標題: 請教一題幾何題目 [打印本頁]

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作者: thankyou    時間: 2010-12-24 10:30     標題: 請教一題幾何題目

梯形\(ABCD\)中，上底\(\overline{AB}\)，下底\(\overline{CD}\)，若\(∠ADB+∠DBC=180^\circ \)，且 \(\overline{AB}=4\)，\(\overline{CD}=6\)，\(\overline{BC}=5\)，求\(\overline{AD}=?\)
請教一題幾何題目,謝謝!!

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作者: weiye    時間: 2010-12-24 15:38

題目：梯形\(ABCD\)中，上底\(\overline{AB}\)，下底\(\overline{CD}\)，若\(∠ADB+∠DBC=180^\circ \)，且 \(\overline{AB}=4\)，\(\overline{CD}=6\)，\(\overline{BC}=5\)，求\(\overline{AD}=?\)


解答：

令 \(\overline{AD}=x, \overline{BD}=y\)，

在 \(\triangle ABD\) 與 \(\triangle BCD\) 中，

由 \(∠ABD=∠BDC\) 及餘弦定理，

可得 \(\displaystyle\frac{y^2+4^2-x^2}{2\cdot y\cdot 4}=\frac{y^2+6^2-5^2}{2\cdot y\cdot 6}\Rightarrow y^2=3x^2-26\) 　　‧‧‧‧‧‧‧（＊）


由 \(∠ADB=180^\circ-∠DBC\) 及餘弦定理，

可得 \(\displaystyle \frac{x^2+y^2-4^2}{2\cdot x\cdot y}=-\frac{y^2+5^2-6^2}{2\cdot y\cdot5}\)

將（＊）代入上式，化簡後可得 \(x\) 的一元三次方程式，

解得 \(x=-3\mbox{(不合)、}-7\mbox{(不合)、或 }\frac{10}{3}\)。

故，\(\overline{AD}=\frac{10}{3}.\)

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