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98新港藝術高中

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回復 10# Ellipse 的帖子

原本這樣算有點繁雜
後來修改一下
若令EG=1,CG=k
接下來用一樣相似三角形邊長比的方式
可得10k^2-12k+3=0
解得k=(6-6^0.5)/10
((6+6^0.5)/10不合,why?請自己想一下)
所求=k/1=(6-6^0.5)/10

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想請教計算第1題詳細豪華版,謝謝

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回復 12# 阿光 的帖子

計算題第 1 題:

由三角形的內角平分線的內分比性質,

可得 \(\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BT}:\overline{CT}\)

因此可令 \(\overline{AB}=x, \overline{AC}=y, \overline{BT}=kx, \overline{CT}=ky\),其中 \(k\) 為正實數,

則題意等同於要求證: \(\overline{AT}^2=xy-k^2xy\)



因為 \(\cos ∠ATB = \cos(180^\circ - ∠ATC)\)

所以 \(\cos ∠ATB = -\cos(∠ATC)\)



在 \(\triangle ABT\) 與  \(\triangle ACT\) 中,由餘弦定理可得

\(\displaystyle \cos ∠ATB=\frac{\overline{AT}^2+(kx)^2-x^2}{2\overline{AT}\times kx}\)

\(\displaystyle \cos∠ATC= \frac{\overline{AT}^2+(ky)^2-y^2}{2\overline{AT}\times ky}\)



因此 \(\displaystyle \frac{\overline{AT}^2+(kx)^2-x^2}{2\overline{AT}\times kx}=-\frac{\overline{AT}^2+(ky)^2-y^2}{2\overline{AT}\times ky}\)

即可解得 \(AT^2 = xy-k^2xy.\)




註:1. 可是這樣一點也不豪華耶~XDD

   那補充一個 Stewart's theorem 好了~

   Stewart's theorem:http://en.wikipedia.org/wiki/Stewart's_theorem

   也是用餘弦定理算兩次就可以證出來的定理。

  2. 有些朋友可能對內分比性質不熟悉,簡單證明如下:

   a. 自 \(T\) 往 \(\overline{AB},\overline{AC}\) 作垂線,

      

    如圖,可得 \(\triangle ABT : \triangle ACT = \frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot r : \frac{1}{2}\cdot \overline{AC}\cdot r=\overline{AB}:\overline{AC}\)

   b. 自 \(A\) 往 \(BC\) 直線作垂線,

      

    如圖,可得 \(\triangle ABT : \triangle ACT = \frac{1}{2}\cdot \overline{BT}\cdot h : \frac{1}{2}\cdot \overline{CT}\cdot h=\overline{BT}:\overline{CT}\)


   由 a. b. 可得 \(\overline{AB}:\overline{AC} =\overline{BT}:\overline{CT}.\)

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感謝老師的回答^^

不好意思,想請問填充11.13以及計算2

這張考卷好多都不會><

感謝^^

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回復 14# t3712 的帖子

填充第 11 題,

題目有問題,因此無解。

因為 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}x_i>\sum_{i=1}^{2009}i=\frac{2009\times2010}{2}=2019045\Rightarrow 2000000>2019045\) ,矛盾。





如果此題的題目數字稍微修改一下

改成已知「 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}x_i=3000000\)」,則

  \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}\left(x_i-i\right)=\sum_{i=1}^{2009}x_i-\sum_{i=1}^{2009}i =3000000-2019045=980855\)

利用柯西不等式,

  \(\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{2009}\left(\sqrt{x_i-i}\right)^2\right)\left(\sum_{i=1}^{2009}\left(\frac{1}{\sqrt{x_i-i}}\right)^2\right)\geq\left(\sum_{i=1}^{2009}\sqrt{x_i-i}\cdot\frac{1}{\sqrt{x_i-i}}\right)^2\)

  \(\displaystyle \Rightarrow 980855\cdot\left(\sum_{i=1}^{2009}\frac{1}{x_i-i}\right)\geq 2009^2\)

  \(\displaystyle \Rightarrow \left(\sum_{i=1}^{2009}\frac{1}{x_i-i}\right)\geq \frac{2009^2}{980985}=\frac{4036081}{980985}.\)

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回復 14# t3712 的帖子

第 13 題:

將各點畫在複數平面上,

設 \(A=2+0i, Q=\cos\theta+i\sin\theta\),其中 \(\theta\) 為任意實數,

則 \(P=(A-Q)\cdot i+Q=\left(2-\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\right)\cdot i+\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\)

   \(=\left(\sin\theta+\cos\theta\right)+\left(2+\sin\theta-\cos\theta\right)\cdot i\)

令 \(x=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\cos(\theta-45^\circ)\)

  \(y=2+\sin\theta-\cos\theta=2+\sqrt{2}\sin(\theta-45^\circ)\)

  \(\Rightarrow x^2+(y-2)^2=2.\)

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回復 14# t3712 的帖子

計算第 2 題:

令 \(\displaystyle t=\frac{\pi}{2}-x\Rightarrow dt=- dx\)

\(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\int^0_{\pi/2} \frac{-\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-t\right)}dt\)

  \(\displaystyle =\int^0_{\pi/2} \frac{-\cos t}{\cos t+\sin t}dt\)

  \(\displaystyle =\int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\cos t+\sin t}dt\)

  \(\displaystyle =\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx\)

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謝謝瑋岳老師的指導^^

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請問計算題第三題答案是6?

算式: 原式\( = (20+6\sqrt{11})^{50} \equiv (6\sqrt{11})^{50} \equiv 6^{50} \equiv 6  (mod  10) \)

謝謝

[ 本帖最後由 t3712 於 2012-4-3 01:52 PM 編輯 ]

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回復 19# t3712 的帖子

這樣做不行,因為 \(C^{50}_k 20^k\left(6\sqrt{11}\right)^{50-k}\),當 \(k\) 為奇數時,該項不見得是 \(10\) 的倍數。



解答:

\(\left(3+\sqrt{11}\right)^{100}=\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}\)

因為 \(\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}+\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50}\) 為整數,

 且 \(0<\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50}<1\)

所以

\(\left[\left(3+\sqrt{11}\right)^{100}\right]=\left[\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}\right]\)

       \(=\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}+\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50}-1\)

       \(=2\left(20^{50}+C^{50}_2 20^{48}\left(6\sqrt{11}\right)^2+C^{50}_4 20^{46}\left(6\sqrt{11}\right)^4+\cdots+C^{50}_{50} \left(6\sqrt{11}\right)^{50}\right)-1\)

       \(\equiv 2\cdot\left(6\sqrt{11}\right)^{50}-1\)

       \(\equiv 2\times 6^{50}\times 11^{25}-1\)

       \(\equiv 2\times 6\times 1^{25}-1\)

       \(\equiv 12-1\)

       \(\equiv 1\pmod{10}\)

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