標題: 95和美實驗學校 [打印本頁]

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作者: kittyyaya    時間: 2010-11-26 00:33     標題: 95和美實驗學校

請問下列三題如何解,謝謝
1.解方程式4x^3-3x+1/2=0


2.設某袋中放有黑、白兩種顏色的彈珠。已知這兩種顏色的彈珠之總數介於950到1000之間。設在袋中任意兩顆被取出的機率都相同。若自袋中拿出兩顆彈珠，拿到兩顆黑彈珠的機率比拿到兩顆白彈珠的機率大17/43。試求袋中黑彈珠的個數為？

3.設<a_n>為一數列，滿足：a_n=200-n(n-1)
，若要使 | a_1+a_2+...+a_n | / n有最小值，則n應為何?

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作者: weiye    時間: 2010-11-26 08:43

第 1 題：解方程式 \(\displaystyle 4x^3-3x+\frac{1}{2}=0.\)

　　提示：令 \(x=\cos\theta\)，再利用三倍角公式，可以解出 \(\theta\)，進而得 \(x\)。

　　更多此題的類題可以參見：https://math.pro/db/thread-21-1-1.html



第 2 題：設某袋中放有黑、白兩種顏色的彈珠。已知這兩種顏色的彈珠之總數介於 \(950\) 到 \(1000\) 之間。設在袋中任意兩顆被取出的機率都相同。若自袋中拿出兩顆彈珠，拿到兩顆黑彈珠的機率比拿到兩顆白彈珠的機率大 \(\displaystyle\frac{17}{43}\)。試求袋中黑彈珠的個數為？

解答：

　　設黑、白彈珠個數分別為 \(m,n\)，其中 \(m,n\) 皆為正整數，

　　依題意列式可得　\(\displaystyle \frac{C^m_2 - C^n_2}{C^{m+n}_2}=\frac{17}{43}\)

　　\(\displaystyle\Rightarrow 43\left(\frac{m(m-1)}{2}-\frac{n(n-1)}{2}\right)=17\left(\frac{(m+n)(m+n-1)}{2}\right)\)

　　\(\displaystyle\Rightarrow13m^2-17mn+30n^2-13m+30n=0.\)

　　用雙十字交乘法拆開，可得如下

　　　　\(\displaystyle\left(13m-30n\right)\left(m+n-1\right)=0.\)

　　因為 \(m,n\) 皆為正整數且 \(m+n>950\)，所以 \(m+n-1\neq0\)，

　　因此，\(13m-30n=0\Rightarrow m:n=30:13\)，

　　令 \(m=30t,n=13t\)，其中 \(t\) 為正整數，

　　由 \(950<30t+13t<1000\Rightarrow 22.ooo...<t<23.ooo...\)，

　　故， \(t=23\Rightarrow m=30\times23=690, n=13\times23=299.\)



第 3 題：設 \(<a_n>\)為一數列，滿足：\(a_n=200-n(n-1)\)，

若要使 \(\displaystyle\frac{\displaystyle\left| a_1+a_2+\cdots+a_n \right|}{n}\) 有最小值，則 \(n\) 應為何?

解答：

\(\displaystyle \frac{\left|a_1+a_2+\cdots+a_n\right|}{n}=\frac{\displaystyle\left|\sum_{k=1}^{n}\left(200-k\left(k-1\right)\right)\right|}{n}\)

　　　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{\displaystyle \left|\frac{601n-n^3}{3}\right|}{n}\)

　　　　　　　　　　　　（因為 \(n\) 是項數，所以 \(n\) 為正整數。）

　　　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{1}{3}\left|n^2-601\right|.\)

而 \(\sqrt{601}=24.ooo...\)，且 \(\left|24^2-601\right|=25, \left|25^2-601\right|=24\)，

故，當 \(n=25\) 時，\(\displaystyle \frac{\left|a_1+a_2+\cdots+a_n\right|}{n}\) 有最小值。

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