原本這樣算有點繁雜
後來修改一下
若令EG=1,CG=k
接下來用一樣相似三角形邊長比的方式
可得10k^2-12k+3=0
解得k=(6-6^0.5)/10
((6+6^0.5)/10不合,why?請自己想一下)
所求=k/1=(6-6^0.5)/10

想請教計算第1題詳細豪華版,謝謝

計算題第 1 題：
三角形ABC，∠A的內角平分線AT交BC於T點，試證AT=ABAC−BTCT 
[解答]
由三角形的內角平分線的內分比性質，

可得 AB:AC=BT:CT

因此可令 AB=xAC=yBT=kxCT=ky，其中 k 為正實數，

則題意等同於要求證： AT2=xy−k2xy



因為 cos∠ATB=cos(180−∠ATC)

所以 cos∠ATB=−cos(∠ATC)



在 ABT 與  ACT 中，由餘弦定理可得

cos∠ATB=2ATkxAT2+(kx)2−x2

cos∠ATC=2ATkyAT2+(ky)2−y2



因此 2ATkxAT2+(kx)2−x2=−2ATkyAT2+(ky)2−y2

即可解得 AT2=xy−k2xy




註：1. 可是這樣一點也不豪華耶～ＸＤＤ

　　　那補充一個 Stewart's theorem 好了～

　　　Stewart's theorem：http://en.wikipedia.org/wiki/Stewart's_theorem

　　　也是用餘弦定理算兩次就可以證出來的定理。

　　2. 有些朋友可能對內分比性質不熟悉，簡單證明如下：

　　　a. 自 T 往 ABAC 作垂線，

　　　　　　

qq1.png (13.57 KB)

2012-1-20 09:02

　　　　如圖，可得 ABT:ACT=21ABr:21ACr=AB:AC

　　　b. 自 A 往 BC 直線作垂線，

　　　　　　

qq2.png (11.27 KB)

2012-1-20 09:02

　　　　如圖，可得 ABT:ACT=21BTh:21CTh=BT:CT


　　　由 a. b. 可得 AB:AC=BT:CT

感謝老師的回答^^

不好意思，想請問填充11.13以及計算2

這張考卷好多都不會><

感謝^^

填充第 11 題，
x1，x2，x3，，x2009為實數，2009i=1xi=2000000 ，且對i=122009皆滿足xii，求2009i=11xi−i 的最小值　　　。
[解答]
題目有問題，因此無解。

因為 2009i=1xi2009i=1i=220092010=201904520000002019045  ，矛盾。





如果此題的題目數字稍微修改一下，

改成已知「 \displaystyle \sum_{i=1}^{2009}x_i=3000000」，則

　　\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}\left(x_i-i\right)=\sum_{i=1}^{2009}x_i-\sum_{i=1}^{2009}i =3000000-2019045=980855

利用柯西不等式，

　　\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{2009}\left(\sqrt{x_i-i}\right)^2\right)\left(\sum_{i=1}^{2009}\left(\frac{1}{\sqrt{x_i-i}}\right)^2\right)\geq\left(\sum_{i=1}^{2009}\sqrt{x_i-i}\cdot\frac{1}{\sqrt{x_i-i}}\right)^2

　　\displaystyle \Rightarrow 980855\cdot\left(\sum_{i=1}^{2009}\frac{1}{x_i-i}\right)\geq 2009^2

　　\displaystyle \Rightarrow \left(\sum_{i=1}^{2009}\frac{1}{x_i-i}\right)\geq \frac{2009^2}{980985}=\frac{4036081}{980985}.

第 13 題：
座標平面上單位圓C：x^2+y^2=1，一定點A(2,0)，Q為圓C上一動點，以Q為中心，將A點逆時針旋轉90^{\circ}得P點，求動點P的軌跡方程式　　　。
[解答]
將各點畫在複數平面上，

設 A=2+0i, Q=\cos\theta+i\sin\theta，其中 \theta 為任意實數，

則 P=(A-Q)\cdot i+Q=\left(2-\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\right)\cdot i+\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)

　　　=\left(\sin\theta+\cos\theta\right)+\left(2+\sin\theta-\cos\theta\right)\cdot i

令 x=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\cos(\theta-45^\circ)

　 y=2+\sin\theta-\cos\theta=2+\sqrt{2}\sin(\theta-45^\circ)

　 \Rightarrow x^2+(y-2)^2=2.

計算第 2 題：
試證\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{sinx+cosx}dx
[解答]

令 \displaystyle t=\frac{\pi}{2}-x\Rightarrow dt=- dx

\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\int^0_{\pi/2} \frac{-\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-t\right)}dt

　　\displaystyle =\int^0_{\pi/2} \frac{-\cos t}{\cos t+\sin t}dt

　　\displaystyle =\int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\cos t+\sin t}dt

　　\displaystyle =\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx

謝謝瑋岳老師的指導^^

請問計算題第三題答案是6？

算式： 原式 = (20+6\sqrt{11})^{50} \equiv (6\sqrt{11})^{50} \equiv 6^{50} \equiv 6  (mod  10)

謝謝

這樣做不行，因為 C^{50}_k 20^k\left(6\sqrt{11}\right)^{50-k}，當 k 為奇數時，該項不見得是 10 的倍數。



解答：

\left(3+\sqrt{11}\right)^{100}=\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}

因為 \left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}+\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50} 為整數，

　且 0<\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50}<1

所以

\left[\left(3+\sqrt{11}\right)^{100}\right]=\left[\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}\right]

　　　　　　　=\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}+\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50}-1

　　　　　　　=2\left(20^{50}+C^{50}_2 20^{48}\left(6\sqrt{11}\right)^2+C^{50}_4 20^{46}\left(6\sqrt{11}\right)^4+\cdots+C^{50}_{50} \left(6\sqrt{11}\right)^{50}\right)-1

　　　　　　　\equiv 2\cdot\left(6\sqrt{11}\right)^{50}-1

　　　　　　　\equiv 2\times 6^{50}\times 11^{25}-1

　　　　　　　\equiv 2\times 6\times 1^{25}-1

　　　　　　　\equiv 12-1

　　　　　　　\equiv 1\pmod{10}