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標題: 請教一個題目 [打印本頁]

作者: thankyou    時間: 2011-1-4 11:25     標題: 請教一個題目

請教一個題目,謝謝!!

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=308&k=aca1610b3baafd96cb48cccff879efc2&t=1634769332
作者: weiye    時間: 2011-1-4 14:38

題目:\(x^4-2x^3+6x^2+6x-1=0\) 的四個根在高斯平面表為 \(A,B,C,D\) 四點,若複數 \(i\) 表為 \(P\) 點,求 \(\overline{PA}\times \overline{PB}\times \overline{PC}\times\overline{PD}\)=?

解答:

設 \(x^4-2x^3+6x^2+6x-1=0\) 的四個根分別為 \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\),則

\(\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\left(x-\gamma\right)\left(x-\delta\right)=x^4-2x^3+6x^2+6x-1\)

所求 \(\overline{PA}\times \overline{PB}\times \overline{PC}\times\overline{PD}=\left|i-\alpha\right|\times\left|i-\beta\right|\times\left|i-\gamma\right|\times\left|i-\delta\right|\)

    \(=\left|\left(i-\alpha\right)\left(i-\beta\right)\left(i-\gamma\right)\left(i-\delta\right)\right|\)

    \(=\left|i^4-2i^3+6i^2+6i-1\right|\)

    \(=\left|-6+8i\right|\)

    \(=10.\)




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