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98學年板橋中學

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98學年板橋中學

請問 : 一自然數n , 將個位數字移至最前面 , 使得所得的新數為原數之2倍 , 求 n = ?

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2.   399^5 + 330^5 + 252^5 + 81^5 =n^5 , 求 n = ?

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引用:
原帖由 mandy 於 2010-5-22 09:11 PM 發表
請問 : 一自然數n , 將個位數字移至最前面 , 使得所得的新數為原數之2倍 , 求 n = ?
假設 \(n=10a+b\),其中 \(b\in\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\),\(a\) 是 \(m\) 位正整數,

顯然 \(b\neq0,1.\)(否則將移位之結果除 \(2\),會導致 \(n\) 的位數變少。)

依題意,得

\(2\left(10a+b\right)=10^m b+a\Rightarrow 19a=\left(10^m-2\right)b\)......(*)

由(*),\(19\Big| \left(10^m-2\right)b\),因為 \(19\) 是質數且顯然不是 \(b\) 的因數,

所以 \(19\Big|10^m-2\Rightarrow 10^m\equiv 2 \pmod{19}\)

由 Euler 推廣費馬小定理的 Fermat-Euler 定理,可得

\(10^{18}\equiv 1\pmod{19}\Rightarrow 10\times10^{17}\equiv 1\pmod{19}\)

且由 \(2\times10\equiv 20 \equiv 1 \pmod{19}\)

所以 \(10^{17}\equiv 2\pmod{19}\Rightarrow 10^{17+18k}\equiv 2\pmod{19}\) 其中 \(k\) 為非負整數.

\(\displaystyle\Rightarrow m=17+18k\)

帶回(*),得 \(a=\frac{10^{17+18k}-2}{19}\times b\),則


\(\displaystyle n=10a+b=\left(\frac{10^{17+18k}-2}{19}\times10+1 \right)b,\)


其中 \(k\in\mathbb{N}\cup\left\{0\right\},\, b\in\left\{2,3,4,5,6,7,8,9\right\}.\)

(如上所得之 \(n\) 皆符合題意,有無限多個解.)



當 \(k=0, b=2\) 時,有滿足題意的最小 \(n\) 值為 \(\displaystyle\left(\frac{10^{17}-2}{19}\times10+1\right)\times2=105263157894736842.\)





[2009.05.23, 7:01 PM]

至於要其它的答案的話,我把用程式跑 \(k\in\left\{0,1,2,3\right\},\,b\in\left\{2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\) 的情況

算出來的 \(n\) 與對應的 \(2n\) 都寫在附件(Ans-1.txt),至於當 \(k\geq4\) 時,太佔空間就不附上了!

附件

Ans-1.txt (3.58 KB)

2010-5-23 19:27, 下載次數: 2939

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第一題
http://www.google.com/search?cli ... a&ie=utf-8&oe=utf-8
我用google找的,還有很多組
105263157894736842×2=210526315789473684.
157894736842105263×2=315789473684210526.
210526315789473684×2=421052631578947368.
263157894736842105×2=526315789473684210.
315789473684210526×2=631578947368421052.
368421052631578947×2=736842105263157894.
421052631578947368×2=842105263157894736.
473684210526315789×2=947368421052631578.

第二題
1989AIME第9題點題號可以看網友的討論
http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=45&year=1989
題目的數字都乘3倍就是板中這題

2010.12.19補充
\( 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5 \)
原來是尤拉的一個猜想
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_sum_of_powers_conjecture

A Counterexample to Euler's Sum of Powers Conjecture
By L. J. Lander and T. R. Parkin
http://www.google.com/search?cli ... erexamples+to+Euler

http://www.ams.org/journals/mcom ... -1967-0220669-3.pdf

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-12-19 09:10 AM 編輯 ]

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