標題: 求四根的倒數和 [打印本頁]

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作者: thankyou    時間: 2010-12-13 11:49     標題: 求四根的倒數和

a,b,c,d為實數，設\( x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \)的四根均為複數，且在複數平面中位於以原點為圓心的單位圓上，求此四根的倒數和？(A)\( a \)　(B)\( b \)　(C)\( c \)　(D)\( -a \)　(E)\( -b \)

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作者: weiye    時間: 2010-12-13 13:13

題目：設 \(a,b,c,d\) 為實數，設 \(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\) 的四根均為複數，且在複數平面中位於以原點為圓心的單位圓上，求此四根的倒數和？
(A)　\(a\)　(B)　\(b\)　(C)　\(c\)　(D)　\(-a\)　(E)　\(-b\)

解答：

因為實係數方程式的虛根成共軛對出現，

所以可設此四根為 \(z_1,z_2,\overline{z_1}, \overline{z_2}\)，

因為此四根在複數平面上到原點的距離都是 \(1\)，

所以 \(z_1\cdot\overline{z_1}=\left|z_1\right|^2=1,z_2\cdot\overline{z_2}=\left|z_2\right|^2=1\)，

故，\(\displaystyle \frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{\overline{z_1}}+\frac{1}{\overline{z_2}}\)

　　\(\displaystyle=\frac{\overline{z_1}}{z_1\cdot \overline{z_1}}+\frac{\overline{z_2}}{z_2\cdot\overline{z_2}}+\frac{z_1}{z_1\cdot\overline{z_1}}+\frac{z_2}{z_2\cdot\overline{z_2}}\)

　　\(=\overline{z_1}+\overline{z_2}+z_1+z_2\)

由根與係數關係式（又名 Viete 定理），可得

　　所求\(=-a.\)

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作者: eggsu1026    時間: 2013-5-29 03:52

雖然答案沒有錯，不過解法不完備

題目提到四根為複數根，並不代表四根皆為虛數根
還有兩種情況要討論：
(1) 四根都是實根
(2) 兩實根，兩虛根

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作者: tsusy    時間: 2013-5-29 09:06     標題: 回復 3# eggsu1026 的帖子

注意 \( \frac{1}{1} = 1, \frac{1}{-1} = -1 \)，若 \( |z| = 1\), 則 \( \frac{1}{z} = \bar{z} \)

令 \( y = \frac1x \)，並改寫成四次方程式，則四根不變。而由四根之絕對值皆 1(且實係數) ，知 \( d = \pm 1 \)

若 \( d = 1 \) 則 \( a=c \)，四根之和為 \( -c =-a \)

若 \( d=-1 \)  \( a= -c \) 則四根之和為  \( c =-a \)

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