引用:
原帖由 mandy 於 2010-5-22 09:11 PM 發表 
請問 : 一自然數n , 將個位數字移至最前面 , 使得所得的新數為原數之2倍 , 求 n = ?
假設 \(n=10a+b\)，其中 \(b\in\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\)，\(a\) 是 \(m\) 位正整數，
顯然 \(b\neq0,1.\)（否則將移位之結果除 \(2\)，會導致 \(n\) 的位數變少。）
依題意，得
\(2\left(10a+b\right)=10^m b+a\Rightarrow 19a=\left(10^m-2\right)b\)......（＊）
由（＊），\(19\Big| \left(10^m-2\right)b\)，因為 \(19\) 是質數且顯然不是 \(b\) 的因數，
所以 \(19\Big|10^m-2\Rightarrow 10^m\equiv 2 \pmod{19}\)
由 Euler 推廣費馬小定理的 Fermat-Euler 定理，可得
\(10^{18}\equiv 1\pmod{19}\Rightarrow 10\times10^{17}\equiv 1\pmod{19}\)
且由 \(2\times10\equiv 20 \equiv 1 \pmod{19}\)
所以 \(10^{17}\equiv 2\pmod{19}\Rightarrow 10^{17+18k}\equiv 2\pmod{19}\) 其中 \(k\) 為非負整數.
\(\displaystyle\Rightarrow m=17+18k\)
帶回（＊），得 \(a=\frac{10^{17+18k}-2}{19}\times b\)，則
\(\displaystyle n=10a+b=\left(\frac{10^{17+18k}-2}{19}\times10+1 \right)b,\)
其中 \(k\in\mathbb{N}\cup\left\{0\right\},\, b\in\left\{2,3,4,5,6,7,8,9\right\}.\)
（如上所得之 \(n\) 皆符合題意，有無限多個解.）
當 \(k=0, b=2\) 時，有滿足題意的最小 \(n\) 值為 \(\displaystyle\left(\frac{10^{17}-2}{19}\times10+1\right)\times2=105263157894736842.\)
[2009.05.23, 7:01 PM]
至於要其它的答案的話，我把用程式跑 \(k\in\left\{0,1,2,3\right\},\,b\in\left\{2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\) 的情況
算出來的 \(n\) 與對應的 \(2n\) 都寫在附件（Ans-1.txt），至於當 \(k\geq4\) 時，太佔空間就不附上了！
