標題: 請問正四面體及正八面體 [打印本頁]

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作者: rdrank    時間: 2010-9-30 22:30     標題: 請問正四面體及正八面體

請問正四面體的內切圓及外接圓的圓心如何用非座標表示法來計算出來?
又正八面體呢?謝謝您!

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作者: weiye    時間: 2010-10-1 08:10

不太懂你的問題耶，已知頂點要球心的坐標嗎？

還是不要求坐標？請問是要問已知頂點，如何尺規作圖如何找出球心呢？

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作者: rdrank    時間: 2010-10-1 11:07     標題: 回復 2# weiye 的帖子

抱歉,沒有說清楚!
已知正四面體及正八面體的邊長為a,
我想要求出內切圓半徑及外接圓半徑,
但除了用座標表示出頂點然後求出球體中心
再算出中心到面及到頂點的距離外
還有什麼較不錯的方法可做出嗎?
謝謝!

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作者: weiye    時間: 2010-10-1 12:26



正四面體 \(ABCD\) 中，邊長為 \(a\)，

則 \(ED\) 是正三角形 \(BCD\) 的中線，其長可求得，

\(F\) 為 \(A\) 投影至正三角形 \(BCD\) 的投影點，

因為 \(AB=AC=AD\)，所以 \(F\) 亦為正三角形 \(BCD\) 的重心，

所以 \(EF\) 與 \(FD\) 可得知，

在直角三角形 \(AFD\) 中，由畢氏定理，可得 \(AF\) 長，

令 \(AO=R\)，則 \(OF=AF-R\)，

在直角三角形 \(OEF\) 中，由畢氏定理，可得 \(OE^2=OF^2+EF^2\)，

可求得外接圓半徑 \(R.\)

而內切圓半徑就是 \(OF=AF-R.\)










如圖，設 \(ABCDEF\) 為正八面體，且其邊長為 \(a\)，

則其外接圓半徑即為正方形 \(BCDE\) 的對角線長之半，

而上圖中，設 \(G\) 為 \(BC\) 之中點，\(O\) 為正方形 \(BCDE\) 對角線的交點，

在直角三角形 \(GOF\) 中，可求得其三邊長，

再求出 \(O\) 至斜邊 \(GF\) 的垂直距離即為內切圓半徑。

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作者: rdrank    時間: 2010-10-3 12:05     標題: 回復 4# weiye 的帖子

謝謝老師!

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