我的做法是慢慢討論，不知有沒有人可以提供更快的做法呢?
我的做法：
\(2^n=a!+b!+c!\)
\(\displaystyle 2^n = c!\left(\frac{a!}{c!} + \frac{b!}{c!} +1\right)\)
因為 \(a\geq b\geq c\) 皆為正整數，
所以 \(\displaystyle \frac{a!}{c!} + \frac{b!}{c!} +1\) 為正整數
得 \(c! \Big| 2^n \Rightarrow c= 1 \mbox{ 或 } 2\)
若 \(c=1\)，則 \(\displaystyle 2^n = c!\left(\frac{a!}{c!} + \frac{b!}{c!} +1\right)\Rightarrow 2^n=a!+b!+1\)
\(\Rightarrow a! + b! = 2^n -1\) 為奇數
若 \(a=1\)，則因為 \(a\geq 1\)，得 \(b=1\)，則 \(a!+b!=2\) 為偶數，矛盾.
若 \(a\geq 2\)，則 \(a!\) 為偶數 \(\Rightarrow b = 1\)，則 \(a! = 2^n-2 = 2\left(2^{n-1}-1\right)=2\times\mbox{奇數}\)，得 \(a!\) 是 \(2\) 的倍數、非 \(4\) 的倍數
\(\Rightarrow a=2 \mbox{ 或 } 3\)，檢查 \(2! +1! +1! = 2^2\) 合，\(3!+1!+1! = 8=2^3\) 合。
若 \(c=2\)，則 \(\displaystyle 2^n = 2!\left(\frac{a!}{2!} + \frac{b!}{2!} +1\right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{a!}{2}+\frac{b!}{2}=2^{n-1}-1\)
因為 \(2^n = a!+b!+c!\geq 1+1+1=3\)，所以 \(n>1\)，因此 \(2^{n-1} -1\) 為奇數
因為 \(a\geq b\geq c=2\)
若 \(a=2\)，則 \(\displaystyle a=b=2 \Rightarrow \frac{a!}{2}+\frac{b!}{2} = 2\) 為偶數，矛盾
若 \(a=3\)，則 \(b=2 \mbox{ 或 } 3\)，檢驗 \(3!+2!+2!=10,\, 3!+3!+2!=14\) 都不合
若 \(a\geq 4\)，則 \(\displaystyle \frac{a!}{2}\) 為偶數 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{b!}{2}\) 必為奇數，故 \(b= 2 \mbox{ 或 } 3\)
若 \(b=2\)，則 \(\displaystyle \frac{a!}{2} = 2^{n-1}-2 = 2\left(2^{n-2}-1\right)\)
\(\Rightarrow a! = 2^2 \left(2^{n-2}-1\right)\)
若 \(n=2\)，則 \(a!=4\) 無解
若 \(n\geq 2\)，則 \(a! = 4\times\mbox{奇數}\)，得 \(a!\) 是 \(4\) 的倍數、非 \(8\) 的倍數
但 \(a\geq4 \Rightarrow 4!\Big|a! \Rightarrow 24\Big| a!\) 矛盾
若 \(b=3\)，則 \(\displaystyle \frac{a!}{2} = 2^{n-1}-4 = 2^2 \left(2^{n-3}-1\right)\)
\(\Rightarrow a! = 2^3 \left(2^{n-3}-1\right)\)
若 \(n=3\)，則 \(a!=8\) 無解
若 \(n\geq3\)，則 \(a! = 8\times\mbox{奇數}\)，得 \(a!\) 是 \(8\) 的倍數、非 \(16\) 的倍數
\(\Rightarrow a=4 \mbox{ 或 } 5\)，檢查 \(4!+3!+2!=2^5\) 合，\(5!+3!+2!=2^7\) 合。
因此 \((a,b,c,n) = (2,1,1,2), (3,1,1,3), (4,3,2,5), \mbox{ 或 } (5,3,2,7).\)
題目出處：99台中一中教甄
