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請問一題,2^n=a!+b!+c!,a≧b≧c,求(n,a,b,c) 的整數解.

請問一題,2^n=a!+b!+c!,a≧b≧c,求(n,a,b,c) 的整數解.

2^n=a!+b!+c! , 若 n,a,b,c 為正整數 , 且a大於等於b , b大於等於c , 則 (n,a,b,c ) 有幾組解 ?  感恩 !

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我的做法是慢慢討論,不知有沒有人可以提供更快的做法呢?


我的做法:

2n=a!+b!+c!

2n=c!c!a!+c!b!+1 

因為 abc 皆為正整數,

所以 c!a!+c!b!+1 為正整數

c!2nc=12




c=1,則 2n=c!c!a!+c!b!+1  2n=a!+b!+1 

  a!+b!=2n1 為奇數

  若 a=1,則因為 a1,得 b=1,則 a!+b!=2 為偶數,矛盾.

  若 a2,則 a! 為偶數 b=1,則 a!=2n2=22n11=2奇數 ,得 a!2 的倍數、非 4 的倍數

  a=23,檢查 2!+1!+1!=22 合,3!+1!+1!=8=23 合。

c=2,則 2n=2!2!a!+2!b!+1 

  2a!+2b!=2n11

  因為 2n=a!+b!+c!1+1+1=3,所以 n1,因此 2n11 為奇數

  因為 abc=2

  若 a=2,則 a=b=22a!+2b!=2 為偶數,矛盾

  若 a=3,則 b=2 \mbox{ 或 } 3,檢驗 3!+2!+2!=10,\, 3!+3!+2!=14 都不合

  若 a\geq 4,則 \displaystyle \frac{a!}{2} 為偶數 \displaystyle \Rightarrow \frac{b!}{2} 必為奇數,故 b= 2 \mbox{ 或 } 3

      若 b=2,則 \displaystyle \frac{a!}{2} = 2^{n-1}-2 = 2\left(2^{n-2}-1\right)

          \Rightarrow a! = 2^2 \left(2^{n-2}-1\right)

          若 n=2,則 a!=4 無解

          若 n\geq 2,則 a! = 4\times\mbox{奇數},得 a!4 的倍數、非 8 的倍數

          但 a\geq4 \Rightarrow 4!\Big|a! \Rightarrow 24\Big| a! 矛盾

      若 b=3,則 \displaystyle \frac{a!}{2} = 2^{n-1}-4 = 2^2 \left(2^{n-3}-1\right)

          \Rightarrow a! = 2^3 \left(2^{n-3}-1\right)

          若 n=3,則 a!=8 無解

          若 n\geq3,則 a! = 8\times\mbox{奇數},得 a!8 的倍數、非 16 的倍數

          \Rightarrow a=4 \mbox{ 或 } 5,檢查 4!+3!+2!=2^5 合,5!+3!+2!=2^7 合。


因此 (a,b,c,n) = (2,1,1,2), (3,1,1,3), (4,3,2,5), \mbox{ 或 } (5,3,2,7).


題目出處:99台中一中教甄

多喝水。

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重新整理您的作法,或許分類可以再簡單一點:
當c=1:
根據奇偶性,可知b為奇數,所以b=1
2^n-a!=2
所以a=2 or 3  (不能到4,否則左邊的2會太多)
帶回驗算

當c=2:
可知a,b皆為偶數,且
2^n-a!-b!=2
所以b=2 or 3 (不能到4,否則左邊的2會太多)
當b=2,可得到2^n-a!=4,但這是不可能的
(因為如果a=4,則左邊是8的倍數)
所以b=3,此時2^n-a!=8
所以a=4 or 5
帶回驗算

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