原本這樣算有點繁雜
後來修改一下
若令EG=1,CG=k
接下來用一樣相似三角形邊長比的方式
可得10k^2-12k+3=0
解得k=(6-6^0.5)/10
((6+6^0.5)/10不合,why?請自己想一下)
所求=k/1=(6-6^0.5)/10

想請教計算第1題詳細豪華版,謝謝

計算題第 1 題：
三角形ABC，∠A的內角平分線\( \overline{AT} \)交\( \overline{BC} \)於T點，試證\( \overline{AT}=\sqrt{\overline{AB}\cdot \overline{AC}-\overline{BT}\cdot \overline{CT}} \)
[解答]
由三角形的內角平分線的內分比性質，

可得 \(\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BT}:\overline{CT}\)

因此可令 \(\overline{AB}=x, \overline{AC}=y, \overline{BT}=kx, \overline{CT}=ky\)，其中 \(k\) 為正實數，

則題意等同於要求證： \(\overline{AT}^2=xy-k^2xy\)



因為 \(\cos ∠ATB = \cos(180^\circ - ∠ATC)\)

所以 \(\cos ∠ATB = -\cos(∠ATC)\)



在 \(\triangle ABT\) 與  \(\triangle ACT\) 中，由餘弦定理可得

\(\displaystyle \cos ∠ATB=\frac{\overline{AT}^2+(kx)^2-x^2}{2\overline{AT}\times kx}\)

\(\displaystyle \cos∠ATC= \frac{\overline{AT}^2+(ky)^2-y^2}{2\overline{AT}\times ky}\)



因此 \(\displaystyle \frac{\overline{AT}^2+(kx)^2-x^2}{2\overline{AT}\times kx}=-\frac{\overline{AT}^2+(ky)^2-y^2}{2\overline{AT}\times ky}\)

即可解得 \(AT^2 = xy-k^2xy.\)




註：1. 可是這樣一點也不豪華耶～ＸＤＤ

　　　那補充一個 Stewart's theorem 好了～

　　　Stewart's theorem：http://en.wikipedia.org/wiki/Stewart's_theorem

　　　也是用餘弦定理算兩次就可以證出來的定理。

　　2. 有些朋友可能對內分比性質不熟悉，簡單證明如下：

　　　a. 自 \(T\) 往 \(\overline{AB},\overline{AC}\) 作垂線，

　　　　　　

qq1.png (13.57 KB)

2012-1-20 09:02

　　　　如圖，可得 \(\triangle ABT : \triangle ACT = \frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot r : \frac{1}{2}\cdot \overline{AC}\cdot r=\overline{AB}:\overline{AC}\)

　　　b. 自 \(A\) 往 \(BC\) 直線作垂線，

　　　　　　

qq2.png (11.27 KB)

2012-1-20 09:02

　　　　如圖，可得 \(\triangle ABT : \triangle ACT = \frac{1}{2}\cdot \overline{BT}\cdot h : \frac{1}{2}\cdot \overline{CT}\cdot h=\overline{BT}:\overline{CT}\)


　　　由 a. b. 可得 \(\overline{AB}:\overline{AC} =\overline{BT}:\overline{CT}.\)

感謝老師的回答^^

不好意思，想請問填充11.13以及計算2

這張考卷好多都不會><

感謝^^

填充第 11 題，
\(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\)，\(\ldots\)，\(x_{2009}\)為實數，\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}x_i=2,000,000\)，且對\(i=1,2,\ldots,2009\)皆滿足\(x_i>i\)，求\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}\frac{1}{x_i-i}\)的最小值　　　。
[解答]
題目有問題，因此無解。

因為 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}x_i>\sum_{i=1}^{2009}i=\frac{2009\times2010}{2}=2019045\Rightarrow 2000000>2019045\) ，矛盾。





如果此題的題目數字稍微修改一下，

改成已知「 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}x_i=3000000\)」，則

　　\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}\left(x_i-i\right)=\sum_{i=1}^{2009}x_i-\sum_{i=1}^{2009}i =3000000-2019045=980855\)

利用柯西不等式，

　　\(\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{2009}\left(\sqrt{x_i-i}\right)^2\right)\left(\sum_{i=1}^{2009}\left(\frac{1}{\sqrt{x_i-i}}\right)^2\right)\geq\left(\sum_{i=1}^{2009}\sqrt{x_i-i}\cdot\frac{1}{\sqrt{x_i-i}}\right)^2\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 980855\cdot\left(\sum_{i=1}^{2009}\frac{1}{x_i-i}\right)\geq 2009^2\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \left(\sum_{i=1}^{2009}\frac{1}{x_i-i}\right)\geq \frac{2009^2}{980985}=\frac{4036081}{980985}.\)

第 13 題：
座標平面上單位圓\(C\)：\(x^2+y^2=1\)，一定點\(A(2,0)\)，\(Q\)為圓\(C\)上一動點，以\(Q\)為中心，將\(A\)點逆時針旋轉\(90^{\circ}\)得\(P\)點，求動點\(P\)的軌跡方程式　　　。
[解答]
將各點畫在複數平面上，

設 \(A=2+0i, Q=\cos\theta+i\sin\theta\)，其中 \(\theta\) 為任意實數，

則 \(P=(A-Q)\cdot i+Q=\left(2-\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\right)\cdot i+\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\)

　　　\(=\left(\sin\theta+\cos\theta\right)+\left(2+\sin\theta-\cos\theta\right)\cdot i\)

令 \(x=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\cos(\theta-45^\circ)\)

　 \(y=2+\sin\theta-\cos\theta=2+\sqrt{2}\sin(\theta-45^\circ)\)

　 \(\Rightarrow x^2+(y-2)^2=2.\)

計算第 2 題：
試證\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{sinx+cosx}dx\)
[解答]

令 \(\displaystyle t=\frac{\pi}{2}-x\Rightarrow dt=- dx\)

\(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\int^0_{\pi/2} \frac{-\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-t\right)}dt\)

　　\(\displaystyle =\int^0_{\pi/2} \frac{-\cos t}{\cos t+\sin t}dt\)

　　\(\displaystyle =\int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\cos t+\sin t}dt\)

　　\(\displaystyle =\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx\)

謝謝瑋岳老師的指導^^

請問計算題第三題答案是6？

算式： 原式\( = (20+6\sqrt{11})^{50} \equiv (6\sqrt{11})^{50} \equiv 6^{50} \equiv 6  (mod  10) \)

謝謝

這樣做不行，因為 \(C^{50}_k 20^k\left(6\sqrt{11}\right)^{50-k}\)，當 \(k\) 為奇數時，該項不見得是 \(10\) 的倍數。



解答：

\(\left(3+\sqrt{11}\right)^{100}=\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}\)

因為 \(\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}+\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50}\) 為整數，

　且 \(0<\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50}<1\)

所以

\(\left[\left(3+\sqrt{11}\right)^{100}\right]=\left[\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}\right]\)

　　　　　　　\(=\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}+\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50}-1\)

　　　　　　　\(=2\left(20^{50}+C^{50}_2 20^{48}\left(6\sqrt{11}\right)^2+C^{50}_4 20^{46}\left(6\sqrt{11}\right)^4+\cdots+C^{50}_{50} \left(6\sqrt{11}\right)^{50}\right)-1\)

　　　　　　　\(\equiv 2\cdot\left(6\sqrt{11}\right)^{50}-1\)

　　　　　　　\(\equiv 2\times 6^{50}\times 11^{25}-1\)

　　　　　　　\(\equiv 2\times 6\times 1^{25}-1\)

　　　　　　　\(\equiv 12-1\)

　　　　　　　\(\equiv 1\pmod{10}\)