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與x互質自然數
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發表於 2010-5-11 20:34
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與x互質自然數
請問若x為自然數,求不大於
x且與
x互質的自然數個數?總和?
請參閱上傳檔,謝謝!!
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2010-5-11 20:34, 下載次數: 7390
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發表於 2010-5-11 21:41
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若
x
為自然數,定義
(
x
)
為不大於
x
且與
x
互質的自然數個數.
此為 Euler 的 phi function,基礎數論的書都會提到。
第一小題:
先證 Euler's phi function 是 multiplicative 的算數函數(亦即,對互質的自然數
m
n
恆有
(
mn
)
=
(
m
)
(
n
)
),
接著就可以容易推得該結論。
詳見:
http://math.ntnu.edu.tw/~li/ent-html/node11.html
第二小題:
Key:若
a
是小於
x
且與
x
互質的數,則
x
−
a
亦是。
多喝水。
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發表於 2010-5-13 07:55
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請問 若互質的個數是奇數時,也能用a與x-a之和恰為x這個方法求總和嗎?
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發表於 2010-5-13 08:42
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你可以自行舉數字實驗看看就知道了。 :-)
我猜你的疑惑是,
『如果小於
x
且與
x
互質之數的個數是奇數個,且最中間的
x
2
不是整數(也就是
x
是奇數)怎麼辦?』
如果
x
1
且
x
是奇數,則你可以推看看
(
x
)
必為偶數。
更甚者,你可以試著推得『若
x
2
,則
(
x
)
必為偶數。』
所以你要擔心的情況只有
x
=
1
2
時,
這兩情況你檢查看看就會發現第二小題是否會成立了。
多喝水。
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