Processing Math: 50%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing
button on the jsMath control panel.
jsMath
時間,讓深的東西越來越深,
讓淺的東西越來越淺。
註冊
登入
會員
幫助
Math Pro 數學補給站
»
高中的數學
»
I:數與函數
» 請問一題,2^n=a!+b!+c!,a≧b≧c,求(n,a,b,c) 的整數解.
‹‹ 上一主題
|
下一主題 ››
發新話題
發佈投票
發佈商品
發佈懸賞
發佈活動
發佈辯論
發佈影片
打印
請問一題,2^n=a!+b!+c!,a≧b≧c,求(n,a,b,c) 的整數解.
mandy
發私訊
加為好友
目前離線
1
#
大
中
小
發表於 2010-5-5 00:51
只看該作者
請問一題,2^n=a!+b!+c!,a≧b≧c,求(n,a,b,c) 的整數解.
2^n=a!+b!+c! , 若 n,a,b,c 為正整數 , 且a大於等於b , b大於等於c , 則 (n,a,b,c ) 有幾組解 ? 感恩 !
UID
318
帖子
159
閱讀權限
10
上線時間
207 小時
註冊時間
2009-7-17
最後登入
2024-4-12
查看詳細資料
TOP
weiye
瑋岳
發私訊
加為好友
目前離線
2
#
大
中
小
發表於 2010-5-5 09:20
只看該作者
我的做法是慢慢討論,不知有沒有人可以提供更快的做法呢?
我的做法:
2
n
=
a
!
+
b
!
+
c
!
2
n
=
c
!
c
!
a
!
+
c
!
b
!
+
1
因為
a
b
c
皆為正整數,
所以
c
!
a
!
+
c
!
b
!
+
1
為正整數
得
c
!
2
n
c
=
1
或
2
若
c
=
1
,則
2
n
=
c
!
c
!
a
!
+
c
!
b
!
+
1
2
n
=
a
!
+
b
!
+
1
a
!
+
b
!
=
2
n
−
1
為奇數
若
a
=
1
,則因為
a
1
,得
b
=
1
,則
a
!
+
b
!
=
2
為偶數,矛盾.
若
a
2
,則
a
!
為偶數
b
=
1
,則
a
!
=
2
n
−
2
=
2
2
n
−
1
−
1
=
2
奇數
,得
a
!
是
2
的倍數、非
4
的倍數
a
=
2
或
3
,檢查
2!
+
1
!
+
1
!
=
2
2
合,
3!
+
1
!
+
1
!
=
8
=
2
3
合。
若
c
=
2
,則
2
n
=
2
!
2!
a
!
+
2!
b
!
+
1
2
a
!
+
2
b
!
=
2
n
−
1
−
1
因為
2
n
=
a
!
+
b
!
+
c
!
1
+
1
+
1
=
3
,所以
n
1
,因此
2
n
−
1
−
1
為奇數
因為
a
b
c
=
2
若
a
=
2
,則
a
=
b
=
2
2
a
!
+
2
b
!
=
2
為偶數,矛盾
若
a
=
3
,則
b=2 \mbox{ 或 } 3
,檢驗
3!+2!+2!=10,\, 3!+3!+2!=14
都不合
若
a\geq 4
,則
\displaystyle \frac{a!}{2}
為偶數
\displaystyle \Rightarrow \frac{b!}{2}
必為奇數,故
b= 2 \mbox{ 或 } 3
若
b=2
,則
\displaystyle \frac{a!}{2} = 2^{n-1}-2 = 2\left(2^{n-2}-1\right)
\Rightarrow a! = 2^2 \left(2^{n-2}-1\right)
若
n=2
,則
a!=4
無解
若
n\geq 2
,則
a! = 4\times\mbox{奇數}
,得
a!
是
4
的倍數、非
8
的倍數
但
a\geq4 \Rightarrow 4!\Big|a! \Rightarrow 24\Big| a!
矛盾
若
b=3
,則
\displaystyle \frac{a!}{2} = 2^{n-1}-4 = 2^2 \left(2^{n-3}-1\right)
\Rightarrow a! = 2^3 \left(2^{n-3}-1\right)
若
n=3
,則
a!=8
無解
若
n\geq3
,則
a! = 8\times\mbox{奇數}
,得
a!
是
8
的倍數、非
16
的倍數
\Rightarrow a=4 \mbox{ 或 } 5
,檢查
4!+3!+2!=2^5
合,
5!+3!+2!=2^7
合。
因此
(a,b,c,n) = (2,1,1,2), (3,1,1,3), (4,3,2,5), \mbox{ 或 } (5,3,2,7).
題目出處:99台中一中教甄
多喝水。
UID
1
帖子
2073
閱讀權限
200
上線時間
8572 小時
註冊時間
2006-3-5
最後登入
2025-4-2
查看詳細資料
TOP
gonm
發私訊
加為好友
目前離線
3
#
大
中
小
發表於 2012-4-27 10:25
只看該作者
重新整理您的作法,或許分類可以再簡單一點:
當c=1:
根據奇偶性,可知b為奇數,所以b=1
2^n-a!=2
所以a=2 or 3 (不能到4,否則左邊的2會太多)
帶回驗算
當c=2:
可知a,b皆為偶數,且
2^n-a!-b!=2
所以b=2 or 3 (不能到4,否則左邊的2會太多)
當b=2,可得到2^n-a!=4,但這是不可能的
(因為如果a=4,則左邊是8的倍數)
所以b=3,此時2^n-a!=8
所以a=4 or 5
帶回驗算
UID
742
帖子
5
閱讀權限
10
上線時間
9 小時
註冊時間
2011-4-21
最後登入
2013-5-11
查看詳細資料
TOP
‹‹ 上一主題
|
下一主題 ››
控制面板首頁
編輯個人資料
積分交易
積分記錄
公眾用戶組
基本概況
版塊排行
主題排行
發帖排行
積分排行
交易排行
上線時間
管理團隊