師大附中有公佈（填充題）題目跟答案了，

真希望其他學校以後也能多多跟進！＝＝

唉!!
高中部太簡單，國中部是在考什麼啊!!
生氣!!!!!

高中部填充第4題
設\( \displaystyle a_0=\frac{1}{2} \)且\( \displaystyle a_n= \Bigg(\ \frac{1+a_{n-1}}{2} \Bigg)\ ^{\frac{1}{2}} \)，\( n=1,2,3,... \)，則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} 4^n(1-a_n) \)之值為。
[提示]
\( \displaystyle a_0=cos \frac{\pi}{3} \)，令\( \displaystyle a_{n-1}=cos \theta \)，\( a_n=cos \frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{3 \cdot 2^n} \)

以前我曾準備過這類型的題目，只是一直沒用到，就算其他的題目簡單就以這題來決勝負也很好阿

感謝thepiano提醒，95士林高商就考過了，我居然忘記了
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3309#p3306

我的教甄準備之路，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834(連結已失效)
找"通過問題學解題.rar"有這題的解答

104.2.25
舊網址已失效，重新上傳"通過問題學解題.rar"


[類似問題]
数列\( \{\ a_n \}\ \)中，\( a_1=a \)( \( 0<a<1 \) )，\( \displaystyle a_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-a_n^2}}{2}} \)，则它的 一个通项公式\( a_n \)是？
(第五届大陆希望杯全国邀请赛)

The first two terms of a sequence are \( a_1=1 \) and \( \displaystyle a_2=\frac{1}{\sqrt{3}} \).
For \( n \ge 1 \),\( \displaystyle a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{1-a_n a_{n+1}} \) What is \( \vert\ A_{2009} \vert\ \)？

(A)0　(B)\( 2-\sqrt{3} \)　(C)\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \)　(D)1　(E)\( 2+\sqrt{3} \)
(2009AMC12)

設\( a_0=2 \)，且對\( n \ge 1 \)時\( \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{3}a_{n-1}+1}{\sqrt{3}-a_{n-1}} \)。用\( p+q \sqrt{3} \)的形式表示\( a_{2002} \)的值(其中p和q為有理數)
(2002國際奧林匹克香港選拔賽)

想請問計算題題目為何?有好心人可以提供嗎?
另外,填充第七題如何解題?謝謝.

7.
設\( f(x) \)為實函數且滿足\( \displaystyle 3f(x)-2f(\frac{1}{x})-\frac{5}{x}=0 \)，則\( f^2(x) \)的最小值為　　。

引用:

原帖由 witz 於 2010-5-13 01:25 AM 發表
想請問計算題題目為何?有好心人可以提供嗎?
另外,填充第七題如何解題?謝謝.

填充第七題

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc} 3f(x)-2f\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{5}{x}=0\\ 3f\left(\frac{1}{x}\right)-2f(x)-5x=0\end{array}\right.\)

兩式消去 \(\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)\)，可解得 \(\displaystyle f(x)=\frac{2x^2+3}{x}\)，

令 \(\displaystyle y=\left(\frac{2x^2+3}{x}\right)^2\Rightarrow 4x^4+\left(12-y\right)x^2+9=0\)

因為 \(x^2\in\mathbb{R}\)，

所以 \(\left(12-y\right)^2-4\times 4\times 9\geq0\Rightarrow y\geq24 \mbox{ 或 } y\leq0 \mbox{(不合，因為 } y=x^2 \mbox{ 且 } x \mbox{ 有在分母)}\)

且當 \(y=24\) 時，可解得 \(\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}.\)

故，\(f^2(x)\) 的最小值為 \(24.\)


註：感謝 waitpub 於後方回覆提醒我的計算錯誤！ ^__^

謝謝瑋岳老師

請問老師
國中部計算第二題
證明e是無理數該怎麼去做
想好久還是沒有頭緒
謝謝老師!

google 搜尋 "e irrational" 就有很多筆證明了，

以下挑當中的第一筆搜尋結果，改寫成中文。


證明：

已知 \(\displaystyle e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots\)‧‧‧‧‧‧（＊）

假設 \(\displaystyle e=\frac{p}{q}\)，其中 \(p,q\) 都是正整數.

將 （＊）左右同乘 \(q!\) ，可得

\(\displaystyle q!\, e = q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\cdots+\frac{q!}{q!}+\mbox{其它的項和}\)

因為 \(\displaystyle e=\frac{p}{q}\)，所以 \(q!\,e\) 是整數.

且 \(\displaystyle q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\cdots+\frac{q!}{q!}\) 也是整數.

然而，

兩者當中相差的〝其它的項和〞

\(\displaystyle R=\frac{q!}{\left(q+1\right)!}+\frac{q!}{\left(q+2\right)!}+\frac{q!}{\left(q+3\right)!}+\cdots\)

\(\displaystyle =\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\cdots\)

\(\displaystyle <\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^2}+\frac{1}{(q+1)^3}+\cdots\)

\(\displaystyle =\frac{\frac{1}{q-1}}{1-\frac{1}{q-1}}=\frac{1}{q}.\)

\(\displaystyle \Rightarrow 0<R<\frac{1}{q}\) ，得 \(R\) 非整數，矛盾.

故，\(e\) 非有理數.

謝謝老師!我懂了!