b)y+(25-a)x
=100-(ax+ ...

倒數第二行
aw+bz+cy+dw=(25-d)w+(25-c)z+(25-b)y+(25-a)x
=25*(w+z+y+x)-(dw+cz+by+ax)
=25*10-100=150

作者: YAG 時間: 2011-2-27 09:26 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

謝謝!

作者: fawn8530 時間: 2011-3-7 19:35

可以在問一下接力賽第二回第二棒，我不太懂題意
擲一骰子6次，當1點出現在5、6點前為勝利，5、6點出現在1點前為失敗，其餘情形為平手，可以請問一下如果下列情形為勝利還是失敗呢?
例1. 1,5,1,3,3,3,
例2. 3,1,4,5,2,2

作者: weiye 時間: 2011-3-7 21:24

接力賽第二回第二棒
若擲一個骰子6次，當1點先於5及6點出現為勝利，當5點或6點先於1點出現為失敗，其餘情形為平局。若勝利的機率為\(\displaystyle \frac{q}{p}\)，\(p\)、\(q\)互質，則\(q=\)？
[解答]
例1. 1,5,1,3,3,3 → 勝利
例2. 3,1,4,5,2,2 → 勝利
例3. 3,1,4,2,2,3 → 勝利
例4. 3,2,4,5,2,1 → 失敗
例5. 3,2,4,5,2,3 → 失敗
例6. 3,2,4,2,3,3 → 平局

勝利的機率 \(\displaystyle=\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{6}\right)\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{6}\right)^2\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{6}\right)^3\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{6}\right)^4\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{6}\right)^5\cdot\frac{1}{6}=\frac{21}{64}\)

作者: fawn8530 時間: 2011-3-8 08:55 標題: 回復 7# weiye 的帖子

謝謝您詳細的回覆，有時候排列組合的題目要附一下例子，不然有時很難體會到題意為何，像例3和例5很容易忽略到。

作者: kaline 時間: 2012-6-24 03:02 標題: 可以問團體賽的第九題嗎?

三角形abc三中線分別是5, 根號73 ,2根號13 ,則三角形面積?答24

作者: katama5667 時間: 2012-6-24 07:58 標題: 回復 9# kaline 的帖子

先以海龍公式計算出由三中線圍成三角形的面積\(\sqrt{\displaystyle \frac{5+\sqrt{37}+2\sqrt{13}}{2}\times \frac{5+\sqrt{37}-2\sqrt{13}}{2}\times \frac{5-\sqrt{37}+2\sqrt{13}}{2}\times \frac{-5+\sqrt{37}+2\sqrt{13}}{2}}=18\)

將每一條中線放大 \(\displaystyle  \frac{4}{3} \) 倍，再拉動其中兩條放大後的中線，將形成一三角形
此三角形的面積為三中線所成三角形面積的 \(\displaystyle  \frac{16}{9} \) 倍
又原三角形面積為此三角形面積的 \(\displaystyle  \frac{3}{4} \) 倍

所以原三角形面積為 \(\displaystyle 18\times \frac{16}{9} \times \frac{3}{4}=24\)

作者: ilikemath 時間: 2013-3-5 19:01

想請教個人賽第3和11題
以及接力賽最後一題
感謝

作者: 俞克斌 時間: 2013-3-18 12:42 標題: 回復 11# ilikemath 的帖子

請參考
謝謝

圖片附件: 精彩考題解析舉隅2013.03.18.jpg (2013-3-18 12:42, 236.3 KB) / 該附件被下載次數 6678
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作者: ppbartack 時間: 2020-2-17 10:51 標題: 請教一題幾何

若在\(\Delta ABC\)中，\(∠ABM=∠CBN\)，\(\overline{BC}=15\)，\(M\)和\(N\)是\(\overline{AC}\)上兩點使得\(\overline{AM}=9\)，\(\overline{MN}=11\)和\(\overline{CN}=5\)，則\(\overline{AB}=\)？
麻煩各位了

作者: thepiano 時間: 2020-2-17 12:02 標題: 回復 1# ppbartack 的帖子

2010 TRML 個人賽

作者: ppbartack 時間: 2020-2-17 13:38 標題: 回復 2# thepiano 的帖子

謝謝老師點出出處
後來有找到網路參考解法
找出盲點了
再次感謝

作者: ppbartack 時間: 2020-2-17 16:49

\(\displaystyle \frac{\Delta BAM}{\Delta BCN}=\frac{\overline{AM}}{\overline{CN}}=\frac{9}{5}\)，\(\displaystyle \frac{\overline{BA}\cdot \overline{BM}}{\overline{BC}\cdot \overline{BN}}=\frac{9}{5}\)

\(\displaystyle \frac{\Delta BAN}{\Delta BCM}=\frac{\overline{AN}}{\overline{CM}}=\frac{20}{16}\)，\(\displaystyle \frac{\overline{BA}\cdot \overline{BN}}{\overline{BC}\cdot \overline{BM}}=\frac{20}{16}\)

\(\displaystyle \frac{\overline{BA}\cdot \overline{BM}}{\overline{BC}\cdot \overline{BN}}\cdot \frac{\overline{BA}\cdot \overline{BN}}{\overline{BC}\cdot \overline{BM}}=\frac{9}{5}\cdot \frac{20}{16}\)

\(\displaystyle \left(\frac{\overline{BA}}{\overline{BC}}\right)^2=\frac{9}{4}\)，\(\displaystyle \frac{\overline{BA}}{\overline{BC}}=\frac{3}{2}\)，\(\displaystyle \frac{\overline{BA}}{15}=\frac{3}{2}\)

\(\displaystyle \overline{AB}=\frac{45}{2}\)
分享解法，共有需要的人參考^^
再次謝謝 thepiano老師的協助

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