2^n=a!+b!+c! , 若 n,a,b,c 為正整數 , 且a大於等於b , b大於等於c , 則 (n,a,b,c ) 有幾組解 ?  感恩 !

我的做法是慢慢討論，不知有沒有人可以提供更快的做法呢?


我的做法：

2n=a!+b!+c!

2n=c!c!a!+c!b!+1 

因為 abc 皆為正整數，

所以 c!a!+c!b!+1 為正整數

得 c!2nc=1 或 2




若 c=1，則 2n=c!c!a!+c!b!+1  2n=a!+b!+1 

　　a!+b!=2n−1 為奇數

　　若 a=1，則因為 a1，得 b=1，則 a!+b!=2 為偶數，矛盾.

　　若 a2，則 a! 為偶數 b=1，則 a!=2n−2=22n−1−1=2奇數 ，得 a! 是 2 的倍數、非 4 的倍數

　　a=2 或 3，檢查 2!+1!+1!=22 合，3!+1!+1!=8=23 合。

若 c=2，則 2n=2!2!a!+2!b!+1 

　　2a!+2b!=2n−1−1

　　因為 2n=a!+b!+c!1+1+1=3，所以 n1，因此 2n−1−1 為奇數

　　因為 abc=2

　　若 a=2，則 a=b=22a!+2b!=2 為偶數，矛盾

　　若 a=3，則 b=2 或 3，檢驗 3!+2!+2!=103!+3!+2!=14 都不合

　　若 a4，則 2a! 為偶數 2b! 必為奇數，故 b=2 或 3

　　　　　　若 b=2，則 2a!=2n−1−2=22n−2−1 

　　　　　　　　　　a!=222n−2−1 

　　　　　　　　　　若 n=2，則 a!=4 無解

　　　　　　　　　　若 n2，則 a!=4奇數，得 a! 是 4 的倍數、非 8 的倍數

　　　　　　　　　　但 a44!a!24a! 矛盾

　　　　　　若 b=3，則 2a!=2n−1−4=222n−3−1 

　　　　　　　　　　a!=232n−3−1 

　　　　　　　　　　若 n=3，則 a!=8 無解

　　　　　　　　　　若 n3，則 a!=8奇數，得 a! 是 8 的倍數、非 16 的倍數

　　　　　　　　　　a=4 或 5，檢查 4!+3!+2!=25 合，5!+3!+2!=27 合。


因此 (abcn)=(2112)(3113)(4325) 或 (5327)


題目出處：99台中一中教甄

重新整理您的作法,或許分類可以再簡單一點：
當c=1:
根據奇偶性,可知b為奇數,所以b=1
2^n-a!=2
所以a=2 or 3  (不能到4,否則左邊的2會太多)
帶回驗算

當c=2:
可知a,b皆為偶數,且
2^n-a!-b!=2
所以b=2 or 3 (不能到4,否則左邊的2會太多)
當b=2,可得到2^n-a!=4,但這是不可能的
(因為如果a=4,則左邊是8的倍數)
所以b=3,此時2^n-a!=8
所以a=4 or 5
帶回驗算