a^3-abc=2
b^3-abc=6
c^3-abc=20
a,b,c均為實數
求a^3+b^3+c^3的極大值

謝謝各位老師

1.
利用 a3b3c3=2+abc6+abc20+abc ，

令 t=abc，則　t3=2+t6+t20+t ，

可解得　abc=t=−4 或 −715

2.
a3+b3+c3=2+abc+6+abc+20+abc=28+3abc=16 或 7151 

故，a3+b3+c3 的最大值為 7151

補個出處2010AIME第9題，點題號可以看解答
h ttp://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=2010　連結已失效
https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_9

另外第15題在PTT數學版有人問過了，我將我的解法放上來
BM=21(AB+BC)2−AC2=10 
假設AM=x，CM=15−x
△BCM△ABM=21(12+x+10)r21(15−x+13+10)r

△BCM△ABM=CMAM=x15−x　同底等高

解出x=322，CMAM=2322=qp


補充一題
設△ABC中∠C為直角，點D在斜邊AB上，AC=9，BC=8，CD=6，已知△ACD之內切圓與△BCD內切圓有相同的半徑，試求△ACD與△BCD面積之比值。
(2002TRML個人賽)

請問附件：競賽解題指導P215.jpg
如何由(1)(2)得到AM=((b+c)^2-a^2)^0.5/2？
我怎麼算都算到三次以上的式子，找到不AM長

p.s.兩個餘弦定理的右式都少乘2

補充：另一種求出AM的做法了
數學傳播 35卷4期, pp. 82-85
有關三角形內切圓等分線的一些不等式(作者：莊健祥)
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d354/35408.pdf

[ 本帖最後由 eggsu1026 於 2013-5-4 07:45 AM 編輯 ]

由 MCBM=b+c+MCc+x+BM=c+xb+x

所以 BM=a(c+x)(c+x)+(b+x)MC=a(b+x)(c+x)+(b+x)

代入下面的式子(餘弦少乘 2 不影響)
c+xb+x=a2(c+x)2+(c+x)(x−c)(c+x+b+x)2−a2(b+x)2+(b+x)(b−x)(c+x+b+x)2

a2(b+x)(c+x)2+(x−c)(b+x)(c+x)(2x+b+c)2+a2(b+x)2(c+x)+(x−b)(b+x)(c+x)(2x+b+c)2=0

a2(b+x)(c+x)(2x+b+c)+(2x−b−c)(b+x)(c+x)(2x+b+c)2=0

(b+x)(c+x)(2x+b+c)(a2+4x2−(b+c)2)=0

因為 (b+x)(c+x)(2x+b+c)=0

所以 a2+4x2−(b+c)2=0

x2=4(b+c)2−a2

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-5-4 09:04 AM 編輯 ]

了解，感恩！

您的做法可以再化簡一點
將 BM、MC用 (c+x)a/(b+c+2x)和 (b+x)a/(b+c+2x) 代入 (2) 式後得到的式子
將分子同除以 ( c + x )，分母同除以 ( b + x )
可以讓後續的式子簡化些