標題: 二次曲線問題 [打印本頁]

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作者: johncai    時間: 2010-8-20 00:16     標題: 二次曲線問題

5x^2-6xy+5y^2-4x-4y+4=0可判斷出是一個點
我想問的是
那有沒有辦法將原式寫成(ax+by+c)^2+(dx+ey+f)^2=0的形式?
如果可以，要怎麼算出a、b、c、d、e、f
謝謝

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作者: weiye    時間: 2010-8-20 11:37

先將方程式依 \(x\) 降冪排列： \(\displaystyle 5x^2-2(3y+2)x+(5y^2-4y+4)=0\)

再將 \(x\) 的一元二次式配方，可得：\(\displaystyle 5\left(x-\frac{3y+2}{5}\right)^2 + \left(5y^2-4y+4\right)-\frac{\left(3y+2\right)^2}{5} =0\)

將後方的 \(y\) 的部份展開合併，可得：\(\displaystyle 5\left(x-\frac{3y+2}{5}\right)^2 + \frac{16y^2-32y+16}{5} =0\)

再將後方 \(y\) 的一元二次式配方，可得：\(\displaystyle 5\left(x-\frac{3y+2}{5}\right)^2 +\frac{16\left(y-1\right)^2}{5} =0\)

同乘 \(5\)，可得：\(\displaystyle \left(5x-3y-2\right)^2 +16\left(y-1\right)^2 =0\)

因為完全平方數非負，故 \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}5x-3y-2=0\\y-1=0\end{array}\right.\)

解聯立方程式可得 \((x,y)=(1,1).\)




至於上述所要找的 \(a,b,c,d,e,f\) 並不唯一，有無限多組解。

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